QCM : Généralités sur les fonctions (32 questions)

Question 1

1. Quelle propriété caractérise une fonction de ℝ dans ℝ ?

Elle est définie sur une partie de ℝ et prend ses valeurs dans ℝ.

Elle est définie sur une partie de ℝ et prend ses valeurs dans un ensemble distinct de ℝ.

Elle est définie sur tout ℝ et prend ses valeurs dans ℝ.

Elle est définie sur ℝ et prend ses valeurs dans une partie de ℝ.

Explication

Une fonction de ℝ dans ℝ est définie sur une partie de ℝ et ses valeurs appartiennent à ℝ. Exiger un domaine égal à ℝ confond une partie de ℝ avec ℝ tout entier ; l’option qui inverse domaine et valeurs confond départ et arrivée ; celle qui change l’ensemble d’arrivée ne respecte pas la définition.

Answer

Elle est définie sur une partie de ℝ et prend ses valeurs dans ℝ.

Question 2

2. Pour une fonction f, que regroupe l’ensemble de définition D_f ?

Les réels pour lesquels f ne possède pas d’image.

Les réels qui sont images d’au moins un élément par f.

Les réels qui possèdent une image par f.

Les valeurs que f peut prendre sur son domaine.

Explication

D_f rassemble les réels auxquels la fonction associe une image. Les réels qui sont images d’un élément et les valeurs prises par f relèvent de l’ensemble image ; les réels sans image ne font pas partie du domaine de définition.

Answer

Les réels qui possèdent une image par f.

Question 3

3. Pour calculer (g∘f)(x) dans une situation où les compositions sont définies, quelle opération faut-il effectuer en premier ?

Calculer f(x), puis appliquer f au résultat obtenu.

Calculer f(x), puis appliquer g au résultat obtenu.

Calculer g(x), puis appliquer g au résultat obtenu.

Calculer g(x), puis appliquer f au résultat obtenu.

Explication

Par définition, (g∘f)(x)=g(f(x)) : on évalue d’abord f, puis g. Commencer par g inverse l’ordre des fonctions ; appliquer deux fois f ou deux fois g confond la composée avec une itération d’une seule fonction.

Answer

Calculer f(x), puis appliquer g au résultat obtenu.

Question 4

4. Quels points constituent le graphe C_f d’une fonction f ?

Les points (x, f(x)) pour x appartenant à D_f.

Les points (x, 0) pour x appartenant à D_f.

Les points (f(x), x) pour x appartenant à D_f.

Les points (x, f(x)) pour tout réel x.

Explication

Le graphe est formé des points du plan dont l’abscisse x appartient à D_f et dont l’ordonnée vaut f(x). Intervertir les coordonnées change les points représentés ; prendre tout réel ajoute des abscisses hors domaine ; fixer l’ordonnée à zéro ne décrit que des points particuliers.

Answer

Les points (x, f(x)) pour x appartenant à D_f.

Question 5

5. Une fonction est définie sur ℝ et vérifie f(−x)=−f(x) pour tout réel x. Quelle propriété possède-t-elle ?

Son domaine n’est pas symétrique par rapport à zéro.

Elle est paire.

Elle est périodique.

Elle est impaire.

Explication

Une fonction impaire vérifie f(−x)=−f(x) et son domaine doit contenir les opposés ; ℝ répond à cette condition. L’égalité f(−x)=f(x) caractérise une fonction paire, et la périodicité porte sur une translation de l’argument.

Answer

Elle est impaire.

Question 6

6. Une fonction définie sur ℝ vérifie f(x+6)=f(x) pour tout réel x. Quelle conclusion découle de cette relation ?

6 est une valeur prise par la fonction en tout point.

La fonction est nulle pour tout réel x.

3 est nécessairement une période de la fonction.

6 est une période de la fonction.

Explication

Une période T positive vérifie f(x+T)=f(x), avec les arguments translatés dans le domaine ; ici, T=6 convient. La relation ne permet pas de conclure que 3 est une période, que la fonction s’annule ou que sa valeur vaut 6.

Answer

6 est une période de la fonction.

Question 7

7. Sur un intervalle, une fonction vérifie que pour tous $x<y$ , on a $f(x)\leq f(y)$ , avec parfois $f(x)=f(y)$ . Comment qualifier sa variation ?

Constante, car certaines images sont égales

Croissante, mais pas nécessairement strictement croissante

Strictement croissante, car les images ne diminuent pas

Décroissante, car les images peuvent être égales

Explication

Une fonction croissante vérifie $f(x)\leq f(y)$ lorsque $x<y$ ; l’égalité est permise, contrairement à la croissance stricte. La croissance stricte exige une inégalité stricte, la décroissance inverse l’ordre et quelques égalités ne suffisent pas à établir la constance.

Answer

Croissante, mais pas nécessairement strictement croissante

Question 8

8. Pour tous $x<y$ d’un intervalle, une fonction $g$ satisfait $g(x)\geq g(y)$ , et certaines valeurs consécutives peuvent être égales. Quelle est sa propriété ?

Constante, puisque deux images peuvent être égales

Croissante, puisque les images peuvent rester égales

Strictement décroissante, puisque les images ne croissent pas

Décroissante, sans être nécessairement strictement décroissante

Explication

La décroissance correspond à $g(x)\geq g(y)$ lorsque $x<y$ , et autorise l’égalité; la décroissance stricte exige $g(x)>g(y)$ . La croissance impose l’ordre inverse, tandis que des égalités ponctuelles ne prouvent pas que la fonction est constante.

Answer

Décroissante, sans être nécessairement strictement décroissante

Question 9

9. Une fonction $f$ est croissante et envoie un intervalle $I$ dans $J$ ; une fonction $g$ est décroissante sur $J$ . Quelle variation peut-on conclure pour $g\circ f$ sur $I$ ?

Croissante, car la fonction intérieure est croissante

Décroissante, car les deux fonctions sont décroissantes

Croissante, car les monotonies différentes se compensent

Décroissante, car les deux fonctions ont des monotonies différentes

Explication

La composée est décroissante lorsque les deux fonctions ont des monotonies différentes. La croissance de $f$ seule ne détermine pas celle de la composée, et $g$ n’est pas décroissante avec $f$ dans ce cas.

Answer

Décroissante, car les deux fonctions ont des monotonies différentes

Question 10

10. Sur un domaine $D$ , une fonction $h$ possède une borne supérieure finie et une borne inférieure finie. Quelle propriété cela établit-il ?

h

atteint ses deux bornes sur

D

h

est majorée sur

D

, sans conclusion sur sa minoration

h

est minorée sur

D

, sans conclusion sur sa majoration

h

est bornée sur

D

Explication

Une fonction est bornée sur $D$ si elle est à la fois majorée et minorée sur ce domaine. La majoration ou la minoration seule ne suffit pas, et les bornes n’ont pas besoin d’être atteintes.

Answer

$$h$$ est bornée sur $$D$$

Question 11

11. Une application $f:I\to J$ associe au plus un antécédent de $I$ à chaque élément de $J$ . Quelle propriété possède-t-elle ?

Elle est constante de

I

dans

J

Elle est injective de

I

dans

J

Elle est surjective de

I

dans

J

Elle est bijective de

I

dans

J

Explication

L’injectivité signifie que chaque élément de l’ensemble d’arrivée a au plus un antécédent dans l’ensemble de départ. La surjectivité exige au moins un antécédent pour chaque élément, et la bijectivité exige un antécédent unique.

Answer

Elle est injective de $$I$$ dans $$J$$

Question 12

12. Pour une application $f:I\to J$ , chaque élément de $J$ possède au moins un antécédent dans $I$ . Quelle propriété cela caractérise-t-il ?

L’injectivité de

f

de

I

dans

J

La bijectivité de

f

de

I

dans

J

La surjectivité de

f

de

I

dans

J

La définition de la fonction réciproque de

f

Explication

Une application est surjective lorsque chaque élément de $J$ a au moins un antécédent dans $I$ . L’injectivité parle d’au plus un antécédent, tandis que la bijectivité en exige un et un seul.

Answer

La surjectivité de $$f$$ de $$I$$ dans $$J$$

Question 13

13. Une application $f:I\to J$ associe exactement un antécédent de $I$ à chaque élément de $J$ . Comment la qualifier ?

Surjective de

I

dans

J

Injective de

I

dans

J

Bijective de

I

dans

J

Constante de

I

dans

J

Explication

Une bijection garantit qu’à chaque élément de $J$ correspond un et un seul antécédent dans $I$ ; elle est donc à la fois injective et surjective. L’injectivité seule garantit au plus un antécédent, et la surjectivité seule au moins un.

Answer

Bijective de $$I$$ dans $$J$$

Question 14

14. Une application $f:I\to J$ est bijective. Pour calculer $f^{-1}(y)$ à partir d’un élément $y\in J$ , quelle démarche correspond à la définition de la réciproque ?

Choisir un quelconque

x\in I

tel que

f(x)=y

Calculer

f(y)

, puis prendre cette image comme valeur

Trouver l’unique

x\in I

tel que

f(x)=y

Trouver l’unique

x\in J

tel que

f(x)=y

Explication

La réciproque envoie chaque $y\in J$ sur l’unique $x\in I$ tel que $f(x)=y$ . Calculer $f(y)$ inverse le rôle de l’image et de l’antécédent, et l’unicité découle de la bijectivité.

Answer

Trouver l’unique $$x\in I$$ tel que $$f(x)=y$$

Question 15

15. Une fonction admet une limite en un point réel, éventuellement infinie. Que peut-on affirmer de cette limite ?

Elle est unique seulement si elle est finie.

Elle est nécessairement égale à la valeur de la fonction au point.

Elle peut avoir deux valeurs selon le côté considéré.

Elle est unique.

Explication

Lorsqu’une limite existe en un point réel, elle est unique, qu’elle soit finie ou infinie. Deux limites latérales distinctes empêchent l’existence de la limite, une limite infinie reste unique, et la limite n’a pas à être égale à la valeur de la fonction.

Answer

Elle est unique.

Question 16

16. Pour qu’une fonction soit continue en un réel a, quelle relation doit relier sa limite en a à sa valeur en a ?

La limite en a existe, quelle que soit la valeur de f(a).

La limite en a existe et vaut f(a).

La fonction est dérivable en a et sa dérivée vaut f(a).

La limite en a est infinie et vaut f(a).

Explication

La continuité en a exige que la limite de la fonction en a existe et soit égale à f(a). Une limite existante mais différente de f(a) ne suffit pas, et la dérivabilité est une propriété distincte.

Answer

La limite en a existe et vaut f(a).

Question 17

17. Une fonction est définie sur $]2,5]$ et sa limite lorsque x tend vers 2 vaut 7. Quelle valeur faut-il attribuer en 2 pour obtenir un prolongement continu en ce point ?

Attribuer une valeur infinie en 2.

Attribuer la valeur 2 en 2.

Attribuer n’importe quelle valeur réelle en 2.

Attribuer la valeur 7 en 2.

Explication

Une limite finie en une extrémité exclue permet de prolonger la fonction par continuité en posant en ce point la valeur de cette limite, ici 7. La valeur 2 vient de la borne et une limite infinie ne permet pas d’attribuer une valeur réelle correspondante.

Answer

Attribuer la valeur 7 en 2.

Question 18

18. Une fonction est continue sur $[1,4]$ , avec $f(1)=-2$ et $f(4)=6$ . Que garantit le théorème des valeurs intermédiaires pour l’équation $f(x)=3$ sur cet intervalle ?

Elle n’admet une solution que si la fonction est strictement monotone.

Elle admet une solution seulement à une extrémité.

Elle admet au moins une solution dans l’intervalle.

Elle admet exactement une solution dans l’intervalle.

Explication

Comme 3 est compris entre les valeurs aux extrémités et que la fonction est continue, le théorème garantit au moins une solution. Il ne garantit pas l’unicité, qui demanderait des conditions supplémentaires comme la stricte monotonie.

Answer

Elle admet au moins une solution dans l’intervalle.

Question 19

19. Pour une fonction g, le taux d’accroissement en a tend vers $-4$ lorsque x tend vers a. Quelle conclusion s’impose ?

g est dérivable en a et

g'(a)=-4

.

g n’est pas dérivable en a, car la limite est négative.

g n’est pas dérivable en a, car le taux d’accroissement doit tendre vers l’infini.

g est dérivable en a et

g(a)=-4

.

Explication

La dérivabilité en a est définie par l’existence d’une limite finie du taux d’accroissement ; cette limite est le nombre dérivé, ici $-4$ . Une limite finie peut être négative et ne renseigne pas directement sur la valeur de g(a).

Answer

g est dérivable en a et $$g'(a)=-4$$.

Question 20

20. Au point d’abscisse a, que représente géométriquement $f'(a)$ lorsque f est dérivable en a ?

Le coefficient directeur d’une sécante passant par deux points distincts.

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe en a.

La pente moyenne de la courbe sur son domaine.

L’ordonnée du point de la courbe d’abscisse a.

Explication

Le nombre dérivé en a est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse a. Une sécante correspond à un taux d’accroissement entre deux points, tandis que l’ordonnée du point est f(a).

Answer

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe en a.

Question 21

21. Une courbe vérifie $f(2)=5$ et $f'(2)=3$ . Quelle est l’équation de sa tangente au point d’abscisse 2 ?

y=3(x+2)+5

y=3(x-2)+5

y=3(x-2)

y=5(x-2)+3

Explication

La tangente en a a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ . En remplaçant a par 2, la pente par 3 et la valeur par 5, on obtient $y=3(x-2)+5$ ; les autres formes échangent les données, inversent le signe ou omettent l’ordonnée.

Answer

$$y=3(x-2)+5$$

Question 22

22. Une fonction est continue sur un intervalle, mais n’est pas dérivable en un point de cet intervalle. Que peut-on conclure ?

Cela prouve que la fonction n’est pas continue sur l’intervalle.

Cela est impossible : toute fonction continue est dérivable sur l’intervalle.

Cela est possible : la dérivabilité implique la continuité, mais la réciproque est fausse.

Cela signifie que la fonction est dérivable ailleurs, mais discontinue en ce point.

Explication

Toute fonction dérivable sur un intervalle y est continue, mais une fonction continue n’est pas nécessairement dérivable en chaque point. La continuité sans dérivabilité au point considéré est donc possible.

Answer

Cela est possible : la dérivabilité implique la continuité, mais la réciproque est fausse.

Question 23

23. Pour deux fonctions dérivables $u$ et $v$ , avec $v(x)\neq 0$ , quelle expression donne la dérivée de $\frac{u(x)}{v(x)}$ ?

u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

\frac{u'(x)v(x)+u(x)v'(x)}{v(x)^2}

\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}

\frac{u'(x)-v'(x)}{v(x)}

Explication

La dérivée d’un quotient est $\frac{u'v-uv'}{v^2}$ , lorsque le dénominateur ne s’annule pas. L’expression $u'v+uv'$ est la règle du produit, le signe plus au numérateur inverse le signe requis et le dénominateur sans carré omet un facteur.

Answer

$$\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}$$

Question 24

24. On définit $h(x)=\sin(3x+1)$ . Quelle expression est $h'(x)$ ?

\cos(3x+1)

3\cos(3x+1)

3\sin(3x+1)

\cos(3x+1)+3

Explication

La dérivée d’une composée est la dérivée de la fonction extérieure évaluée en la fonction intérieure, multipliée par la dérivée de cette fonction intérieure : ici, $h'(x)=\cos(3x+1)\times3$ . L’addition confond composition et somme, l’absence du facteur 3 oublie la dérivée intérieure, et conserver le sinus utilise une mauvaise dérivée extérieure.

Answer

$$3\cos(3x+1)$$

Question 25

25. Une fonction dérivable $f$ vérifie $f'(x)\geq 0$ sur l’intervalle $[-2,4]$ . Quelle conclusion peut-on tirer sur cet intervalle ?

f

est décroissante

f

présente un extremum local à chaque point

f

est constante

f

est croissante

Explication

Pour une fonction dérivable sur un intervalle, une dérivée positive ou nulle caractérise une fonction croissante. La décroissance correspond à une dérivée négative ou nulle, tandis qu’une dérivée non négative n’impose pas que la fonction soit constante ni qu’elle ait un extremum à chaque point.

Answer

$$f$$ est croissante

Question 26

26. Sur un intervalle $I$ , une fonction dérivable $g$ vérifie $g'(x)\leq 0$ pour tout $x\in I$ . Quelle propriété de variation en découle ?

g

présente un minimum local en tout point de

I

g

est décroissante sur

I

g

est constante sur

I

g

est croissante sur

I

Explication

Une dérivée négative ou nulle sur un intervalle caractérise une fonction décroissante sur cet intervalle. Le signe opposé correspond à la croissance, et une dérivée non positive ne suffit pas à conclure que la fonction est constante ou qu’elle a un minimum en chaque point.

Answer

$$g$$ est décroissante sur $$I$$

Question 27

27. Une fonction dérivable $p$ possède un maximum local en $a=2$ , point intérieur de son intervalle de définition. Quelle égalité doit alors être vérifiée ?

p'(2)>0

p'(2)=0

p(2)=0

p'(2)<0

Explication

En un point intérieur où une fonction dérivable présente un extremum local, sa dérivée est nulle. Cette condition est nécessaire, mais elle ne suffit pas à garantir un extremum; une dérivée strictement négative n’est pas requise au point concerné, et la valeur de la fonction n’a pas à être nulle.

Answer

$$p'(2)=0$$

Question 28

28. Sur un intervalle, quelle position caractérise la courbe d’une fonction dérivable convexe par rapport à ses cordes et à ses tangentes ?

Sous ses cordes et au-dessus de ses tangentes

Sous ses cordes et ses tangentes

Au-dessus de ses cordes et sous ses tangentes

Au-dessus de ses cordes et de ses tangentes

Explication

Une fonction convexe a une courbe située sous ses cordes et au-dessus de ses tangentes. La position « au-dessus des cordes et sous les tangentes » caractérise la concavité; les deux autres réponses inversent ou omettent une de ces positions.

Answer

Sous ses cordes et au-dessus de ses tangentes

Question 29

29. Une fonction deux fois dérivable sur un intervalle vérifie $f''(x)\geq 0$ en tout point de cet intervalle. Quelle conclusion peut-on en tirer ?

La fonction est concave sur l’intervalle

La fonction est croissante sur l’intervalle

La fonction est convexe sur l’intervalle

La fonction est décroissante sur l’intervalle

Explication

Pour une fonction deux fois dérivable, la convexité équivaut à $f''\geq 0$ sur l’intervalle. La concavité correspond à $f''\leq 0$ , tandis que la croissance ou la décroissance dépend du signe de la dérivée première.

Answer

La fonction est convexe sur l’intervalle

Question 30

30. Une fonction est quatre fois dérivable sur un intervalle et sa dérivée quatrième y est continue. Quelle propriété suffit à affirmer qu’elle est de classe $C^4$ sur cet intervalle ?

La fonction elle-même est continue

Sa dérivée d’ordre trois est continue

Sa dérivée d’ordre quatre est continue

Sa dérivée première est continue

Explication

Une fonction est de classe $C^k$ si elle est $k$ fois dérivable et si sa dérivée d’ordre $k$ est continue. La continuité de la dérivée première ou troisième ne répond pas à cette condition précise; la seule continuité de la fonction ne suffit pas.

Answer

Sa dérivée d’ordre quatre est continue

Question 31

31. Une fonction est continue sur $[2,7]$ , dérivable sur $]2,7[$ et vérifie $f(2)=f(7)$ . Quelle conclusion le théorème de Rolle garantit-il ?

Il existe

c\in]2,7[

tel que

f'(c)=\frac{f(7)-f(2)}{5}

, sans imposer zéro

Il existe

c\in]2,7[

tel que

f'(c)=0

Il existe

c\in[2,7]

tel que

f'(c)=0

La dérivée est nulle sur tout l’intervalle

]2,7[

Explication

Sous les hypothèses de continuité, de dérivabilité et d’égalité des valeurs aux bornes, Rolle garantit un point intérieur où la dérivée s’annule. Le taux moyen sans égalité des valeurs relève du théorème des accroissements finis; une borne n’est pas un point intérieur, et une annulation ponctuelle n’implique pas une dérivée nulle partout.

Answer

Il existe $$c\in]2,7[$$ tel que $$f'(c)=0$$

Question 32

32. Une fonction continue sur $[1,5]$ et dérivable sur $]1,5[$ prend les valeurs $f(1)=3$ et $f(5)=11$ . Quelle valeur le théorème des accroissements finis garantit-il pour $f'(c)$ en un certain point intérieur $c$ ?

2

\frac{1}{2}

0

8

Explication

Le théorème garantit que $f'(c)=\frac{f(5)-f(1)}{5-1}=\frac{11-3}{4}=2$ pour un certain $c\in]1,5[$ . $8$ est la variation totale sans division par la longueur de l’intervalle, $\frac{1}{2}$ inverse le rapport et $0$ correspondrait au cas de Rolle où les valeurs aux bornes sont égales.

QCM : Généralités sur les fonctions (32 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle propriété caractérise une fonction de ℝ dans ℝ ?

2. Pour une fonction f, que regroupe l’ensemble de définition D_f ?

3. Pour calculer (g∘f)(x) dans une situation où les compositions sont définies, quelle opération faut-il effectuer en premier ?

4. Quels points constituent le graphe C_f d’une fonction f ?

5. Une fonction est définie sur ℝ et vérifie f(−x)=−f(x) pour tout réel x. Quelle propriété possède-t-elle ?

6. Une fonction définie sur ℝ vérifie f(x+6)=f(x) pour tout réel x. Quelle conclusion découle de cette relation ?

7. Sur un intervalle, une fonction vérifie que pour tous x<yx<yx<y, on a f(x)≤f(y)f(x)\leq f(y)f(x)≤f(y), avec parfois f(x)=f(y)f(x)=f(y)f(x)=f(y). Comment qualifier sa variation ?

8. Pour tous x<yx<yx<y d’un intervalle, une fonction ggg satisfait g(x)≥g(y)g(x)\geq g(y)g(x)≥g(y), et certaines valeurs consécutives peuvent être égales. Quelle est sa propriété ?

9. Une fonction fff est croissante et envoie un intervalle III dans JJJ; une fonction ggg est décroissante sur JJJ. Quelle variation peut-on conclure pour g∘fg\circ fg∘f sur III ?

10. Sur un domaine DDD, une fonction hhh possède une borne supérieure finie et une borne inférieure finie. Quelle propriété cela établit-il ?

11. Une application f:I→Jf:I\to Jf:I→J associe au plus un antécédent de III à chaque élément de JJJ. Quelle propriété possède-t-elle ?

12. Pour une application f:I→Jf:I\to Jf:I→J, chaque élément de JJJ possède au moins un antécédent dans III. Quelle propriété cela caractérise-t-il ?

13. Une application f:I→Jf:I\to Jf:I→J associe exactement un antécédent de III à chaque élément de JJJ. Comment la qualifier ?

14. Une application f:I→Jf:I\to Jf:I→J est bijective. Pour calculer f−1(y)f^{-1}(y)f−1(y) à partir d’un élément y∈Jy\in Jy∈J, quelle démarche correspond à la définition de la réciproque ?

15. Une fonction admet une limite en un point réel, éventuellement infinie. Que peut-on affirmer de cette limite ?

16. Pour qu’une fonction soit continue en un réel a, quelle relation doit relier sa limite en a à sa valeur en a ?

17. Une fonction est définie sur ]2,5]]2,5]]2,5] et sa limite lorsque x tend vers 2 vaut 7. Quelle valeur faut-il attribuer en 2 pour obtenir un prolongement continu en ce point ?

18. Une fonction est continue sur [1,4][1,4][1,4], avec f(1)=−2f(1)=-2f(1)=−2 et f(4)=6f(4)=6f(4)=6. Que garantit le théorème des valeurs intermédiaires pour l’équation f(x)=3f(x)=3f(x)=3 sur cet intervalle ?

19. Pour une fonction g, le taux d’accroissement en a tend vers −4-4−4 lorsque x tend vers a. Quelle conclusion s’impose ?

20. Au point d’abscisse a, que représente géométriquement f′(a)f'(a)f′(a) lorsque f est dérivable en a ?

21. Une courbe vérifie f(2)=5f(2)=5f(2)=5 et f′(2)=3f'(2)=3f′(2)=3. Quelle est l’équation de sa tangente au point d’abscisse 2 ?

22. Une fonction est continue sur un intervalle, mais n’est pas dérivable en un point de cet intervalle. Que peut-on conclure ?

23. Pour deux fonctions dérivables uuu et vvv, avec v(x)≠0v(x)\neq 0v(x)=0, quelle expression donne la dérivée de u(x)v(x)\frac{u(x)}{v(x)}v(x)u(x)​ ?

24. On définit h(x)=sin⁡(3x+1)h(x)=\sin(3x+1)h(x)=sin(3x+1). Quelle expression est h′(x)h'(x)h′(x) ?

25. Une fonction dérivable fff vérifie f′(x)≥0f'(x)\geq 0f′(x)≥0 sur l’intervalle [−2,4][-2,4][−2,4]. Quelle conclusion peut-on tirer sur cet intervalle ?

26. Sur un intervalle III, une fonction dérivable ggg vérifie g′(x)≤0g'(x)\leq 0g′(x)≤0 pour tout x∈Ix\in Ix∈I. Quelle propriété de variation en découle ?

27. Une fonction dérivable ppp possède un maximum local en a=2a=2a=2, point intérieur de son intervalle de définition. Quelle égalité doit alors être vérifiée ?

28. Sur un intervalle, quelle position caractérise la courbe d’une fonction dérivable convexe par rapport à ses cordes et à ses tangentes ?

29. Une fonction deux fois dérivable sur un intervalle vérifie f′′(x)≥0f''(x)\geq 0f′′(x)≥0 en tout point de cet intervalle. Quelle conclusion peut-on en tirer ?

30. Une fonction est quatre fois dérivable sur un intervalle et sa dérivée quatrième y est continue. Quelle propriété suffit à affirmer qu’elle est de classe C4C^4C4 sur cet intervalle ?

31. Une fonction est continue sur [2,7][2,7][2,7], dérivable sur ]2,7[]2,7[]2,7[ et vérifie f(2)=f(7)f(2)=f(7)f(2)=f(7). Quelle conclusion le théorème de Rolle garantit-il ?

32. Une fonction continue sur [1,5][1,5][1,5] et dérivable sur ]1,5[]1,5[]1,5[ prend les valeurs f(1)=3f(1)=3f(1)=3 et f(5)=11f(5)=11f(5)=11. Quelle valeur le théorème des accroissements finis garantit-il pour f′(c)f'(c)f′(c) en un certain point intérieur ccc ?

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7. Sur un intervalle, une fonction vérifie que pour tous $x<y$ , on a $f(x)\leq f(y)$ , avec parfois $f(x)=f(y)$ . Comment qualifier sa variation ?

8. Pour tous $x<y$ d’un intervalle, une fonction $g$ satisfait $g(x)\geq g(y)$ , et certaines valeurs consécutives peuvent être égales. Quelle est sa propriété ?

9. Une fonction $f$ est croissante et envoie un intervalle $I$ dans $J$ ; une fonction $g$ est décroissante sur $J$ . Quelle variation peut-on conclure pour $g\circ f$ sur $I$ ?

10. Sur un domaine $D$ , une fonction $h$ possède une borne supérieure finie et une borne inférieure finie. Quelle propriété cela établit-il ?

11. Une application $f:I\to J$ associe au plus un antécédent de $I$ à chaque élément de $J$ . Quelle propriété possède-t-elle ?

12. Pour une application $f:I\to J$ , chaque élément de $J$ possède au moins un antécédent dans $I$ . Quelle propriété cela caractérise-t-il ?

13. Une application $f:I\to J$ associe exactement un antécédent de $I$ à chaque élément de $J$ . Comment la qualifier ?

14. Une application $f:I\to J$ est bijective. Pour calculer $f^{-1}(y)$ à partir d’un élément $y\in J$ , quelle démarche correspond à la définition de la réciproque ?

17. Une fonction est définie sur $]2,5]$ et sa limite lorsque x tend vers 2 vaut 7. Quelle valeur faut-il attribuer en 2 pour obtenir un prolongement continu en ce point ?

18. Une fonction est continue sur $[1,4]$ , avec $f(1)=-2$ et $f(4)=6$ . Que garantit le théorème des valeurs intermédiaires pour l’équation $f(x)=3$ sur cet intervalle ?

19. Pour une fonction g, le taux d’accroissement en a tend vers $-4$ lorsque x tend vers a. Quelle conclusion s’impose ?

20. Au point d’abscisse a, que représente géométriquement $f'(a)$ lorsque f est dérivable en a ?

21. Une courbe vérifie $f(2)=5$ et $f'(2)=3$ . Quelle est l’équation de sa tangente au point d’abscisse 2 ?

23. Pour deux fonctions dérivables $u$ et $v$ , avec $v(x)\neq 0$ , quelle expression donne la dérivée de $\frac{u(x)}{v(x)}$ ?

24. On définit $h(x)=\sin(3x+1)$ . Quelle expression est $h'(x)$ ?

25. Une fonction dérivable $f$ vérifie $f'(x)\geq 0$ sur l’intervalle $[-2,4]$ . Quelle conclusion peut-on tirer sur cet intervalle ?

26. Sur un intervalle $I$ , une fonction dérivable $g$ vérifie $g'(x)\leq 0$ pour tout $x\in I$ . Quelle propriété de variation en découle ?

27. Une fonction dérivable $p$ possède un maximum local en $a=2$ , point intérieur de son intervalle de définition. Quelle égalité doit alors être vérifiée ?

29. Une fonction deux fois dérivable sur un intervalle vérifie $f''(x)\geq 0$ en tout point de cet intervalle. Quelle conclusion peut-on en tirer ?

30. Une fonction est quatre fois dérivable sur un intervalle et sa dérivée quatrième y est continue. Quelle propriété suffit à affirmer qu’elle est de classe $C^4$ sur cet intervalle ?

31. Une fonction est continue sur $[2,7]$ , dérivable sur $]2,7[$ et vérifie $f(2)=f(7)$ . Quelle conclusion le théorème de Rolle garantit-il ?

32. Une fonction continue sur $[1,5]$ et dérivable sur $]1,5[$ prend les valeurs $f(1)=3$ et $f(5)=11$ . Quelle valeur le théorème des accroissements finis garantit-il pour $f'(c)$ en un certain point intérieur $c$ ?