Comment se lit le quantificateur universel ∀ ?
Il se lit « pour tout » ou « quel que soit ».
Que signifie le quantificateur universel ∀ ?
Il affirme qu’une propriété est vraie pour chaque élément d’un ensemble.
Comment se lit le quantificateur existentiel ∃ ?
Il se lit « il existe ».
Que signifie le quantificateur existentiel ∃ ?
Il affirme qu’au moins un élément d’un ensemble vérifie la propriété.
Quelle est la syntaxe après un quantificateur ?
Il est suivi d’une variable nouvelle, puis du symbole ∈ et de l’ensemble considéré.
Peut-on mettre une ponctuation après le bloc variable-ensemble ?
Non, il n’y a pas de ponctuation après ce bloc.
Que signifie l’énoncé « ∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0 » ?
Le carré de tout réel est positif ou nul.
Que signifie l’énoncé « ∃x ∈ ℝ, x² = 2 » ?
Il existe un réel dont le carré vaut 2.
Qu'impose un énoncé sans variable ou avec toutes variables quantifiées ?
Il possède une valeur de vérité bien définie.
Pourquoi l'énoncé « ∀x ∈ ℝ, x³ ≥ 0 » est-il faux ?
Parce que certains réels négatifs contredisent cette propriété.
Pourquoi l'énoncé « ∃x ∈ ℝ, x² ≥ 0 » est-il vrai ?
Parce qu'au moins un réel vérifie cette propriété.
Quelle est la valeur de vérité de « ∃x ∈ ℚ, x² = 2 » ?
Cet énoncé est faux.
Pourquoi « ∃x ∈ ℚ, x² = 2 » est-il faux ?
Aucun nombre rationnel n'a pour carré 2.
Qu'est-ce qu'une variable libre dans un énoncé ?
C'est une variable non placée sous quantificateur ou signe mutificateur.
Quand la négation logique ¬A est-elle vraie ?
Quand l’énoncé A est faux.
Quand la conjonction logique A ∧ B est-elle vraie ?
Quand A et B sont vrais tous les deux.
Quand la disjonction logique A ∨ B est-elle vraie ?
Quand au moins un des énoncés A ou B est vrai.
La disjonction logique est-elle vraie si A et B sont vrais ?
Oui, elle est vraie même si les deux sont vrais.
Quelle est la formule de la loi de De Morgan pour ¬(A ∧ B) ?
Quand l'implication A ⟹ B est-elle fausse ?
Quand A est vraie et B est fausse.
Quelle est la première étape pour démontrer ∀x ∈ E, A(x) ⟹ B(x) ?
Choisir un x quelconque de E tel qu'A(x) soit vrai.
Quelle est la deuxième étape pour démontrer ∀x ∈ E, A(x) ⟹ B(x) ?
Démontrer que B(x) est vrai.
Quelle formule traduit l'implication A ⟹ B ?
Quelle est la contraposée de A ⟹ B ?
¬B ⟹ ¬A.
La contraposée de A ⟹ B a-t-elle la même valeur de vérité ?
Oui, elle possède la même valeur de vérité que l'implication.
Quelle est la réciproque de A ⟹ B ?
B ⟹ A.
La réciproque de A ⟹ B est-elle automatiquement équivalente ?
Non, elle n'est pas automatiquement équivalente.
Qu'est-ce que l'équivalence logique A ⟺ B ?
A et B ont la même valeur de vérité.
Quelle formule exprime l'équivalence logique entre A et B ?
Que faut-il démontrer pour prouver une équivalence entre A et B ?
Démontrer séparément A ⟹ B puis B ⟹ A.
Quelle est la négation de ?
.
Quelle est la négation de ?
.
Les énoncés « ∀x ∈ ℝ, ∃y ∈ ℝ, x < y » et « ∃y ∈ ℝ, ∀x ∈ ℝ, x < y » sont-ils équivalents ?
Non, le premier est vrai et le second est faux.
Peut-on permuter deux quantificateurs consécutifs de même type sans changer la vérité ?
Oui, cela ne modifie pas la valeur de vérité.
Peut-on échanger deux quantificateurs de types différents sans changer la vérité ?
Non, en général cela change la valeur de vérité.
Qu'est-ce qu'une variable liée ou muette ?
Une variable auxiliaire placée dans la portée d’un mutificateur.
Qu'impose la portée d’un mutificateur sur une variable liée ?
Elle délimite la région où la variable liée conserve son sens.
Quand peut-on remplacer une variable liée par une autre ?
Quand on remplace toutes ses occurrences sans conflit avec d’autres variables.
Dans « ∀x ∈ A, x < y », quelles variables sont liées et lesquelles sont libres ?
x est liée, A et y sont libres.
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