QCM : Géométrie dans l’espace (10 questions)

Explication

L’orthogonalité se définit en comparant les parallèles aux deux droites menées par un même point : elles doivent être perpendiculaires dans le plan qu’elles définissent. Des droites orthogonales ne sont pas nécessairement sécantes, contrairement à des droites perpendiculaires.

Explication

Une droite est orthogonale à un plan lorsqu’elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. Être orthogonale à une seule droite du plan ne suffit pas à établir cette relation.

Explication

Toute droite orthogonale à un plan est orthogonale à chacune des droites de ce plan, donc aussi à d. Le fait qu’une droite soit orthogonale au plan n’implique pas qu’elle soit parallèle à une droite de ce plan.

Explication

La distance de A au plan est la longueur AH lorsque H est l’intersection du plan avec la perpendiculaire au plan passant par A. Un point choisi sur une droite parallèle au plan ne définit pas cette distance, même si le segment semble proche.

Explication

Deux plans sont perpendiculaires lorsque l’un contient une droite orthogonale à l’autre. Le fait que chacun contienne une droite parallèle à l’autre ne caractérise pas leur perpendicularité.

Explication

La projection orthogonale envoie chaque point sur le point où le plan rencontre la droite qui passe par lui et lui est perpendiculaire. Une droite parallèle au plan ne garantit pas cette intersection perpendiculaire.

Explication

La colinéarité concerne une direction commune, avec le cas particulier où l’un des vecteurs est nul, alors que la coplanarité signifie que les vecteurs peuvent être contenus dans un même plan. Des vecteurs coplanaires peuvent aussi être colinéaires, contrairement à ce que suggère l’idée qu’ils doivent avoir des directions différentes.

Explication

Des vecteurs de base non coplanaires permettent d’écrire tout vecteur de façon unique comme combinaison linéaire des trois vecteurs. La colinéarité, au contraire, empêcherait de constituer une base de l’espace.

Explication

Les coordonnées de $M$ sont les coefficients de la décomposition de $\overrightarrow{OM}$ selon $\vec i$, $\vec j$ et $\vec k$, dans cet ordre. Intervertir les coefficients des axes, par exemple ceux de $\vec i$ et de $\vec j$, ne respecte pas la décomposition donnée.

Explication

La perpendicularité dans l’espace suppose l’orthogonalité, accompagnée d’une condition de rencontre ou de coplanarité. Deux droites parallèles ne vérifient pas cette caractérisation, même si elles appartiennent à un même plan.