Fiche de révision : Langage et logique mathématique

📋 Plan du Cours

1. Énoncés et quantificateurs
2. Valeur de vérité
3. Connecteurs et booléens
4. Implication logique
5. Équivalence et négation
6. Composition des quantificateurs
7. Variables libres et muettes

📖 1. Énoncés et quantificateurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantificateur universel : Se lit « pour tout » ou « quel que soit » et affirme qu’une propriété est vraie pour chaque élément d’un ensemble.
• Quantificateur existentiel : Se lit « il existe » et affirme qu’au moins un élément d’un ensemble vérifie la propriété considérée.

📝 Points essentiels

📌 Un quantificateur est immédiatement suivi d’une variable nouvelle, puis du symbole d’appartenance ∈ et de l’ensemble considéré, sans ponctuation après ce bloc.

• L’énoncé « ∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0 » affirme que le carré de tout réel est positif ou nul, tandis que « ∃x ∈ ℝ, x² = 2 » affirme qu’un réel de carré 2 existe.

💡 Astuce mémo

∀ pour tous, ∃ pour au moins un

📖 2. Valeur de vérité

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable libre : Une variable d’un énoncé qui n’est placée sous aucun quantificateur ou autre signe mutificateur.

★ À maîtriser

📌 L’énoncé « ∀x ∈ ℝ, x³ ≥ 0 » est faux car certains réels négatifs contredisent la propriété, tandis que « ∃x ∈ ℝ, x² ≥ 0 » est vrai car au moins un réel la vérifie.

📌 Un énoncé sans variable ou dont toutes les variables sont quantifiées possède une valeur de vérité bien définie.

Compléments

• L’énoncé « ∃x ∈ ℚ, x² = 2 » est faux, car aucun nombre rationnel n’a pour carré 2.

💡 Astuce mémo

Variables toutes quantifiées : vérité définie ; variable libre : vérité indéfinie

📖 3. Connecteurs et booléens

🔑 Notions clés & Définitions

• Négation logique : Est vraie si et seulement si l’énoncé A est faux.
• Conjonction logique : Est vraie si et seulement si A et B sont vrais tous les deux.
• Disjonction logique : Est vraie si au moins l’un des deux énoncés A et B est vrai, y compris lorsque les deux sont vrais.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les lois de De Morgan sont $\neg(A \land B) = (\neg A) \lor (\neg B)$ et $\neg(A \lor B) = (\neg A) \land (\neg B)$.

💡 Astuce mémo

¬, ∧, ∨ : non, et, ou

📖 4. Implication logique

🔑 Notions clés & Définitions

• Implication logique : Est fausse uniquement lorsque A est vraie et B est fausse.

📝 Points essentiels

📌 La contraposée de A ⟹ B est ¬B ⟹ ¬A et possède la même valeur de vérité que l’implication, tandis que la réciproque est B ⟹ A et n’est pas automatiquement équivalente.

• Pour démontrer « ∀x ∈ E, A(x) ⟹ B(x) », on choisit un x quelconque de E tel que A(x) soit vrai, puis on démontre que B(x) est vrai.

📐 Formule — L’implication vérifie $A \Rightarrow B = \neg A \lor B$.

💡 Astuce mémo

Hypothèse vraie → conclusion à démontrer

📖 5. Équivalence et négation

🔑 Notions clés & Définitions

• Équivalence logique : Est vraie lorsque A et B ont la même valeur de vérité.

📝 Points essentiels

📌 Pour démontrer une équivalence entre A et B, il faut démontrer séparément A ⟹ B puis B ⟹ A.

📐 Formule — L’équivalence logique vérifie $(A \Leftrightarrow B) = (A \Rightarrow B) \land (B \Rightarrow A)$.

💡 Astuce mémo

Équivalence : implication directe puis réciproque

📖 6. Composition des quantificateurs

📝 Points essentiels

📌 Les énoncés « ∀x ∈ ℝ, ∃y ∈ ℝ, x < y » et « ∃y ∈ ℝ, ∀x ∈ ℝ, x < y » ne sont pas équivalents : le premier est vrai et le second est faux.

📌 Deux quantificateurs consécutifs de même type peuvent être permutés sans modifier la valeur de vérité, mais deux quantificateurs de types différents ne peuvent pas être échangés en général.

• La négation des quantificateurs vérifie $\neg(\forall x \in U\ A(x)) \Leftrightarrow \exists x \in U\ \neg A(x)$ et $\neg(\exists x \in U\ A(x)) \Leftrightarrow \forall x \in U\ \neg A(x)$.

💡 Astuce mémo

∀ et ∃ s’échangent sous négation, mais pas librement

📖 7. Variables libres et muettes

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable liée : Ou muette, est une variable auxiliaire placée dans la portée d’un signe mutificateur, comme un quantificateur.

★ À maîtriser

📌 La portée d’un mutificateur délimite la région où la variable liée conserve son sens.

Compléments

📌 Une variable liée peut être remplacée par une autre variable sans changer la valeur de vérité ou l’objet décrit, à condition de remplacer toutes ses occurrences dans la portée et de ne pas créer de conflit avec une variable déjà utilisée.

• Dans l’énoncé « ∀x ∈ A, x < y », x est liée par ∀, tandis que A et y sont libres.

💡 Astuce mémo

Une variable muette reste dans la portée de son signe mutificateur

📊 Tableaux de synthèse

Connecteurs logiques principaux