QCM : Limites de suites et opérations (12 questions)

Question 1

1. Une suite converge vers un réel ℓ au sens où, à partir d’un certain rang, ses termes vérifient quelle propriété ?

Ils appartiennent à tout intervalle ouvert contenant ℓ dès le premier terme.

Ils appartiennent à tout intervalle ouvert ne contenant pas ℓ.

Ils se rapprochent de zéro dans tout intervalle ouvert.

Ils appartiennent à tout intervalle ouvert contenant ℓ.

Explication

La convergence vers ℓ signifie que tout intervalle ouvert contenant ℓ finit par contenir tous les termes de la suite. Un intervalle ne contenant pas ℓ, l’exigence dès le premier terme ou le rapprochement de zéro ne définissent pas cette convergence.

Answer

Ils appartiennent à tout intervalle ouvert contenant ℓ.

Question 2

2. Une suite réelle admet une limite ℓ. Une autre personne affirme qu’elle admet aussi une limite distincte m. Quelle conclusion s’impose ?

Les deux valeurs peuvent être distinctes pour des sous-suites différentes.

Les deux valeurs doivent être égales.

Les deux valeurs peuvent être distinctes si la suite est bornée.

La limite doit être zéro quelle que soit la suite.

Explication

Lorsqu’une limite de suite existe, elle est unique : ℓ et m doivent donc être égales. La bornitude ou des limites de sous-suites distinctes ne permettent pas à la suite elle-même d’avoir deux limites.

Answer

Les deux valeurs doivent être égales.

Question 3

3. À partir d’un certain rang, les termes d’une suite dépassent tout seuil réel choisi à l’avance. Quelle est sa limite ?

Plus l’infini.

Un réel fini vers lequel les termes se rapprochent.

Aucune limite, car une limite ne peut pas être infinie.

Moins l’infini, avec des termes négatifs de valeur absolue croissante.

Explication

Une suite tend vers plus l’infini si, pour tout réel A, ses termes deviennent supérieurs à A à partir d’un certain rang. Le rapprochement d’un réel fini décrit une limite finie, tandis que moins l’infini concerne des termes négatifs et la divergence peut aussi correspondre à une limite infinie.

Answer

Plus l’infini.

Question 4

4. Une suite ne converge pas vers un réel, mais ses termes tendent vers plus l’infini. Comment la qualifier ?

Elle n’a aucune limite, même infinie.

Elle converge vers un réel très grand.

Elle est convergente parce que ses termes augmentent.

Elle est divergente, avec une limite infinie.

Explication

Une suite divergente est une suite qui ne converge pas vers un réel ; elle peut ne pas avoir de limite ou avoir une limite infinie. Dire qu’elle n’a aucune limite exclut à tort le cas d’une limite infinie, et une limite infinie n’est pas un réel fini.

Answer

Elle est divergente, avec une limite infinie.

Question 5

5. Une suite est définie par $a_n=\frac{1}{n^4}$ pour tout entier naturel $n\geq 1$ . Vers quelle limite converge-t-elle lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?

Vers

-\infty

Vers

1

Vers

+\infty

Vers

0

Explication

Les suites de terme général $\frac{1}{n^k}$ convergent vers $0$ pour un exposant naturel $k$ . La limite $+\infty$ correspond aux puissances $n^k$ , et non à leurs inverses.

Answer

Vers $$0$$

Question 6

6. Une quantité suit la suite $b_n=\sqrt{n}$ . Quel est son comportement lorsque l’indice $n$ devient très grand ?

Elle tend vers

+\infty

Elle tend vers

1

Elle tend vers

0

Elle tend vers

-\infty

Explication

La suite de terme général $\sqrt{n}$ tend vers $+\infty$ lorsque $n$ augmente sans borne. C’est son inverse, $\frac{1}{\sqrt{n}}$ , qui converge vers $0$ .

Answer

Elle tend vers $$+\infty$$

Question 7

7. Deux suites vérifient $u_n\to 3$ et $v_n\to -5$ lorsque $n\to +\infty$ . Quelle est la limite de leur somme ?

8

-15

La limite est indéterminée

-2

Explication

Lorsque les deux suites ont des limites finies, la limite de leur somme est la somme de ces limites : $3+(-5)=-2$ . $8$ vient de l’addition des valeurs absolues, tandis que $-15$ correspond au produit.

Answer

On ne peut pas conclure sans transformer l’expression

Answer

La forme est indéterminée

Answer

Une forme indéterminée

Question 8

8. On sait que $u_n\to +\infty$ et $v_n\to -\infty$ lorsque $n\to +\infty$ . Que peut-on conclure sur la limite de $u_n+v_n$ à partir de ces seules informations ?

La somme tend vers

-\infty

On ne peut pas conclure sans transformer l’expression

La somme tend vers

0

La somme tend vers

+\infty

Explication

La somme d’une suite tendant vers $+\infty$ et d’une suite tendant vers $-\infty$ constitue une forme indéterminée : les limites seules ne déterminent pas celle de la somme. Conclure à $+\infty$ ou à $-\infty$ suppose une dominance non établie, et $0$ n’est pas garanti.

Question 9

9. On sait que $u_n\to -3$ et $v_n\to 4$ . Quelle est la limite de leur produit ?

7

12

-12

0

Explication

Lorsque deux suites ont des limites finies, la limite de leur produit est le produit de ces limites : $(-3)\times4=-12$ . $7$ vient de l’addition, $12$ néglige le signe négatif et $0$ ne correspond pas à la règle du produit.

Question 10

10. Une suite $u_n$ tend vers $0$ tandis qu’une suite $v_n$ tend vers $+\infty$ . Que peut-on conclure sur la limite de $u_nv_n$ à partir de ces seules informations ?

Le produit tend vers

-\infty

Le produit tend vers zéro

La forme est indéterminée

Le produit tend vers

+\infty

Explication

Le produit d’une suite tendant vers zéro et d’une suite tendant vers l’infini est une forme indéterminée : les limites des facteurs ne suffisent pas à déterminer celle du produit. Une limite nulle ou infinie ne peut donc pas être affirmée sans information supplémentaire.

Question 11

11. Une suite $u_n$ tend vers $15$ et une suite $v_n$ tend vers $-3$ . Vers quelle limite tend le quotient $\frac{u_n}{v_n}$ ?

\frac{1}{5}

-45

5

-5

Explication

Si le dénominateur tend vers un réel non nul, la limite du quotient est le quotient des limites : $\frac{15}{-3}=-5$ . $-45$ résulte d’une multiplication, $\frac{1}{5}$ inverse les rôles et $5$ oublie le signe négatif.

Question 12

12. Pour deux suites, le numérateur et le dénominateur d’un quotient tendent tous deux vers $+\infty$ . Quel statut a ce calcul de limite ?

Une limite égale à un réel fini

Une limite égale à zéro

Une limite égale à

+\infty

Une forme indéterminée

Explication

Quand le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers l’infini, le quotient est une forme indéterminée : leurs vitesses de croissance peuvent modifier le résultat. Une limite nulle ou infinie, ou une valeur finie précise, ne se déduit donc pas de ces seules limites.

QCM : Limites de suites et opérations (12 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une suite converge vers un réel ℓ au sens où, à partir d’un certain rang, ses termes vérifient quelle propriété ?

2. Une suite réelle admet une limite ℓ. Une autre personne affirme qu’elle admet aussi une limite distincte m. Quelle conclusion s’impose ?

3. À partir d’un certain rang, les termes d’une suite dépassent tout seuil réel choisi à l’avance. Quelle est sa limite ?

4. Une suite ne converge pas vers un réel, mais ses termes tendent vers plus l’infini. Comment la qualifier ?

5. Une suite est définie par $a_n=\frac{1}{n^4}$ pour tout entier naturel $n\geq 1$ . Vers quelle limite converge-t-elle lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?

6. Une quantité suit la suite $b_n=\sqrt{n}$ . Quel est son comportement lorsque l’indice $n$ devient très grand ?

7. Deux suites vérifient $u_n\to 3$ et $v_n\to -5$ lorsque $n\to +\infty$ . Quelle est la limite de leur somme ?

8. On sait que $u_n\to +\infty$ et $v_n\to -\infty$ lorsque $n\to +\infty$ . Que peut-on conclure sur la limite de $u_n+v_n$ à partir de ces seules informations ?

9. On sait que $u_n\to -3$ et $v_n\to 4$ . Quelle est la limite de leur produit ?

10. Une suite $u_n$ tend vers $0$ tandis qu’une suite $v_n$ tend vers $+\infty$ . Que peut-on conclure sur la limite de $u_nv_n$ à partir de ces seules informations ?

11. Une suite $u_n$ tend vers $15$ et une suite $v_n$ tend vers $-3$ . Vers quelle limite tend le quotient $\frac{u_n}{v_n}$ ?

12. Pour deux suites, le numérateur et le dénominateur d’un quotient tendent tous deux vers $+\infty$ . Quel statut a ce calcul de limite ?

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Questions et réponses du QCM

1. Une suite converge vers un réel ℓ au sens où, à partir d’un certain rang, ses termes vérifient quelle propriété ?

2. Une suite réelle admet une limite ℓ. Une autre personne affirme qu’elle admet aussi une limite distincte m. Quelle conclusion s’impose ?

3. À partir d’un certain rang, les termes d’une suite dépassent tout seuil réel choisi à l’avance. Quelle est sa limite ?

4. Une suite ne converge pas vers un réel, mais ses termes tendent vers plus l’infini. Comment la qualifier ?

5. Une suite est définie par an=1n4a_n=\frac{1}{n^4}an​=n41​ pour tout entier naturel n≥1n\geq 1n≥1. Vers quelle limite converge-t-elle lorsque nnn tend vers +∞+\infty+∞ ?

6. Une quantité suit la suite bn=nb_n=\sqrt{n}bn​=n​. Quel est son comportement lorsque l’indice nnn devient très grand ?

7. Deux suites vérifient un→3u_n\to 3un​→3 et vn→−5v_n\to -5vn​→−5 lorsque n→+∞n\to +\inftyn→+∞. Quelle est la limite de leur somme ?

8. On sait que un→+∞u_n\to +\inftyun​→+∞ et vn→−∞v_n\to -\inftyvn​→−∞ lorsque n→+∞n\to +\inftyn→+∞. Que peut-on conclure sur la limite de un+vnu_n+v_nun​+vn​ à partir de ces seules informations ?

9. On sait que un→−3u_n\to -3un​→−3 et vn→4v_n\to 4vn​→4. Quelle est la limite de leur produit ?

10. Une suite unu_nun​ tend vers 000 tandis qu’une suite vnv_nvn​ tend vers +∞+\infty+∞. Que peut-on conclure sur la limite de unvnu_nv_nun​vn​ à partir de ces seules informations ?

11. Une suite unu_nun​ tend vers 151515 et une suite vnv_nvn​ tend vers −3-3−3. Vers quelle limite tend le quotient unvn\frac{u_n}{v_n}vn​un​​ ?

12. Pour deux suites, le numérateur et le dénominateur d’un quotient tendent tous deux vers +∞+\infty+∞. Quel statut a ce calcul de limite ?

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6. Une quantité suit la suite $b_n=\sqrt{n}$ . Quel est son comportement lorsque l’indice $n$ devient très grand ?

7. Deux suites vérifient $u_n\to 3$ et $v_n\to -5$ lorsque $n\to +\infty$ . Quelle est la limite de leur somme ?

8. On sait que $u_n\to +\infty$ et $v_n\to -\infty$ lorsque $n\to +\infty$ . Que peut-on conclure sur la limite de $u_n+v_n$ à partir de ces seules informations ?

9. On sait que $u_n\to -3$ et $v_n\to 4$ . Quelle est la limite de leur produit ?

10. Une suite $u_n$ tend vers $0$ tandis qu’une suite $v_n$ tend vers $+\infty$ . Que peut-on conclure sur la limite de $u_nv_n$ à partir de ces seules informations ?

11. Une suite $u_n$ tend vers $15$ et une suite $v_n$ tend vers $-3$ . Vers quelle limite tend le quotient $\frac{u_n}{v_n}$ ?

12. Pour deux suites, le numérateur et le dénominateur d’un quotient tendent tous deux vers $+\infty$ . Quel statut a ce calcul de limite ?