Fiche de révision : Limites de suites et opérations

📋 Plan du Cours

1. Limite finie et convergence
2. Limites infinies et divergence
3. Limites des suites usuelles
4. Limite d’une somme
5. Limite d’un produit
6. Limite d’un quotient

📖 1. Limite finie et convergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite finie : Lorsque, pour tout intervalle ouvert contenant ℓ, tous les termes u_n appartiennent à cet intervalle à partir d’un certain rang.

📝 Points essentiels

📐 Formule - La convergence de (u_n) vers ℓ s’écrit $\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell$ et équivaut à : pour tout réel r>0, il existe un rang N tel que, pour tout n≥N, $|u_n-\ell|<r$.

• Lorsqu’elle existe, la limite d’une suite est unique.

💡 Astuce mémo

Imaginez les termes de la suite entrant dans un intervalle de plus en plus étroit autour de ℓ.

📖 2. Limites infinies et divergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite +∞ : Lorsque, pour tout réel A, tous ses termes sont supérieurs à A à partir d’un certain rang.

★ À maîtriser

📌 Une suite divergente est une suite qui ne converge pas : soit elle n’a pas de limite, soit sa limite est infinie.

Compléments

• La suite u_n=n² tend vers +∞.

• La suite arithmétique de premier terme v_0=16 et de raison −2 tend vers −∞.

💡 Astuce mémo

+∞ : les termes dépassent tout seuil ; −∞ : ils passent sous tout seuil.

📖 3. Limites des suites usuelles

📝 Points essentiels

• Les suites de terme général 1/n, 1/n², …, 1/n^k (k∈ℕ) et 1/√n convergent vers 0.

• Les suites de terme général n, n², …, n^k (k∈ℕ) et √n tendent vers +∞.

💡 Astuce mémo

Les inverses des puissances tendent vers 0, tandis que les puissances tendent vers +∞.

📖 4. Limite d’une somme

★ À maîtriser

• Si u_n tend vers ℓ et v_n tend vers ℓ′, alors u_n+v_n tend vers ℓ+ℓ′.

📌 La somme d’une suite tendant vers +∞ et d’une suite tendant vers −∞ est une forme indéterminée : les limites seules ne permettent pas de conclure et il faut transformer l’expression.

Compléments

• Si une suite tend vers un réel et l’autre vers +∞, leur somme tend vers +∞ ; si l’autre tend vers −∞, leur somme tend vers −∞.

• La somme de deux suites qui tendent vers +∞ tend vers +∞, et la somme de deux suites qui tendent vers −∞ tend vers −∞.

📖 5. Limite d’un produit

★ À maîtriser

• Si u_n tend vers ℓ et v_n tend vers ℓ′, alors leur produit tend vers ℓℓ′.

📌 Le produit d’une suite tendant vers 0 et d’une suite tendant vers l’infini est une forme indéterminée.

Compléments

• Si une suite tend vers un réel non nul et l’autre vers l’infini, leur produit tend vers l’infini, avec son signe déterminé par la règle des signes.

• Le produit de deux suites tendant vers l’infini tend vers l’infini, avec son signe déterminé par la règle des signes.

📖 6. Limite d’un quotient

★ À maîtriser

• Si u_n tend vers ℓ et v_n tend vers un réel non nul ℓ′, alors u_n/v_n tend vers ℓ/ℓ′.

📌 Un quotient dont le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers l’infini est une forme indéterminée.

Compléments

• Si u_n tend vers un réel non nul et v_n tend vers 0, alors u_n/v_n tend vers l’infini.