QCM : Géométrie vectorielle dans l’espace (21 questions)

Explication

Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ suit la direction de la droite (AB), va de A vers B et a pour norme la distance AB. Le sens de B vers A inverse l’orientation, la moitié de AB modifie la norme et la direction perpendiculaire ne correspond pas à (AB).

Explication

Deux vecteurs sont égaux lorsqu’ils ont la même direction, le même sens et la même norme. Des normes différentes ou des directions différentes empêchent aussi l’égalité, tandis que la colinéarité seule ne suffit pas.

Explication

L’écriture $\vec{v}=k\vec{u}$ avec un réel $k$ établit la colinéarité ; ici, $k=-3$ indique en plus des sens opposés. L’égalité exigerait le même sens et la même norme, et un coefficient négatif ou non entier n’exclut pas la colinéarité.

Explication

Un vecteur est une combinaison linéaire d’autres vecteurs lorsqu’il s’écrit comme leur somme pondérée par des réels ; les coefficients donnés conviennent donc. Une combinaison linéaire ne signifie pas égalité à chaque vecteur et n’impose ni positivité ni coefficients entiers.

Explication

La relation $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$ caractérise les points de la droite (AB), et un coefficient négatif place M du côté opposé à B par rapport à A. Un coefficient positif supérieur à un placerait le point au-delà de B, tandis qu’un coefficient compris entre zéro et un le placerait entre A et B.

Explication

Deux droites de l’espace sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Des vecteurs directeurs colinéaires n’impliquent pas qu’ils soient égaux et ne permettent pas de conclure que les droites sont sécantes ou confondues.

Explication

Des droites sans point commun dont les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires sont non coplanaires ; elles ne sont donc pas parallèles. Les droites strictement parallèles ont des vecteurs directeurs colinéaires, les droites sécantes ont un point commun et les droites confondues en ont une infinité.

Explication

Les deux vecteurs non colinéaires engendrent le plan : tout point M s’y écrit avec deux coefficients réels indépendants. Une seule direction décrit une droite, tandis que la condition $x=y$ restreint l’ensemble à une droite particulière du plan.

Explication

Une droite et un plan ayant exactement un point commun sont sécants en ce point. Une droite contenue dans le plan y a plusieurs points communs, une droite strictement parallèle n’en a aucun, et une intersection selon une droite ne correspond pas à l’intersection d’une droite avec un plan.

Explication

Deux plans strictement parallèles n’ont aucun point commun ; des plans confondus ont tous leurs points en commun, tandis que des plans sécants se rencontrent selon une droite. La présence d’une droite commune ne signifie pas qu’un plan contient l’autre.

Explication

Trois vecteurs sont coplanaires lorsque, reportés à partir du même point, leurs extrémités et ce point appartiennent à un même plan. La colinéarité impose une condition plus forte, et l’égalité des longueurs ne caractérise pas la coplanarité.

Explication

Une base de l’espace est un triplet de vecteurs non coplanaires. Un triplet coplanaire ou colinéaire ne remplit pas cette condition, et un point accompagné de deux vecteurs n’est pas un triplet de vecteurs.

Explication

Trois vecteurs non coplanaires permettent d’écrire tout vecteur de l’espace à l’aide d’un unique triplet de réels. Plusieurs triplets contredisent l’unicité, l’absence de décomposition contredit l’existence, et un couple ne fournit pas les trois coefficients requis.

Explication

Un repère de l’espace est formé d’un point O et d’une base, et le point O est son origine. Le vecteur $\vec{i}$ et le triplet de vecteurs composent la base, tandis qu’un point quelconque n’est pas désigné comme origine.

Explication

Les coordonnées du point P sont les coefficients de la décomposition de $\overrightarrow{OP}$ sur les vecteurs de base, soit $(2;-3;1)$. Le signe de la deuxième coordonnée doit rester négatif, et le coefficient de $\vec{k}$ vaut 1.

Explication

Les coordonnées d’un vecteur sont les coefficients de son écriture sur les trois vecteurs de base : ici, $(-1;4;2)$. Le signe du coefficient de $\vec{i}$ est négatif, et les coefficients de $\vec{j}$ et $\vec{k}$ restent dans cet ordre.

Explication

On calcule d’abord $2\vec{u}=(4;-2;6)$, puis on ajoute $\vec{v}$ coordonnée par coordonnée : $(4-4;-2+5;6+1)=(0;3;7)$. $(0;8;8)$ correspond à doubler la somme, tandis que les autres résultats appliquent le facteur aux mauvaises coordonnées.

Explication

Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ se calculent en faisant coordonnées de B moins coordonnées de A : $(-1-3;4-(-2);5-1)=(-4;6;4)$. Le triplet $(4;-6;-4)$ inverse le sens, et $(4;-6;4)$ inverse le calcul des deux premières composantes.

Explication

Pour une droite passant par A et de vecteur directeur $(a;b;c)$, on ajoute respectivement $at$, $bt$ et $ct$ aux coordonnées de A. La deuxième réponse confond point et direction, la troisième intervertit les composantes de la direction et la quatrième utilise un vecteur directeur différent.

Explication

Les coordonnées d’un point du plan s’obtiennent en ajoutant à A les deux combinaisons paramétrées des vecteurs directeurs : les termes en $\lambda$ reprennent le premier vecteur et ceux en $\mu$ le second. La première réponse omet ce second vecteur, la deuxième confond les coordonnées de A avec la direction et la quatrième réduit les deux paramètres à un seul.

Explication

Puisque $\vec{w}$ s’exprime comme une combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ à l’aide de deux réels, les trois vecteurs sont coplanaires. La combinaison peut avoir des coefficients négatifs; la colinéarité et l’orthogonalité ne découlent pas de cette relation.