Les nombres complexes

📋 Plan du Cours

1. Définition et parties d’un complexe
2. Conjugué et calcul algébrique
3. Affixes et représentation dans le plan
4. Module d’un nombre complexe
5. Arguments et trigonométrie
6. Formes trigonométrique et exponentielle
7. Formules d’Euler et linéarisation

📖 1. Définition et parties d’un complexe

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre complexe : Un nombre complexe s’écrit $z=a+ib$, avec $a,b\in\mathbb R$ et $i^2=-1$.
• Partie réelle : Pour $z=a+ib$, la partie réelle de $z$ est $a$ et se note $\operatorname{Re}(z)$.
• Partie imaginaire : Pour $z=a+ib$, la partie imaginaire de $z$ est $b$ et se note $\operatorname{Im}(z)$.

📝 Points essentiels

📌 Un complexe $z=a+ib$ est réel lorsque $b=0$ et imaginaire pur lorsque $a=0$.

📖 2. Conjugué et calcul algébrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Conjugué : Le conjugué de $z=a+ib$ est $\bar z=a-ib$.

★ À maîtriser

• La conjugaison conserve les sommes et les produits : $\overline{z_1+z_2}=\bar z_1+\bar z_2$ et $\overline{z_1z_2}=\bar z_1\bar z_2$.

📐 Formule - Pour $z=a+ib$, $z+\bar z=2a$, $z-\bar z=2ib$ et $z\bar z=a^2+b^2$.

Compléments