Fiche de révision : Introduction aux logarithmes

📋 Plan du Cours

1. Logarithmes et acoustique
2. Effet d’une transformation logarithmique
3. Définition et bases logarithmiques
4. Conversions et calculatrice
5. Propriétés et valeurs particulières
6. Interprétation des rapports

📖 1. Logarithmes et acoustique

★ À maîtriser

• Les logarithmes sont utilisés en acoustique pour exprimer le niveau sonore, notamment l’intensité sonore en décibels, ainsi que la hauteur tonale liée à la fréquence.

Compléments

• La relation d’octave en musique correspond à un rapport de hauteurs tonales lié à une relation logarithmique.

• Les échelles psychoacoustiques de mel, Bark et ERB résultent de transformations logarithmiques de la fréquence.

💡 Astuce mémo

Perception auditive → représentation logarithmique des niveaux et des hauteurs

📖 2. Effet d’une transformation logarithmique

📝 Points essentiels

• Le logarithme décimal de 100 vaut 2, tandis que celui de 10 vaut 1, car $\\log\_{10}(100)=2$ et $\\log\_{10}(10)=1$.

📌 Dans une échelle linéaire, passer de 10 à 100 nécessite d’additionner plusieurs unités, tandis que dans l’échelle logarithmique décimale correspondante, ces valeurs sont séparées d’une seule unité, de 1 à 2.

💡 Astuce mémo

Échelle linéaire : écarts additifs ; échelle logarithmique : rapports multiplicateurs

📖 3. Définition et bases logarithmiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme décimal : le logarithme en base 10 de x, c’est-à-dire la puissance à laquelle il faut élever 10 pour obtenir x
• Logarithme binaire : le logarithme en base 2 de x, c’est-à-dire la puissance à laquelle il faut élever 2 pour obtenir x
• Logarithme naturel : noté ln, est le logarithme en base e, où $e=\\exp(1)\\approx2{,}718282$

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour un logarithme décimal, $y=\\log\_{10}(x)$ équivaut à $10^y=x$.

📐 Formule - Pour un logarithme binaire, $y=\\log\_{2}(x)$ équivaut à $2^y=x$.

• Le logarithme en base 2 de 8 vaut 3, car $2^3=2\\times2\\times2=8$.

💡 Astuce mémo

10, 2, e : décimal, binaire, naturel

📖 4. Conversions et calculatrice

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour calculer un logarithme en base 2 sans touche log2, on utilise $\\log\_{2}(x)=\\frac{\\log_n(x)}{\\log_n(2)}$, par exemple $\\log\_{2}(x)=\\frac{\\log\_{10}(x)}{\\log\_{10}(2)}$.

Compléments

• La touche log d’une calculatrice correspond généralement aux logarithmes décimaux, tandis que les touches ln et log2 correspondent respectivement aux logarithmes naturels et binaires lorsqu’elles sont disponibles.

• Les logarithmes binaires doivent pouvoir être calculés, même si la calculatrice ne possède pas de touche log2.

💡 Astuce mémo

Choisir la base → calculer le logarithme → changer de base si nécessaire

📖 5. Propriétés et valeurs particulières

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour toute base logarithmique admissible, $\\log\\left(\\frac{x}{y}\\right)=\\log(x)-\\log(y)$.

📌 Le logarithme de 0 n’existe pas, car aucune puissance de la base ne donne zéro.

📌 Pour une base logarithmique, le logarithme est négatif si 0<x<1, nul si x=1 et positif si x>1.

• Pour toute base n, $\\log_n(1)=0$, car $n^0=1$.

Compléments

• Quand x tend vers 0, $\\log(x)$ tend vers $-\\infty$.

💡 Astuce mémo

x < 1 : logarithme négatif ; x = 1 : zéro ; x > 1 : logarithme positif

📖 6. Interprétation des rapports

★ À maîtriser

📌 Le logarithme d’un rapport vaut 0 lorsque la valeur mesurée est égale à la valeur de référence, car le rapport vaut alors 1 et $\\log(1)=0$.

📌 Une échelle logarithmique exprime les relations entre valeurs sous forme de rapports multiplicateurs plutôt que sous forme d’écarts additifs.

• En base 2, si x est le double de x0, alors $\\log_2(x/x_0)=1$, et si x est le quadruple de x0, alors $\\log_2(x/x_0)=2$.

• En base 10, si x vaut 10 fois x0, alors $\\log\_{10}(x/x_0)=1$, et si x vaut 100 fois x0, alors $\\log\_{10}(x/x_0)=2$.

Compléments

• De 100 à 1000, la valeur augmente de 900 par addition, mais elle est multipliée par 10, ce que traduit $\\log\_{10}(1000/100)=1$.

💡 Astuce mémo

Rapport multiplicateur → valeur logarithmique mesurant le nombre de multiplications par la base

📊 Tableaux de synthèse

Bases et interprétation multiplicative