Fiche de révision : Les nombres complexes

📋 Plan du Cours

1. Définition et parties d’un complexe
2. Conjugué et calcul algébrique
3. Affixes et représentation dans le plan
4. Module d’un nombre complexe
5. Arguments et trigonométrie
6. Formes trigonométrique et exponentielle
7. Formules d’Euler et linéarisation

📖 1. Définition et parties d’un complexe

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre complexe : Un nombre complexe s’écrit $z=a+ib$, avec $a,b\in\mathbb R$ et $i^2=-1$.
• Partie réelle : Pour $z=a+ib$, la partie réelle de $z$ est $a$ et se note $\operatorname{Re}(z)$.
• Partie imaginaire : Pour $z=a+ib$, la partie imaginaire de $z$ est $b$ et se note $\operatorname{Im}(z)$.

📝 Points essentiels

📌 Un complexe $z=a+ib$ est réel lorsque $b=0$ et imaginaire pur lorsque $a=0$.

📖 2. Conjugué et calcul algébrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Conjugué : Le conjugué de $z=a+ib$ est $\bar z=a-ib$.

★ À maîtriser

• La conjugaison conserve les sommes et les produits : $\overline{z_1+z_2}=\bar z_1+\bar z_2$ et $\overline{z_1z_2}=\bar z_1\bar z_2$.

📐 Formule - Pour $z=a+ib$, $z+\bar z=2a$, $z-\bar z=2ib$ et $z\bar z=a^2+b^2$.

Compléments

• Pour tout entier naturel $n$, $\overline{z^n}=(\bar z)^n$.

• Pour un quotient défini, $\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\bar z_1}{\bar z_2}$.

• Pour mettre un quotient complexe sous forme algébrique, on multiplie son numérateur et son dénominateur par le conjugué du dénominateur.

📖 3. Affixes et représentation dans le plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Affixe d’un point : Dans un repère orthonormé direct, le point $M(a,b)$ a pour affixe le complexe $z=a+ib$, et le point est l’image de ce complexe.
• Affixe d’un vecteur : Complexe $z_B-z_A$, où $z_A$ et $z_B$ sont les affixes des extrémités du vecteur.

📝 Points essentiels

• Pour obtenir les coordonnées du point d’affixe $a+ib$, on associe l’abscisse $a$ à sa partie réelle et l’ordonnée $b$ à sa partie imaginaire.

• Les affixes $2-3i$, $2i$ et $4$ correspondent respectivement aux points $M_1(2,-3)$, $M_2(0{,}2)$ et $M_3(4{,}0)$.

📖 4. Module d’un nombre complexe

🔑 Notions clés & Définitions

• Module : Distance entre l’origine $O$ et l’image $M$ du complexe, notée $|z|=OM$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour $z=a+ib$, le module est $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$.

📐 Formule - Le module d’un produit vérifie $|z_1z_2|=|z_1||z_2|$.

Compléments

📐 Formule - Le module d’une puissance vérifie $|z^n|=|z|^n$.

📐 Formule - Le module d’un complexe et celui de son conjugué sont égaux : $|\bar z|=|z|$, et $|z|=\sqrt{z\bar z}$.

📐 Formule - La distance entre les points d’affixes $z_A$ et $z_B$ est $AB=|z_B-z_A|$.

📖 5. Arguments et trigonométrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Argument : Mesure de l’angle orienté $(\vec u;\overrightarrow{OM})$ entre l’axe réel et le vecteur allant de l’origine à l’image de $z$.

★ À maîtriser

• Si $\alpha$ est un argument de $z$, tous ses arguments sont de la forme $\alpha+2k\pi$, avec $k\in\mathbb Z$.

📐 Formule - Pour $z=a+ib\ne0$ et un argument $\theta$ de $z$, $\cos\theta=\frac{a}{|z|}$ et $\sin\theta=\frac{b}{|z|}$.

Compléments

📐 Formule - La tangente d’un angle vérifie $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ lorsque $\cos\theta\ne0$.

📐 Formule - Les formules d’addition sont $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$, $\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$, $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a$ et $\sin(a-b)=\sin a\cos b-\sin b\cos a$.

📐 Formule - Les identités de l’angle double comprennent $\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x$.

📖 6. Formes trigonométrique et exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme trigonométrique : Pour un complexe non nul de module $|z|$ et d’argument $\alpha$, écriture $z=|z|(\cos\alpha+i\sin\alpha)$.
• Forme exponentielle : La forme exponentielle d’un complexe non nul de module $|z|$ et d’argument $\alpha$ est $z=|z|e^{i\alpha}$.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Dans la forme trigonométrique $z=|z|(\cos\alpha+i\sin\alpha)$, la partie réelle vaut $a=|z|\cos\alpha$ et la partie imaginaire vaut $b=|z|\sin\alpha$.

• Pour un complexe de module $1$ et d’argument $x$, $z=\cos x+i\sin x=e^{ix}$.

• Pour un complexe de module $1$ et d’argument $x$, son conjugué vérifie $\bar z=\cos x-i\sin x=e^{-ix}$.

📖 7. Formules d’Euler et linéarisation

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un complexe de module $1$ et d’argument $x$, $\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$.

Compléments

📐 Formule - Pour un entier $m$, les formules de puissance sont $z^m=\cos(mx)+i\sin(mx)=e^{imx}$ et $\bar z^m=\cos(mx)-i\sin(mx)=e^{-imx}$.

📐 Formule - Les formules de puissance donnent $2\cos(mx)=e^{imx}+e^{-imx}$ et $2i\sin(mx)=e^{imx}-e^{-imx}$.

• Les formules d’Euler servent à linéariser, c’est-à-dire à écrire un produit sous forme de somme.