Fiche de révision : Viscoélasticité et modèles mécaniques

📋 Plan du Cours

1. Test de relaxation de contrainte
2. Réponses des matériaux en relaxation
3. Fluage et recouvrance
4. Réponses au fluage
5. Sollicitation harmonique
6. Modules et dépendance fréquentielle
7. Modèles de Maxwell et Kelvin-Voigt

📖 1. Test de relaxation de contrainte

🔑 Notions clés & Définitions

• Test de relaxation : Consiste à appliquer instantanément une déformation à un matériau, à la maintenir constante et à suivre la contrainte nécessaire au cours du temps.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour une déformation de cisaillement constante $\gamma_0$, la fonction de relaxation est $G(t)=\frac{\sigma(t)}{\gamma_0}$.

📌 En viscoélasticité linéaire, la fonction de relaxation est indépendante de la déformation imposée : si la déformation est doublée, la contrainte est également doublée.

💡 Astuce mémo

Déformation imposée constante → contrainte observée dans le temps

📖 2. Réponses des matériaux en relaxation

🔑 Notions clés & Définitions

• Solide viscoélastique : Présente une relaxation partielle de la contrainte dans les premiers instants, puis une stabilisation avec $G(\infty)\neq0$.
• Liquide viscoélastique : Relax[e] totalement sa contrainte, de sorte que la contrainte revient à zéro et que $G(\infty)=0$.

📝 Points essentiels

📌 Un solide élastique conserve une contrainte constante après une déformation imposée, tandis qu’un liquide visqueux voit sa contrainte s’annuler immédiatement et ne permet pas de calculer un module par relaxation.

💡 Astuce mémo

Solide : contrainte conservée ; liquide : contrainte annulée

📖 3. Fluage et recouvrance

🔑 Notions clés & Définitions

• Test de fluage : Consiste à appliquer instantanément une contrainte constante à un matériau et à suivre l’évolution de la déformation au cours du temps.
• Recouvrance : Phase qui suit le fluage lorsque la contrainte est remise à zéro et que l’on suit le retour éventuel de la déformation.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La complaisance est définie par $J(t)=\frac{\gamma(t)}{\sigma}$ et, dans le cas élastique, $J=\frac{1}{G}$.

📐 Formule — Pour un liquide visqueux soumis à une contrainte $\sigma_0$, la déformation évolue selon $\gamma(t)=\frac{\sigma_0}{\eta_0}t$ et sa pente vaut $\dot\gamma=\frac{\sigma_0}{\eta_0}$.

💡 Astuce mémo

Charge → fluage → décharge → recouvrance

📖 4. Réponses au fluage

★ À maîtriser

📌 Un solide viscoélastique présente une élasticité instantanée et retardée, puis récupère sa déformation lorsque la contrainte est annulée.

📌 Un liquide viscoélastique associe une élasticité instantanée et un écoulement, de sorte qu’une partie seulement de la déformation est recouvrée après annulation de la contrainte.

Compléments

• Dans la décomposition d’un système viscoélastique, les contributions 1 et 1′ correspondent respectivement à l’élasticité instantanée et à la recouvrance instantanée, tandis que 2 et 2′ correspondent à l’élasticité retardée et à la recouvrance retardée.

💡 Astuce mémo

Solide viscoélastique : recouvrance ; liquide visqueux : déformation permanente

📖 5. Sollicitation harmonique

🔑 Notions clés & Définitions

• Sollicitation harmonique : Applique une déformation ou une contrainte variant sinusoïdalement avec le temps, à une fréquence donnée, puis étudie la réponse correspondante.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Une déformation harmonique s’écrit $\gamma(t)=\gamma_0\sin(\omega t)$ et la réponse en contrainte s’écrit $\sigma(t)=G\gamma_0\sin(\omega t+\delta)$.

📌 Pour un solide élastique, la contrainte est proportionnelle à la déformation et en phase avec elle, donc le déphasage vaut $\delta=0$.

📌 Pour un liquide visqueux, la contrainte est proportionnelle au taux de cisaillement et est en quadrature de phase avec la déformation, donc $\delta=\frac{\pi}{2}$.

💡 Astuce mémo

Sinusoïde imposée → déphasage → réponse mesurée

📖 6. Modules et dépendance fréquentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Module de conservation : Correspond à la composante élastique en phase avec la sollicitation.
• Module de perte : Correspond à la composante visqueuse en quadrature avec la sollicitation.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le déphasage vérifie $\tan(\delta)=\frac{G''(\omega)}{G'(\omega)}$.

📌 Si $G'\gg G''$, le comportement est essentiellement élastique et $\delta\to0$, tandis que si $G''\gg G'$, il est essentiellement visqueux et $\delta\to\frac{\pi}{2}$.

Compléments

• La réponse d’un matériau viscoélastique peut être liquide à basse fréquence, élastique à fréquence intermédiaire et visqueuse à haute fréquence, avec les repères indiqués de $10^{-3}\,\mathrm{Hz}$, $10^3\,\mathrm{Hz}$ et $10^8\,\mathrm{Hz}$.

💡 Astuce mémo

G′ conserve l’énergie ; G″ la dissipe

📖 7. Modèles de Maxwell et Kelvin-Voigt

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour un fluide de Maxwell, le temps caractéristique vaut $\tau=\frac{\eta}{G}=\frac{\eta}{J}$.

📐 Formule — Lors d’un fluage de Maxwell, la déformation totale est $\gamma(t)=\frac{\sigma_0}{G}+\frac{\sigma_0}{\eta}t$.

📐 Formule — Lors d’une relaxation de Maxwell à déformation constante, la contrainte décroît exponentiellement selon $\sigma(t)=\sigma_0e^{-t/\tau}$.

📐 Formule — Pour le modèle de Kelvin-Voigt, l’équation constitutive est $\sigma(t)=\frac{\gamma}{J}+\eta\frac{d\gamma}{dt}$ et, en fluage, $\gamma(t)=J\sigma\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ avec $\tau=\eta J$.

📌 Dans le modèle de Kelvin-Voigt, l’amortisseur empêche la déformation instantanée et le modèle ne permet pas de décrire la relaxation d’un solide viscoélastique.

💡 Astuce mémo

Maxwell relaxe ; Kelvin-Voigt ne relaxe pas

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des comportements matériels