QCM : Logique, trigonométrie et sommes — 21 questions

Question 1

1. Sur le cercle trigonométrique, que représente le cosinus d’un réel $x$ associé au point $M$ ?

L’ordonnée du point

M

L’ordonnée de l’intersection avec la droite

x=1

L’abscisse du point

M

La distance entre

O

et

M

Explication

Le cosinus de $x$ est défini comme l’abscisse du point $M$ sur le cercle trigonométrique. L’ordonnée correspond au sinus, tandis que l’intersection avec $x=1$ intervient dans la définition de la tangente.

Answer

L’abscisse du point $$M$$

Question 2

2. Quelle identité est vérifiée par les sinus et cosinus de tout réel $x$ ?

\cos^2(x)+\sin^2(x)=1

\cos^2(x)-\sin^2(x)=1

\cos(x)+\sin(x)=1

\cos(x)\sin(x)=1

Explication

Le théorème de Pythagore appliqué au cercle trigonométrique donne $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$ . La relation porte donc sur les carrés des deux fonctions, et non sur leur somme simple.

Answer

$$\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$$

Question 3

3. Quelle opération trigonométrique les formules d’addition des arcs permettent-elles de développer pour deux réels $a$ et $b$ ?

Les valeurs de toutes les fonctions trigonométriques en

a b

\cos(a+b)

,

\cos(a-b)

,

\sin(a+b)

et

\sin(a-b)

\tan(a+b)

et

\tan(a-b)

à partir des seuls angles

Les carrés de

\sin(a)

et

\cos(b)

sans terme croisé

Explication

Les formules d’addition des arcs expriment les cosinus et sinus de $a+b$ et $a-b$ à l’aide des sinus et cosinus de $a$ et $b$ . Elles ne concernent pas directement une expression en produit $ab$ ni les seules tangentes.

Answer

$$\cos(a+b)$$, $$\cos(a-b)$$, $$\sin(a+b)$$ et $$\sin(a-b)$$

Question 4

4. Quelle écriture représente la disjonction des propositions $p$ et $q$ ?

p \Leftrightarrow q

p \Rightarrow q

\neg p

p \lor q

Explication

La disjonction de $p$ et $q$ se note $p \lor q$ . L’écriture $p \Rightarrow q$ représente une implication, tandis que $\neg p$ représente la négation de $p$ .

Answer

$$p \lor q$$

Question 5

5. Quelle caractéristique définit une proposition mathématique ?

Elle fournit une mesure numérique à une figure.

Elle combine nécessairement deux assertions différentes.

Elle possède une valeur de vérité, Vrai ou Faux.

Elle décrit toujours une relation entre deux nombres.

Explication

Une proposition mathématique est une assertion à laquelle on peut attribuer la valeur de vérité Vrai ou Faux. Une relation numérique ou une combinaison d’assertions peut former une proposition, mais ce n’est pas sa définition générale.

Answer

Elle possède une valeur de vérité, Vrai ou Faux.

Question 6

6. Pour vérifier que deux propositions sont équivalentes, quelle méthode convient ?

Comparer leurs valeurs dans chaque ligne des tables de vérité.

Remplacer chaque connecteur par une opération arithmétique correspondante.

Comparer uniquement leurs valeurs lorsque toutes les propositions sont vraies.

Vérifier qu’elles utilisent des variables portant les mêmes noms.

Explication

Il faut comparer les tables de vérité et vérifier que les deux propositions ont la même valeur dans chaque cas possible. Se limiter aux cas vrais ne permet pas de contrôler leur équivalence complète.

Answer

Comparer leurs valeurs dans chaque ligne des tables de vérité.

Question 7

7. Pour des ensembles finis $I$ et $J$ , que devient une somme double lorsqu’on inverse l’ordre des sommations ?

Elle prend une valeur opposée, car les indices changent de position

Elle exige de remplacer les ensembles d’indices par leurs complémentaires

Elle conserve sa valeur, car les mêmes termes sont additionnés

Elle exclut les termes situés sur la diagonale de l’ensemble produit

Explication

La finitude de $I$ et $J$ permet d’écrire la somme en parcourant d’abord $I$ puis $J$ , ou l’inverse, sans modifier les termes ni la valeur obtenue. Changer l’ordre des indices ne signifie donc pas changer les ensembles sommés ou supprimer certains termes.

Answer

Elle conserve sa valeur, car les mêmes termes sont additionnés

Question 8

8. Qu’est-ce qu’un prédicat noté $P(x)$ ?

Une opération qui transforme une proposition en nombre.

Une règle qui relie nécessairement deux ensembles.

Une valeur de vérité fixée avant de choisir un objet.

Une propriété portant sur un ou plusieurs objets.

Explication

Un prédicat est une propriété qui porte sur un ou plusieurs objets, et $P(x)$ désigne le cas où cette propriété porte sur $x$ . Sa valeur de vérité peut dépendre de l’objet considéré.

Answer

Une propriété portant sur un ou plusieurs objets.

Question 9

9. Quelle transformation correspond à une réindexation correcte de $\sum_{k=2}^{100}k^3$ ?

\sum_{k=3}^{101}(k+1)^3

\sum_{k=2}^{99}(k-1)^3

\sum_{k=1}^{100}(k+1)^3

\sum_{k=1}^{99}(k+1)^3

Explication

En posant un nouvel indice décalé, les bornes deviennent de $1$ à $99$ et le terme devient $(k+1)^3$ , ce qui conserve les mêmes valeurs sommées. Une réindexation exige de modifier de façon cohérente l’expression du terme et les bornes.

Answer

$$\sum_{k=1}^{99}(k+1)^3$$

Question 10

10. Dans quel cas deux propositions sont-elles dites équivalentes ?

Lorsqu’elles utilisent le même connecteur logique.

Lorsqu’elles possèdent exactement la même formulation.

Lorsqu’elles ont la même valeur de vérité.

Lorsqu’elles contiennent les mêmes variables.

Explication

Deux propositions sont équivalentes lorsqu’elles prennent la même valeur de vérité. Cette notion concerne leurs valeurs de vérité, et non leur formulation ou le connecteur utilisé.

Answer

Lorsqu’elles ont la même valeur de vérité.

Question 11

11. Quelle égalité donne la formule de duplication pour le sinus d’un réel $a$ ?

\sin(2a)=2\cos^2(a)-1

\sin(2a)=2\sin(a)\cos(a)

\sin(2a)=1-2\sin^2(a)

\sin(2a)=\sin^2(a)+\cos^2(a)

Explication

La formule de duplication du sinus est $\sin(2a)=2\sin(a)\cos(a)$ . Les expressions $1-2\sin^2(a)$ et $2\cos^2(a)-1$ concernent le cosinus de $2a$ .

Answer

$$\sin(2a)=2\sin(a)\cos(a)$$

Question 12

12. Comment définit-on la mesure en radians d’un angle orienté ?

Comme une longueur algébrique de l’arc correspondant sur le cercle trigonométrique.

Comme la longueur positive du segment reliant les deux côtés de l’angle.

Comme le rapport entre le rayon et la longueur d’une corde quelconque.

Comme le nombre de degrés parcourus sur un cercle de rayon unité.

Explication

La mesure en radians d’un angle orienté est la longueur algébrique de l’arc correspondant sur le cercle trigonométrique. Elle dépend donc de l’orientation, contrairement à une simple longueur de segment.

Answer

Comme une longueur algébrique de l’arc correspondant sur le cercle trigonométrique.

Question 13

13. Que signifie la proposition $\forall x \in E,\ P(x)$ ?

La propriété

P(x)

est vraie pour au moins un élément de

E

.

La propriété

P(x)

est vraie pour chaque élément de

E

.

La propriété

P(x)

est définie pour un élément choisi hors de

E

.

La propriété

P(x)

est fausse pour chaque élément de

E

.

Explication

Le quantificateur universel $\forall$ exige que $P(x)$ soit vraie pour tout élément $x$ de $E$ . L’existence d’un seul élément satisfaisant la propriété correspond au quantificateur existentiel.

Answer

La propriété $$P(x)$$ est vraie pour chaque élément de $$E$$.

Question 14

14. Quelle est la négation correcte de $\forall x \in E,\ P(x)$ ?

\exists x \in E,\ \neg P(x)

\forall x \notin E,\ P(x)

\exists x \in E,\ P(x)

\forall x \in E,\ \neg P(x)

Explication

La négation d’une propriété vraie pour tout élément affirme qu’il existe au moins un élément pour lequel elle est fausse, soit $\exists x \in E,\ \neg P(x)$ . L’écriture $\forall x \in E,\ \neg P(x)$ affirme une fausseté pour chaque élément, ce qui est plus fort.

Answer

$$\exists x \in E,\ \neg P(x)$$

Question 15

15. Que peuvent produire les symétries du cercle trigonométrique sur les coordonnées d’un point associé à un angle ?

Un changement de signe, une permutation ou deux changements de signe

Une conservation des signes avec une translation du point

Une division des coordonnées par la longueur du rayon

Une augmentation identique des deux coordonnées

Explication

Les symétries du cercle peuvent changer un signe, permuter les coordonnées ou changer simultanément leurs deux signes. Une symétrie centrale de centre $O$ correspond notamment au changement des deux signes.

Answer

Un changement de signe, une permutation ou deux changements de signe

Question 16

16. Comment sont liées deux mesures en radians d’un même angle orienté ?

Elles sont nécessairement égales dès que l’angle est orienté.

Elles diffèrent d’un multiple de

2\pi

, de la forme

k \times 2\pi

avec

k \in \mathbb{Z}

.

Elles diffèrent d’un multiple de

\pi

, avec un coefficient réel quelconque.

Elles diffèrent d’un multiple de

2\pi

, avec un coefficient entier naturel.

Explication

Les mesures d’un même angle orienté sont séparées par $k \times 2\pi$ , où $k$ est un entier relatif. Le coefficient peut donc être négatif, ce qui exclut de le restreindre aux entiers naturels.

Answer

Elles diffèrent d’un multiple de $$2\pi$$, de la forme $$k \times 2\pi$$ avec $$k \in \mathbb{Z}$$.

Question 17

17. Que garantit l’écriture $\exists x \in E,\ P(x)$ ?

Au moins un élément de

E

vérifie

P(x)

.

Un élément extérieur à

E

vérifie

P(x)

.

Chaque élément de

E

vérifie

P(x)

.

Aucun élément de

E

ne vérifie

P(x)

.

Explication

Le quantificateur existentiel $\exists$ affirme qu’au moins un élément de $E$ satisfait $P(x)$ . Il ne demande pas que la propriété soit vraie pour tous les éléments de l’ensemble.

Answer

Au moins un élément de $$E$$ vérifie $$P(x)$$.

Question 18

18. Comment note-t-on la somme des termes d’une suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb N}$ dont les indices vont de $n$ à $m$ , avec $n\le m$ ?

\sum_{k=0}^{m-n}u_k

\sum_{k=n}^{m}u_n

\sum_{k=n}^{m}u_k

\sum_{k=m}^{n}u_k

Explication

La notation $\sum_{k=n}^{m}u_k$ rassemble les termes dont les indices appartiennent à l’intervalle entier de $n$ à $m$ . Inverser les bornes ou conserver le même terme $u_n$ à chaque étape ne décrit pas cette somme.

Answer

$$\sum_{k=n}^{m}u_k$$

Question 19

19. Dans une matrice, quelle structure peut être obtenue en additionnant les coefficients selon un parcours correspondant à une somme double adaptée ?

Les valeurs propres associées à chaque vecteur de la matrice

Les produits des coefficients situés sur des lignes consécutives

Les déterminants de plusieurs sous-matrices de dimensions différentes

Les coefficients d’une ligne, d’une colonne ou de toute la matrice

Explication

Une somme double peut regrouper les coefficients d’une ligne, d’une colonne, de la diagonale d’une matrice carrée ou de la matrice entière. Les autres réponses concernent des opérations matricielles différentes, comme le calcul des déterminants, des valeurs propres ou de produits.

Answer

Les coefficients d’une ligne, d’une colonne ou de toute la matrice

Question 20

20. Comment obtient-on la tangente d’un réel $x$ sur le cercle trigonométrique lorsque la droite $IM$ n’est pas parallèle à $x=1$ ?

En prenant l’ordonnée de l’intersection de

IM

avec

x=1

En prenant l’abscisse du point

M

sur le cercle

En mesurant la distance entre

I

et

M

En prenant l’ordonnée du point

M

sur le cercle

Explication

La tangente est l’ordonnée du point où la droite $IM$ rencontre la droite d’équation $x=1$ . L’ordonnée de $M$ donne le sinus et son abscisse donne le cosinus.

Answer

En prenant l’ordonnée de l’intersection de $$IM$$ avec $$x=1$$

Question 21

21. Sur le cercle trigonométrique, quelle coordonnée du point $M$ représente le sinus d’un réel $x$ ?

La longueur du segment

OM

Son ordonnée

L’abscisse de l’intersection avec

x=1

Son abscisse

Explication

Le sinus de $x$ est l’ordonnée du point $M$ associé à $x$ . Confondre cette coordonnée avec l’abscisse revient à attribuer au sinus la définition du cosinus.

Answer

Son ordonnée

QCM : Logique, trigonométrie et sommes — 21 questions

Questions et réponses du QCM

1. Sur le cercle trigonométrique, que représente le cosinus d’un réel $x$ associé au point $M$ ?

2. Quelle identité est vérifiée par les sinus et cosinus de tout réel $x$ ?

3. Quelle opération trigonométrique les formules d’addition des arcs permettent-elles de développer pour deux réels $a$ et $b$ ?

4. Quelle écriture représente la disjonction des propositions $p$ et $q$ ?

5. Quelle caractéristique définit une proposition mathématique ?

6. Pour vérifier que deux propositions sont équivalentes, quelle méthode convient ?

7. Pour des ensembles finis $I$ et $J$ , que devient une somme double lorsqu’on inverse l’ordre des sommations ?

8. Qu’est-ce qu’un prédicat noté $P(x)$ ?

9. Quelle transformation correspond à une réindexation correcte de $\sum_{k=2}^{100}k^3$ ?

10. Dans quel cas deux propositions sont-elles dites équivalentes ?

11. Quelle égalité donne la formule de duplication pour le sinus d’un réel $a$ ?

12. Comment définit-on la mesure en radians d’un angle orienté ?

13. Que signifie la proposition $\forall x \in E,\ P(x)$ ?

14. Quelle est la négation correcte de $\forall x \in E,\ P(x)$ ?

15. Que peuvent produire les symétries du cercle trigonométrique sur les coordonnées d’un point associé à un angle ?

16. Comment sont liées deux mesures en radians d’un même angle orienté ?

17. Que garantit l’écriture $\exists x \in E,\ P(x)$ ?

18. Comment note-t-on la somme des termes d’une suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb N}$ dont les indices vont de $n$ à $m$ , avec $n\le m$ ?

19. Dans une matrice, quelle structure peut être obtenue en additionnant les coefficients selon un parcours correspondant à une somme double adaptée ?

20. Comment obtient-on la tangente d’un réel $x$ sur le cercle trigonométrique lorsque la droite $IM$ n’est pas parallèle à $x=1$ ?

21. Sur le cercle trigonométrique, quelle coordonnée du point $M$ représente le sinus d’un réel $x$ ?

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QCM : Logique, trigonométrie et sommes — 21 questions

Questions et réponses du QCM

1. Sur le cercle trigonométrique, que représente le cosinus d’un réel xxx associé au point MMM ?

2. Quelle identité est vérifiée par les sinus et cosinus de tout réel xxx ?

3. Quelle opération trigonométrique les formules d’addition des arcs permettent-elles de développer pour deux réels aaa et bbb ?

4. Quelle écriture représente la disjonction des propositions ppp et qqq ?

5. Quelle caractéristique définit une proposition mathématique ?

6. Pour vérifier que deux propositions sont équivalentes, quelle méthode convient ?

7. Pour des ensembles finis III et JJJ, que devient une somme double lorsqu’on inverse l’ordre des sommations ?

8. Qu’est-ce qu’un prédicat noté P(x)P(x)P(x) ?

9. Quelle transformation correspond à une réindexation correcte de ∑k=2100k3\sum_{k=2}^{100}k^3∑k=2100​k3 ?

10. Dans quel cas deux propositions sont-elles dites équivalentes ?

11. Quelle égalité donne la formule de duplication pour le sinus d’un réel aaa ?

12. Comment définit-on la mesure en radians d’un angle orienté ?

13. Que signifie la proposition ∀x∈E, P(x)\forall x \in E,\ P(x)∀x∈E, P(x) ?

14. Quelle est la négation correcte de ∀x∈E, P(x)\forall x \in E,\ P(x)∀x∈E, P(x) ?

15. Que peuvent produire les symétries du cercle trigonométrique sur les coordonnées d’un point associé à un angle ?

16. Comment sont liées deux mesures en radians d’un même angle orienté ?

17. Que garantit l’écriture ∃x∈E, P(x)\exists x \in E,\ P(x)∃x∈E, P(x) ?

18. Comment note-t-on la somme des termes d’une suite (un)n∈N\left(u_n\right)_{n\in\mathbb N}(un​)n∈N​ dont les indices vont de nnn à mmm, avec n≤mn\le mn≤m ?

19. Dans une matrice, quelle structure peut être obtenue en additionnant les coefficients selon un parcours correspondant à une somme double adaptée ?

20. Comment obtient-on la tangente d’un réel xxx sur le cercle trigonométrique lorsque la droite IMIMIM n’est pas parallèle à x=1x=1x=1 ?

21. Sur le cercle trigonométrique, quelle coordonnée du point MMM représente le sinus d’un réel xxx ?

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1. Sur le cercle trigonométrique, que représente le cosinus d’un réel $x$ associé au point $M$ ?

2. Quelle identité est vérifiée par les sinus et cosinus de tout réel $x$ ?

3. Quelle opération trigonométrique les formules d’addition des arcs permettent-elles de développer pour deux réels $a$ et $b$ ?

4. Quelle écriture représente la disjonction des propositions $p$ et $q$ ?

7. Pour des ensembles finis $I$ et $J$ , que devient une somme double lorsqu’on inverse l’ordre des sommations ?

8. Qu’est-ce qu’un prédicat noté $P(x)$ ?

9. Quelle transformation correspond à une réindexation correcte de $\sum_{k=2}^{100}k^3$ ?

11. Quelle égalité donne la formule de duplication pour le sinus d’un réel $a$ ?

13. Que signifie la proposition $\forall x \in E,\ P(x)$ ?

14. Quelle est la négation correcte de $\forall x \in E,\ P(x)$ ?

17. Que garantit l’écriture $\exists x \in E,\ P(x)$ ?

18. Comment note-t-on la somme des termes d’une suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb N}$ dont les indices vont de $n$ à $m$ , avec $n\le m$ ?

20. Comment obtient-on la tangente d’un réel $x$ sur le cercle trigonométrique lorsque la droite $IM$ n’est pas parallèle à $x=1$ ?

21. Sur le cercle trigonométrique, quelle coordonnée du point $M$ représente le sinus d’un réel $x$ ?