Fiche de révision : Généralités sur les fonctions

📋 Plan du Cours

1. Notions fondamentales sur les fonctions
2. Parité et périodicité
3. Variations et bornes
4. Injectivité et bijection réciproque
5. Limites et continuité
6. Dérivée et tangente
7. Calcul des dérivées
8. Variations et extrema par dérivation
9. Régularité et convexité
10. Théorèmes de Rolle et des accroissements finis

📖 1. Notions fondamentales sur les fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction réelle : Application définie sur une partie de ℝ et à valeurs dans ℝ.
• Ensemble de définition : Ensemble des réels qui possèdent une image par f.
• Graphe : Ensemble des points (x, f(x)) du plan pour x appartenant à D_f.
• Composition : Si g est définie sur un ensemble contenant f(D), la composée g∘f est définie sur D par (g∘f)(x)=g(f(x)).
• Ensemble image : Ensemble des nombres f(x) lorsque x appartient à D.

📖 2. Parité et périodicité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction paire : Une fonction f est paire si son domaine contient −x chaque fois qu’il contient x et si f(−x)=f(x).

• Fonction impaire : Une fonction f est impaire si son domaine contient −x chaque fois qu’il contient x et si f(−x)=−f(x).

• Fonction périodique : Une fonction f est périodique s’il existe T>0 tel que, pour tout x de son domaine, x+T et x−T appartiennent au domaine et f(x+T)=f(x) ; T est une période de f.

📝 Points essentiels

• Le sinus et le cosinus sont des fonctions 2π-périodiques.

• Pour étudier une fonction T-périodique, il suffit de l’étudier sur un intervalle d’amplitude T, puis de déduire le reste de sa courbe par translations.

💡 Astuce mémo

Paire : symétrie par rapport à l’axe des ordonnées ; impaire : symétrie centrale en O.

📖 3. Variations et bornes

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction croissante : Une fonction f est croissante sur I si, pour tous x et y de I tels que x≤y, f(x)≤f(y).
• Fonction décroissante : Une fonction f est décroissante sur I si, pour tous x et y de I tels que x≤y, f(x)≥f(y).
• Fonction majorée : Une fonction f est majorée sur D s’il existe M∈ℝ tel que f(x)≤M pour tout x∈D ; M est un majorant de f.
• Fonction minorée : Une fonction f est minorée sur D s’il existe m∈ℝ tel que f(x)≥m pour tout x∈D ; m est un minorant de f.

★ À maîtriser

📌 Si f et g sont monotones et que f(I)⊂J, alors g∘f est croissante si f et g ont la même monotonie et décroissante si elles ont des monotonies différentes.

📌 Une fonction est bornée sur D si elle est à la fois majorée et minorée sur D.

Compléments

📌 Une fonction est monotone sur I si elle y est croissante ou décroissante, et strictement monotone si elle y est strictement croissante ou strictement décroissante.

📌 Sur un intervalle non réduit à un point, la somme de deux fonctions de même monotonie est monotone avec cette même monotonie.

💡 Astuce mémo

Même monotonie composée → croissance ; monotonies opposées → décroissance.

📖 4. Injectivité et bijection réciproque

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction injective : Une application f de I dans J est injective si tout élément de J admet au plus un antécédent par f dans I.
• Fonction surjective : Une application f de I dans J est surjective si tout élément de J admet au moins un antécédent par f dans I.

• Fonction bijective : Une application f de I dans J est bijective si tout élément de J admet un et un seul antécédent par f dans I.
• Bijection réciproque : Si f est bijective de I dans J, sa réciproque f⁻¹ est l’application de J dans I qui associe à y l’unique x∈I tel que f(x)=y.

📝 Points essentiels

• Pour tout x∈I et tout y∈J, f⁻¹(f(x))=x et f(f⁻¹(y))=y lorsque f est une bijection de I dans J.

💡 Astuce mémo

Injective : au plus un antécédent ; surjective : au moins un ; bijective : un seul.

📖 5. Limites et continuité

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité en un point : Une fonction f est continue en a si sa limite en a existe et est égale à f(a).

★ À maîtriser

• Si une fonction admet une limite finie ou infinie en un réel a ou en ±∞, cette limite est unique.

📌 Si une fonction définie sur un intervalle I admet une limite finie en une extrémité a qui n’appartient pas à I, elle se prolonge en une fonction continue en a en posant f(a)=lim_{x→a}f(x).

📌 Si f est continue sur [a,b], toute valeur k comprise entre f(a) et f(b) est atteinte au moins une fois par f sur [a,b].

Compléments

• Les fonctions usuelles suivantes sont continues sur leur ensemble de définition :
  • les fonctions polynômes
  • les fonctions rationnelles
  • la fonction racine carrée
  • la fonction exponentielle
  • le logarithme népérien
  • les fonctions trigonométriques

📌 Toute fonction construite algébriquement à partir de fonctions usuelles est continue sur son ensemble de définition.

📖 6. Dérivée et tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : La fonction f est dérivable en a si la limite du taux d’accroissement $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ lorsque x tend vers a existe et est finie ; cette limite est f′(a).
• Fonction dérivable : Une fonction est dérivable sur I si elle est dérivable en tout point de I ; sa dérivée f′ associe à chaque x∈I le nombre dérivé f′(x).

📝 Points essentiels

• Si f est dérivable en a, f′(a) est le coefficient directeur de la tangente à sa courbe au point d’abscisse a.

📐 Formule - L’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a est $y=f′(a)(x-a)+f(a)$.

📌 Toute fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur I, mais la réciproque est fausse.

📖 7. Calcul des dérivées

★ À maîtriser

📌 Pour deux fonctions dérivables u et v, les règles de dérivation sont $(u+v)'=u'+v',\quad(ku)'=ku',\quad(uv)'=u'v+uv',\quad\left(\frac{1}{v}\right)'=-\frac{v'}{v^2},\quad\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$, lorsque les expressions sont définies et que v ne s’annule pas pour les quotients.

📌 Si u et v sont dérivables et que la composée u∘v est définie, alors $(u\circ v)'=(u'\circ v)v'$.

Compléments

📌 Si u est bijective et dérivable au point correspondant, la dérivée de sa réciproque vérifie $(u^{-1})'(y)=\frac{1}{u'(u^{-1}(y))}$ lorsque le dénominateur est non nul.

• La racine carrée est dérivable sur son ensemble de définition privé de ses racines.

📖 8. Variations et extrema par dérivation

★ À maîtriser

• Si f est dérivable sur un intervalle I, f′ est positive sur I si et seulement si f est croissante sur I.

• Si f est dérivable sur un intervalle I, f′ est négative sur I si et seulement si f est décroissante sur I.

• Si une fonction dérivable présente un extremum local en un point intérieur a, alors f′(a)=0.

Compléments

• La fonction cube fournit un contre-exemple à la réciproque selon laquelle une dérivée nulle en un point assurerait un extremum local.

💡 Astuce mémo

Signe de f′ positif → f croît ; signe négatif → f décroît.

📖 9. Régularité et convexité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction convexe : Une fonction dérivable est convexe sur I lorsque sa courbe est située sous ses cordes et au-dessus de ses tangentes sur I.
• Fonction concave : Une fonction dérivable est concave sur I lorsque sa courbe est au-dessus de ses cordes et sous ses tangentes sur I.
• Dérivée seconde : La dérivée seconde f′′ est la dérivée de f′ ; plus généralement, f^(k) est la dérivée de f^(k−1).
• Fonction de classe Ck : Une fonction est de classe Ck sur I si elle est k fois dérivable sur I et si sa dérivée d’ordre k est continue sur I.
• Fonction de classe C∞ : Une fonction est de classe C∞ sur I si elle admet des dérivées continues de tout ordre sur I.

★ À maîtriser

📌 Pour une fonction deux fois dérivable sur I, la convexité équivaut à f′′≥0 sur I et la concavité équivaut à f′′≤0 sur I.

Compléments

• Les fonctions polynomiales sont de classe C∞ sur ℝ, et les fonctions rationnelles sont de classe C∞ sur leur ensemble de définition.

📌 Pour une fonction deux fois dérivable, un point d’inflexion en x₀ correspond à un changement de convexité de la courbe en x₀.

💡 Astuce mémo

Convexe : f′′ positive ; concave : f′′ négative.

📖 10. Théorèmes de Rolle et des accroissements finis

★ À maîtriser

📌 Si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et vérifie f(a)=f(b), alors il existe c∈]a,b[ tel que f′(c)=0.

📌 Si f est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[, il existe c∈]a,b[ tel que $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

Compléments

📌 Si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et si |f′(t)|≤M sur ]a,b[, alors $|f(b)-f(a)|\le M|b-a|$.

💡 Astuce mémo

Rolle impose f(a)=f(b) ; le TAF relie une pente moyenne à une dérivée.

📊 Tableaux de synthèse

Injectivité, surjectivité et bijectivité

Convexité et concavité