Fiche de révision : Logique, trigonométrie et sommes

📋 Plan du Cours

1. Propositions et connecteurs logiques
2. Quantificateurs et prédicats
3. Mesure des angles en radians
4. Cosinus sinus et tangente
5. Formules de trigonométrie
6. Sommes simples et notation indicée
7. Sommes classiques et doubles

📖 1. Propositions et connecteurs logiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Proposition mathématique : Assertion qui peut prendre deux valeurs, Vrai ou Faux, cette valeur étant appelée sa valeur de vérité.
• Connecteurs logiques : La négation de p se note ¬p, la disjonction de p et q se note p ∨ q, l’implication se note p ⇒ q et l’équivalence se note p ⇔ q.

★ À maîtriser

📌 Deux propositions sont équivalentes lorsqu’elles ont la même valeur de vérité.

• Pour montrer que deux propositions sont équivalentes, on peut comparer leurs tables de vérité et vérifier qu’elles ont la même valeur sur chaque cas possible.

📌 Les négations vérifient ¬(p ∨ q) ⇔ (¬p) ∧ (¬q) et ¬(p ∧ q) ⇔ (¬p) ∨ (¬q).

Compléments

📌 La proposition p ⇒ q est équivalente à ¬p ∨ q.

💡 Astuce mémo

Vrai ou Faux : une proposition possède une valeur de vérité, tandis qu’une phrase comme « 1m90, c’est grand » n’en possède pas nécessairement.

📖 2. Quantificateurs et prédicats

🔑 Notions clés & Définitions

• Prédicat : Propriété qui porte sur un ou plusieurs objets et se note P(x) lorsqu’il porte sur x.
• Quantificateur universel : La proposition ∀x ∈ E, P(x) signifie que P(x) est vraie pour tout objet x de l’ensemble E.
• Quantificateur existentiel : La proposition ∃x ∈ E, P(x) signifie qu’il existe au moins un objet x de l’ensemble E pour lequel P(x) est vraie.

📝 Points essentiels

📌 La négation de ∀x ∈ E, P(x) est ∃x ∈ E, ¬P(x), et la négation de ∃x ∈ E, P(x) est ∀x ∈ E, ¬P(x).

💡 Astuce mémo

∀ exige tous les éléments, tandis que ∃ en exige au moins un.

📖 3. Mesure des angles en radians

🔑 Notions clés & Définitions

• Mesure en radians : La mesure en radians d’un angle orienté est une longueur algébrique de l’arc correspondant sur le cercle trigonométrique.

📝 Points essentiels

• Un angle orienté possède une infinité de mesures en radians, séparées entre elles de k × 2π avec k ∈ ℤ.

📖 4. Cosinus sinus et tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Cosinus : Pour un réel x représenté par un point M du cercle trigonométrique, le cosinus de x est l’abscisse de M.
• Sinus : Pour un réel x représenté par un point M du cercle trigonométrique, le sinus de x est l’ordonnée de M.
• Tangente : La tangente de x est l’ordonnée du point d’intersection de la droite IM avec la droite d’équation x = 1, lorsque IM n’est pas parallèle à cette droite.

📝 Points essentiels

• La valeur remarquable cos(π/3) = 1/2 se démontre en observant que le triangle formé par O, I et M est équilatéral, puis que l’abscisse de M vaut 1/2.

💡 Astuce mémo

Sur le cercle trigonométrique, le cosinus est l’abscisse, le sinus l’ordonnée et la tangente se lit sur la droite verticale.

📖 5. Formules de trigonométrie

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour tout réel x, le théorème de Pythagore appliqué au cercle trigonométrique donne $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$.

📌 Les symétries du cercle trigonométrique entraînent des changements de signe des coordonnées, leur permutation ou le changement simultané de leurs signes.

• Pour tous réels a et b, les formules d’addition des arcs donnent des expressions de cos(a + b), cos(a − b), sin(a + b) et sin(a − b) à partir des sinus et cosinus de a et b.

• Pour tout réel a, les formules de duplication données sont cos(2a) = 1 − 2 sin²(a) = 2 cos²(a) − 1 et sin(2a) = 2 sin(a) cos(a).

💡 Astuce mémo

Les symétries du cercle trigonométrique → changements de signe ou permutation des coordonnées.

📖 6. Sommes simples et notation indicée

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme indicée : Pour une suite (uₙ)ₙ∈ℕ et deux entiers naturels n ≤ m, la somme des termes dont les indices appartiennent à [[n;m]] se note $\sum_{k=n}^{m}u_k$.
• Somme sur un ensemble : Pour I ⊂ ℕ, ∑_{i∈I} uᵢ désigne la somme des termes de la suite dont les indices appartiennent à I, et une somme indicée sur l’ensemble vide vaut 0.

★ À maîtriser

• Une somme finie peut être factorisée, séparée terme à terme ou découpée en deux sommes sur des intervalles d’indices successifs.

Compléments

📌 Dans une somme indicée, la lettre d’indice est arbitraire, mais elle ne doit pas être confondue avec les lettres déjà utilisées pour la suite ou les bornes.

📌 Une somme peut être réindexée en changeant simultanément l’expression du terme et les bornes, comme dans la transformation de ∑{k=2}^{100} k³ en ∑{k=1}^{99} (k+1)³.

💡 Astuce mémo

Écrire, transformer, découper puis réindexer une somme.

📖 7. Sommes classiques et doubles

📝 Points essentiels

• Dans une matrice, une somme double permet notamment de sommer les coefficients d’une ligne, d’une colonne, de la diagonale d’une matrice carrée ou de toute la matrice.

📌 Pour des ensembles finis I et J, les sommes doubles peuvent être permutées : $\sum_{(i,j)\in I\times J}a_{ij}=\sum_{i\in I}\sum_{j\in J}a_{ij}=\sum_{j\in J}\sum_{i\in I}a_{ij}$.

💡 Astuce mémo

Une somme simple porte sur un indice, tandis qu’une somme double porte sur deux indices.

📊 Tableaux de synthèse

Connecteurs logiques