Fiche de révision : Généralités sur les suites

📋 Plan du Cours

1. Définition et notation des suites
2. Modes de génération des suites
3. Représentations graphiques des suites
4. Variations d’une suite

📖 1. Définition et notation des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Fonction définie sur ℕ ou une partie de ℕ et à valeurs dans ℝ.
• Terme général : Terme d'indice n et terme général de la suite ; le terme suivant est uₙ₊₁ et le terme précédent est uₙ₋₁.

★ À maîtriser

• Une suite se note $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ou $(u_n)_{n\geq 0}$, et ses termes sont notés u₀, u₁, u₂, u₃, jusqu'à uₙ.

Compléments

📌 Une suite peut être définie à partir d'un rang n₀, auquel cas elle se note $(u_n)_{n\geq n_0}$ et ne comprend que les termes d'indices supérieurs ou égaux à n₀.

📖 2. Modes de génération des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Formule explicite : Suite dont le terme général uₙ s'exprime directement comme une fonction algébrique de n, sous la forme $u_n=f(n)$.
• Formule de récurrence : Suite dont un terme est exprimé en fonction d'un ou de plusieurs termes précédents, avec la donnée du ou des premiers termes.

★ À maîtriser

• Pour la suite définie par u₀ = −5 et $u_{n+1}=2u_n+3$, on calcule successivement u₁ = −7, u₂ = −11, u₃ = −19, u₄ = −35 et u₅ = −67.

Compléments

• Pour la suite définie par $u_n=\sqrt{n-3}$, on obtient directement $u_{84}=\sqrt{84-3}=\sqrt{81}=9$.

📌 Une récurrence d'ordre 1 utilise un seul terme précédent, comme $u_{n+1}=2u_n+1$, tandis qu'une récurrence d'ordre 2 utilise deux termes précédents, comme $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$.

💡 Astuce mémo

Formule explicite : on saute directement au terme ; récurrence : on avance de proche en proche.

📖 3. Représentations graphiques des suites

★ À maîtriser

• Dans un repère, la représentation d'une suite est constituée des points de coordonnées (n,uₙ).

📌 Si $u_n=f(n)$, alors uₙ est l'ordonnée du point d'abscisse n de la courbe représentative de f.

• Pour construire graphiquement une suite définie par $u_{n+1}=f(u_n)$, on utilise la courbe de f et la droite $y=x$ pour reporter successivement chaque image sur l'axe des abscisses.

Compléments

• Une suite peut être représentée sur une droite graduée en y plaçant les réels d'abscisses u₀, u₁, u₂

💡 Astuce mémo

Droite graduée → points (n,uₙ) → courbe de f → escalier avec y=x.

📖 4. Variations d’une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Suite qui vérifie, pour tout entier n supérieur ou égal à n₀, $u_n\leq u_{n+1}$.
• Suite décroissante : Suite qui vérifie, pour tout entier n supérieur ou égal à n₀, $u_n\geq u_{n+1}$.
• Suite monotone : Suite croissante ou décroissante.

★ À maîtriser

• Pour étudier les variations d'une suite explicite $u_n=f(n)$, on peut étudier les variations de f sur l'intervalle correspondant, notamment [0,+∞[.

📌 Si $u_{n+1}-u_n\geq0$ pour tout n, la suite est croissante, et si $u_{n+1}-u_n\leq0$ pour tout n, elle est décroissante.

📌 Le sens de variation de la fonction f n'est pas nécessairement celui de la suite définie par $u_{n+1}=f(u_n)$.

Compléments

📌 Lorsque uₙ > 0 pour tout n, si $\frac{u_{n+1}}{u_n}\geq1$ la suite est croissante, tandis que si $\frac{u_{n+1}}{u_n}\leq1$ elle est décroissante.

• Une suite telle que $u_n=(-1)^n$ peut n'être ni croissante ni décroissante, tandis qu'une suite vérifiant uₙ = uₙ₊₁ pour tout n est constante.

💡 Astuce mémo

Croissante : uₙ ≤ uₙ₊₁ ; décroissante : uₙ ≥ uₙ₊₁.