Fiche de révision : Homothétie et théorème de Thalès

📋 Plan du Cours

1. Transformations par homothétie
2. Proportionnalité selon Thalès
3. Application du théorème de Thalès

📖 1. Transformations par homothétie

🔑 Notions clés & Définitions

• Homothétie : Transformation de centre O qui agrandit ou réduit une figure en faisant glisser ses points le long de droites passant par O, avec un rapport non nul.

★ À maîtriser

• Une homothétie conserve l’alignement, les milieux et la mesure des angles.

📌 Pour un rapport positif k, les longueurs sont multipliées par k ; si k > 1, l’homothétie agrandit la figure, tandis que si 0 < k < 1, elle la réduit.

Compléments

• Un rapport négatif place les points de l’image de l’autre côté du centre et produit un demi-tour autour de ce centre.

• Une homothétie de rapport -1 est une symétrie centrale.

💡 Astuce mémo

Rapport positif : même côté du centre ; rapport négatif : de l’autre côté.

📖 2. Proportionnalité selon Thalès

★ À maîtriser

📌 Si deux droites sécantes en A coupent les droites parallèles (MN) et (BC), alors les longueurs correspondantes des triangles AMN et ABC vérifient $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$.

📌 Lorsque les conditions de Thalès sont réunies, les côtés correspondants des triangles formés par les deux sécantes et les parallèles sont proportionnels.

Compléments

• Dans la configuration de Thalès, le triangle AMN est l’image du triangle ABC par l’homothétie de centre A et de rapport $k=\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$.

📖 3. Application du théorème de Thalès

★ À maîtriser

• Pour appliquer le théorème de Thalès dans un exercice, on réalise une figure à main levée, on vérifie les conditions, on énonce le théorème avec les longueurs correspondantes, puis on remplace par les données et on effectue les calculs.

Compléments

• Dans la configuration où (BD) et (CE) sont sécantes en A, (DE) est parallèle à (BC), AE = 4, EC = 1, AD = 3 et BC = 4, le théorème donne $\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$ et donc $\frac{4}{5}=\frac{3}{AB}=\frac{DE}{4}$.

• Dans cet exemple, $AB=\frac{3\times5}{4}=\frac{15}{4}=3{,}75$ et $DE=\frac{4\times4}{5}=\frac{16}{5}=3{,}2$.

💡 Astuce mémo

Figure → conditions → théorème → données → calculs.