Fiche de révision : Géométrie dans l’espace

📋 Plan du Cours

1. Orthogonalité des droites de l’espace
2. Orthogonalité des droites et des plans
3. Distances aux droites et aux plans
4. Plans perpendiculaires
5. Projections orthogonales
6. Vecteurs et calcul vectoriel
7. Coplanarité et repères vectoriels
8. Coordonnées dans l’espace

📖 1. Orthogonalité des droites de l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Droites orthogonales : Droites de l’espace dont les parallèles passant par un même point sont perpendiculaires dans le plan qu’elles définissent.

★ À maîtriser

📌 Dans l’espace, deux droites sont perpendiculaires si et seulement si elles sont orthogonales et sécantes, ou orthogonales et coplanaires.

Compléments

📌 Si deux droites de l’espace sont orthogonales, toute droite parallèle à l’une est orthogonale à l’autre.

📌 Si deux droites de l’espace sont parallèles, toute droite orthogonale à l’une est orthogonale à l’autre.

💡 Astuce mémo

Orthogonales sans rencontre ; perpendiculaires avec rencontre

📖 2. Orthogonalité des droites et des plans

🔑 Notions clés & Définitions

• Droite orthogonale à un plan : Droite orthogonale à deux droites sécantes du plan.

★ À maîtriser

📌 Si une droite est orthogonale à un plan, elle est orthogonale à toute droite de ce plan.

Compléments

• Toute droite orthogonale à un plan est sécante à ce plan en un point.

• Par un point donné de l’espace passe une unique droite perpendiculaire à un plan donné.

• Par un point donné de l’espace passe un unique plan orthogonal à une droite donnée.

📌 Deux plans orthogonaux à une même droite sont parallèles.

📌 Si une droite est orthogonale à un plan, toute droite orthogonale à cette droite est parallèle au plan.

📖 3. Distances aux droites et aux plans

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance d’un point à un plan : Longueur AH, où H est l’intersection du plan avec la droite passant par A et perpendiculaire au plan.

📝 Points essentiels

• Le pied H de la perpendiculaire issue de A à un plan (𝒫) est le point de (𝒫) le plus proche de A : pour tout M de (𝒫), AH ≤ AM.

• Le pied H de la perpendiculaire issue de A à une droite (𝒟) est le point de (𝒟) le plus proche de A : pour tout M de (𝒟), AH ≤ AM.

📖 4. Plans perpendiculaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Plans perpendiculaires : Plans dont l’un contient une droite orthogonale à l’autre.

★ À maîtriser

📌 Si deux plans sont perpendiculaires, toute droite orthogonale à l’un est parallèle à l’autre.

Compléments

• Deux plans perpendiculaires sont sécants.

• Si une droite est orthogonale à un plan, tout plan parallèle à cette droite est perpendiculaire au plan initial.

• Si deux plans sont perpendiculaires, tout plan parallèle à l’un est perpendiculaire à l’autre.

• Deux plans perpendiculaires à un même plan ne sont pas nécessairement parallèles entre eux.

• Un plan est perpendiculaire à deux plans sécants si et seulement s’il est perpendiculaire à leur droite d’intersection.

📖 5. Projections orthogonales

🔑 Notions clés & Définitions

• Projection orthogonale sur un plan : Application qui associe à chaque point M l’intersection M′ du plan avec la droite passant par M et orthogonale au plan.
• Point invariant : Un point M est invariant par une application f de l’espace dans l’espace si et seulement si f(M) = M.

★ À maîtriser

📌 L’image d’une droite par la projection orthogonale sur un plan est une droite si la droite n’est pas orthogonale au plan, et un singleton si elle lui est orthogonale.

Compléments

• L’ensemble des points invariants par la projection orthogonale sur un plan (𝒫) est le plan (𝒫) lui-même.

📌 L’image d’un segment par projection orthogonale sur un plan est un singleton si son support est orthogonal au plan, et le segment image correspondant sinon.

• La projection orthogonale conserve la longueur d’un segment parallèle au plan de projection et réduit la longueur d’un segment dont le support n’est pas parallèle à ce plan.

• La projection orthogonale d’un point situé au milieu d’un segment dont le support n’est pas orthogonal au plan est le milieu du segment image.

• L’ensemble des points invariants par la projection orthogonale sur une droite (𝒟) est la droite (𝒟) elle-même.

📌 L’image par projection orthogonale sur (𝒟) d’une droite orthogonale à (𝒟) est un singleton, tandis que celle d’une droite non orthogonale à (𝒟) est (𝒟).

• La projection orthogonale sur une droite conserve le milieu d’un segment lorsque son support n’est pas orthogonal à la droite.

💡 Astuce mémo

Projection sur un plan : image dans le plan ; projection sur une droite : image sur la droite

📖 6. Vecteurs et calcul vectoriel

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur de l’espace : Vecteur caractérisé par une direction, un sens et une longueur ; la longueur du vecteur AB est sa norme, égale à AB.
• Somme de vecteurs : Vecteur représenté par la diagonale issue du sommet commun du parallélogramme construit sur deux représentants de ces vecteurs.
• Vecteurs colinéaires : Vecteurs dont l’un est nul ou dont les directions sont identiques.
• Combinaison linéaire : Un vecteur w = au + bv est une combinaison linéaire des vecteurs u et v, où a et b sont des réels.

★ À maîtriser

📐 Formule - La relation de Chasles s’écrit $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

Compléments

• Lorsque A et B sont confondus, le vecteur AB est le vecteur nul, noté 0, et sa norme est égale à 0.

📌 Deux couples de points déterminent le même vecteur si leurs vecteurs ont la même direction, le même sens et la même longueur.

📌 Pour quatre points A, B, C et D, AB = CD si et seulement si AC = BD, si et seulement si [AD] et [BC] ont le même milieu, et si et seulement si ACBD est un parallélogramme.

• Pour tout point O et tout vecteur u de l’espace, il existe un unique point M tel que OM = u.

• L’addition des vecteurs est commutative et associative, et la multiplication scalaire est distributive sur l’addition des vecteurs et des réels.

📐 Formule - Pour tout vecteur u et tout réel α, $\|\alpha\vec u\|=|\alpha|\,\|\vec u\|$.

📐 Formule - Pour tous vecteurs u et v, l’inégalité triangulaire donne $\|\vec u+\vec v\|\leq\|\vec u\|+\|\vec v\|$.

📌 Si u est non nul, u et v sont colinéaires si et seulement s’il existe un réel k tel que v = ku.

📖 7. Coplanarité et repères vectoriels

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs coplanaires : Trois vecteurs tels que deux d’entre eux sont colinéaires ou que l’un est une combinaison linéaire des deux autres.
• Vecteur normal à un plan : Vecteur directeur d’une droite perpendiculaire au plan.
• Base de l’espace : Triplet de vecteurs non coplanaires.

★ À maîtriser

• Si u et v sont non colinéaires, trois vecteurs u, v et w sont coplanaires si et seulement si w est une combinaison linéaire de u et v.

• La droite de repère (A; u), avec u non nul, est l’ensemble des points M tels que AM = λu pour un réel λ.

• Le plan de repère (A; u, v), où u et v sont non colinéaires, est l’ensemble des points M tels que AM = αu + βv pour (α, β) dans ℝ².

• Dans toute base (i, j, k) de l’espace, chaque vecteur u s’écrit de manière unique sous la forme u = xi + yj + zk.

Compléments

• Trois vecteurs u, v et w sont coplanaires si et seulement s’il existe un triplet réel non nul (α, β, γ) tel que αu + βv + γw = 0.

• Trois vecteurs u, v et w sont non coplanaires si et seulement si le seul triplet (α, β, γ) vérifiant αu + βv + γw = 0 est (0, 0, 0).

• Pour des vecteurs u = AB, v = AC et w = AD, les trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si les points A, B, C et D sont dans un même plan.

• Les points M tels que AM = tAB forment la droite (AB) pour t réel, la demi-droite [AB) pour t ≥ 0 et le segment [AB] pour 0 ≤ t ≤ 1.

• Pour un plan de repère (A; u, v), un vecteur non nul n est normal au plan si et seulement si n est perpendiculaire à u et à v.

📖 8. Coordonnées dans l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère de l’espace : Quadruplet de points non coplanaires (O, I, J, K), ou quadruplet (O; i, j, k) où O est un point et (i, j, k) une base de vecteurs.

★ À maîtriser

📌 Dans le repère (O; i, j, k), les coordonnées (x, y, z) du point M sont les réels uniques tels que OM = xi + yj + zk.

Compléments

• Dans le repère (O; i, j, k), les axes (O; i), (O; j) et (O; k) sont respectivement les axes des abscisses, des ordonnées et des côtes.

📐 Formule - Dans une base de l’espace, l’égalité de deux vecteurs de coordonnées (x, y, z) et (x′, y′, z′) équivaut à $x=x',\quad y=y',\quad z=z'$.

• Dans une base de l’espace, la somme de vecteurs de coordonnées (x, y, z) et (x′, y′, z′) a pour coordonnées $(x+x',\ y+y',\ z+z')$.

• Dans une base de l’espace, le produit d’un vecteur de coordonnées (x, y, z) par α a pour coordonnées $(\alpha x,\ \alpha y,\ \alpha z)$.

📐 Formule - Le milieu de [AB], pour A(x_A, y_A, z_A) et B(x_B, y_B, z_B), a pour coordonnées $\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2},\frac{z_A+z_B}{2}\right)$.