Fiche de révision : Géométrie vectorielle dans l’espace

📋 Plan du Cours

1. Vecteurs de l’espace
2. Droites et vecteurs directeurs
3. Plans et directions vectorielles
4. Coplanarité des vecteurs
5. Bases et repères de l’espace
6. Coordonnées et calculs vectoriels
7. Représentations paramétriques

📖 1. Vecteurs de l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur AB : Pour deux points distincts A et B, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a la direction de la droite (AB), le sens de A vers B et pour norme la distance AB ; si A = B, il est nul.
• Colinéarité : Deux vecteurs non nuls sont colinéaires s’ils ont la même direction ; cela équivaut à l’existence d’un réel k tel que $\vec{v}=k\vec{u}$.
• Combinaison linéaire : Un vecteur $\vec{v}$ est une combinaison linéaire de $\vec{u}_1,\ldots,\vec{u}_n$ s’il peut s’écrire $\vec{v}=a_1\vec{u}_1+\cdots+a_n\vec{u}_n$ avec des réels $a_1,\ldots,a_n$.

★ À maîtriser

📌 Deux vecteurs sont égaux si et seulement s’ils ont même direction, même sens et même norme.

Compléments

📌 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ si et seulement si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati.

📌 Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires si et seulement si les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

📖 2. Droites et vecteurs directeurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Droite de l’espace : Pour deux points distincts A et B, la droite (AB) est l’ensemble des points M tels que $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$ pour un réel k.
• Vecteur directeur : Vecteur ayant la même direction que cette droite.

★ À maîtriser

📌 Deux droites de l’espace sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

📌 Deux droites de l’espace sont soit coplanaires, soit non coplanaires ; deux droites coplanaires sont sécantes ou strictement parallèles, tandis que deux droites non coplanaires n’ont aucun point commun sans être parallèles.

Compléments

• Une droite est entièrement déterminée par un point A et un vecteur directeur $\vec{u}$, et se note $D(A,\vec{u})$.

💡 Astuce mémo

Dans l’espace, des droites sans point commun peuvent être non parallèles si elles ne sont pas coplanaires.

📖 3. Plans et directions vectorielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Plan défini par deux directions : Un point A et deux vecteurs non colinéaires $\vec{u}$ et $\vec{v}$ définissent un unique plan, noté $(A;\vec{u},\vec{v})$, dont les points M vérifient $\overrightarrow{AM}=x\vec{u}+y\vec{v}$ avec x et y réels.

★ À maîtriser

📌 Une droite et un plan sont sécants en un point, strictement parallèles ou la droite est contenue dans le plan.

📌 Deux plans sont soit sécants selon une droite, soit strictement parallèles, soit confondus.

Compléments

• Dans le plan $(A;\vec{u},\vec{v})$, le couple $(\vec{u},\vec{v})$ est une base et $\overrightarrow{AM}=x\vec{u}+y\vec{v}$ s’écrit de manière unique.

📌 Une droite est parallèle à un plan si et seulement si tout vecteur directeur de la droite est combinaison linéaire de vecteurs directeurs du plan.

📌 Deux plans sont parallèles si et seulement s’ils admettent un même couple de vecteurs directeurs.

📖 4. Coplanarité des vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs coplanaires : Trois vecteurs sont coplanaires si les points obtenus en les reportant à partir d’un même point O appartiennent à un même plan.

★ À maîtriser

📌 Trois vecteurs $\vec{u},\vec{v},\vec{w}$, avec $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non colinéaires, sont coplanaires si et seulement s’il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $\vec{w}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}$.

Compléments

• Deux vecteurs ou trois points sont toujours coplanaires, mais quatre points peuvent ne pas l’être.

📌 Quatre points distincts A, B, C et D sont coplanaires si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ sont coplanaires.

• Si ABCD est un parallélogramme et si $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{v}=2\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}$ et $\vec{w}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AE}$, alors $\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}$ et ces trois vecteurs sont coplanaires.

📖 5. Bases et repères de l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Base de l’espace : Triplet de vecteurs non coplanaires.
• Repère de l’espace : Un repère de l’espace est formé d’un point O et d’une base $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ ; O est l’origine du repère.

📝 Points essentiels

• Pour trois vecteurs non coplanaires $\vec{u},\vec{v},\vec{w}$ et tout vecteur $\vec{t}$ de l’espace, il existe un unique triplet de réels (a,b,c) tel que $\vec{t}=a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}$.

💡 Astuce mémo

Deux vecteurs non colinéaires définissent un plan ; trois vecteurs non coplanaires définissent l’espace.

📖 6. Coordonnées et calculs vectoriels

★ À maîtriser

• Dans un repère $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, tout point M possède un unique triplet (x,y,z) tel que $\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$ ; ce triplet donne ses coordonnées.

• Dans un repère de l’espace, tout vecteur possède un unique triplet (x,y,z) tel que $\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$ ; ce triplet donne ses coordonnées.

📐 Formule - Si $\vec{u}=(x;y;z)$ et $\vec{v}=(x';y';z')$, alors $k\vec{u}=(kx;ky;kz)$ et $\vec{u}+\vec{v}=(x+x';y+y';z+z')$.

📐 Formule - Pour A(x_A;y_A;z_A) et B(x_B;y_B;z_B), $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)$.

Compléments

📐 Formule - Le milieu M de [AB] a pour coordonnées $\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2}\right)$.

📐 Formule - Dans un repère orthonormé, si $\vec{u}=(x;y;z)$, alors $\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

📐 Formule - Dans un repère orthonormé, $AB=\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$.

📖 7. Représentations paramétriques

★ À maîtriser

• Pour une droite passant par A(x_A;y_A;z_A) et de vecteur directeur (a;b;c), les coordonnées de ses points vérifient x=x_A+at, y=y_A+bt et z=z_A+ct pour un réel t.

• Pour un plan passant par A(x_A;y_A;z_A) et dirigé par (a;b;c) et (a';b';c'), les coordonnées de ses points vérifient x=x_A+λa+μa', y=y_A+λb+μb' et z=z_A+λc+μc' pour deux réels λ et μ.

Compléments

• Une droite possède une infinité de représentations paramétriques, car elle possède une infinité de points et de vecteurs directeurs.

• Pour A(−3;−1;2) et B(−2;−2;6), $\overrightarrow{AB}=(1;−1;4)$ et une représentation paramétrique de (AB) est $x=−3+t,\ y=−1−t,\ z=2+4t$ pour t réel.

💡 Astuce mémo

Une droite utilise un paramètre ; un plan en utilise deux.