Fiche de révision : Limites et convergence des suites

📋 Plan du Cours

1. Équation réduite d’une droite
2. Variables aléatoires discrètes
3. Probabilités conditionnelles
4. Arbres et épreuves indépendantes
5. Épreuves de Bernoulli, coefficients et loi binomiale
6. Probabilités cumulées et seuils
7. Définition et variations des suites
8. Suites arithmétiques et géométriques
9. Suites majorées et minorées
10. Démonstration par récurrence
11. Limites des suites
12. Opérations, formes indéterminées et comparaison des limites
13. Suites géométriques et convergence monotone
14. Propriétés de la fonction exponentielle
15. Définition, propriétés et étude du logarithme népérien

📖 1. Équation réduite d’une droite

📝 Points essentiels

• Si deux points A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) vérifient x_A ≠ x_B, la droite (AB) a une équation réduite de la forme $y = mx + n$.

📖 2. Variables aléatoires discrètes

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire discrète : Associe à chaque issue d’un univers Ω un nombre réel.
• Loi de probabilité : Associe à chaque valeur prise par cette variable la probabilité correspondante.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une variable aléatoire X prenant les valeurs x₁, …, xₙ avec les probabilités p₁, …, pₙ, son espérance est $E(X)=\sum_{i=1}^{n}p_i x_i$.

📐 Formule - La variance de X est $V(X)=\sum_{i=1}^{n}p_i\bigl(x_i-E(X)\bigr)^2$.

Compléments

📐 Formule - L’écart-type de X est $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$.

• Pour une urne de 20 jetons comportant deux jetons numérotés 1, dix numérotés 2 et huit numérotés 3, les probabilités des valeurs 1, 2 et 3 sont respectivement 0,1, 0,5 et 0,4.

• Dans l’exemple de l’urne, l’espérance vaut 2,3, la variance vaut 0,41 et l’écart-type vaut environ 0,64.

📖 3. Probabilités conditionnelles

★ À maîtriser

📐 Formule - Si P(A) ≠ 0, la probabilité de B sachant A est $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$, donc $P(A\cap B)=P(A)P_A(B)$.

📐 Formule - Si A₁, …, Aₙ forment une partition de Ω, alors $P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i\cap B)$.

📌 Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si $P(A\cap B)=P(A)P(B)$, équivalemment si P(A) ≠ 0, $P_A(B)=P(B)$.

Compléments

• Au tennis, Abel réussit son premier service dans 70 % des cas ; il gagne le point dans 80 % des cas lorsque ce service est réussi et dans 45 % des cas après un échec au premier service.

📖 4. Arbres et épreuves indépendantes

★ À maîtriser

• Une succession d’épreuves peut être représentée par un arbre pondéré, où un chemin correspond à une intersection d’événements et où les probabilités des branches du second niveau sont conditionnelles.

📌 Deux épreuves successives sont indépendantes lorsque le résultat de la première n’influe pas sur celui de la seconde.

📐 Formule - Pour n épreuves indépendantes, la probabilité d’une issue (x₁, …, xₙ) est $P((x_1,\ldots,x_n))=\prod_{i=1}^{n}P(x_i)$.

Compléments

• Lors de deux tirages successifs sans remise parmi cinq jetons verts et trois jaunes, les probabilités du second tirage sont 4/7 ou 3/7 après un jeton vert, et 5/7 ou 2/7 après un jeton jaune.

• Une succession de n épreuves indépendantes peut être représentée par un arbre pondéré à n niveaux.

• Les issues d’une succession de n épreuves indépendantes de lieux respectifs Ω₁, …, Ωₙ appartiennent au produit cartésien Ω₁ × … × Ωₙ.

• Dans n épreuves indépendantes et identiques à deux issues, si une issue de probabilité p apparaît k fois, la probabilité de cette succession est $p^k(1-p)^{n-k}$.

• Un menu composé d’une entrée parmi deux, d’un plat parmi trois et d’un dessert parmi deux peut être choisi de 12 façons.

📖 5. Épreuves de Bernoulli, coefficients et loi binomiale

🔑 Notions clés & Définitions

• Épreuve de Bernoulli : Expérience aléatoire à deux issues, nommées succès et échec.
• Loi de Bernoulli : Attribue la probabilité p au succès et la probabilité 1 − p à l’échec, p étant son paramètre.
• Schéma de Bernoulli : Répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
• Loi binomiale : Loi de probabilité d’une variable aléatoire qui compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli.
• Coefficient binomial : Le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ est le nombre de chemins conduisant à k succès parmi n épreuves d’un schéma de Bernoulli.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si X suit une loi binomiale de paramètres n et p, alors, pour tout entier k tel que 0≤k≤n, $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$.

📐 Formule - Pour une variable aléatoire X suivant une loi binomiale de paramètres n et p, son espérance vaut $E(X)=np$.

📐 Formule - Pour une variable aléatoire X suivant une loi binomiale de paramètres n et p, sa variance vaut $V(X)=np(1-p)$.

Compléments

📐 Formule - Pour une variable Y de loi de Bernoulli de paramètre p, $E(Y)=p$ et $V(Y)=p(1-p)$.

• Lors de trois tirages avec remise parmi quatre cartes, dont un As et trois Valets, la probabilité d’obtenir exactement deux As est $3\times(1/4)^2\times(3/4)=0{,}14$.

• Pour trois épreuves indépendantes de Bernoulli de paramètre p, la probabilité d’obtenir trois succès est p³ et celle d’obtenir deux succès est 3p²(1 − p).

• Dans un arbre représentant trois épreuves, il existe trois chemins conduisant à exactement deux succès, nombre noté $\binom{3}{2}=3$.

• Pour tout entier naturel n, $\binom{n}{0}=1$ et $\binom{n}{n}=1$, car il existe un seul chemin avec zéro succès ou avec n succès.

📐 Formule - Pour tout entier naturel n, le nombre de chemins menant à un seul succès parmi n épreuves est donné par $\binom{n}{1}=n$.

• Pour modéliser le nombre de tirages gagnants, on répète quatre fois, avec remise, une épreuve identique et indépendante dont la probabilité de succès est 5/12 ; le nombre de succès suit alors une loi binomiale de paramètres n=4 et p=5/12.

• Dans cette expérience, la probabilité d’obtenir exactement trois tirages gagnants est $\binom{4}{3}(5/12)^3(1-5/12)^{4-3}$, soit environ 0,07.

📖 6. Probabilités cumulées et seuils

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité cumulée : La probabilité cumulée croissante cₖ est la probabilité d’obtenir au plus k succès : $c_k=P(X≤k)=P(X=0)+P(X=1)+\cdots+P(X=k)$.

★ À maîtriser

📌 Pour déterminer le plus petit entier k tel que la probabilité cumulée atteigne un seuil α, avec α∈[0;1], on cherche le plus petit k tel que $P(X≤k)≥α$.

Compléments

📐 Formule - Les probabilités cumulées vérifient la relation de récurrence $c_k=c_{k-1}+p_k$, où $p_k=P(X=k)$.

• Comme les probabilités $p_k$ sont positives, les probabilités cumulées $c_k$ sont croissantes.

📌 Un intervalle entier [a;b] de probabilité au moins α doit vérifier $0≤a≤b≤n$ et $P(a≤X≤b)≥α$.

• Pour 45 convives ayant chacun une probabilité 0,8 de prendre un café, le nombre de cafés commandés suit une loi binomiale de paramètres n=45 et p=0,8.

• Dans l’exemple des 45 convives, le plus petit entier a tel que $P(X≤a)≥**0{,}9**$ est 39.

• Dans l’exemple des 45 convives, deux intervalles d’amplitude minimale donnant une probabilité d’au moins 0,95 sont [30;40] et [31;41].

📖 7. Définition et variations des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Fonction de ℕ dans ℝ qui associe à chaque rang n le terme uₙ.
• Suite monotone : Suite strictement croissante ou strictement décroissante.

★ À maîtriser

📌 Une suite définie explicitement donne uₙ en fonction de n et permet de calculer chaque terme directement, tandis qu’une suite définie par récurrence donne un premier terme et une relation entre termes successifs.

📌 Si, pour tout n, uₙ₊₁ − uₙ > 0, alors la suite est strictement croissante ; si uₙ₊₁ − uₙ < 0 pour tout n, elle est strictement décroissante.

Compléments

📌 Si uₙ = f(n) et si f est strictement croissante ou décroissante sur [0 ; +∞[, alors la suite (uₙ) a le même sens de variation.

📌 Si tous les termes uₙ sont positifs, uₙ₊₁/uₙ > 1 pour tout n implique une suite strictement croissante, tandis que uₙ₊₁/uₙ < 1 implique une suite strictement décroissante.

💡 Astuce mémo

Explicite : calcul direct ; récurrence : calcul de proche en proche.

📖 8. Suites arithmétiques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite définie par la relation uₙ₊₁ = uₙ + r, où r est sa raison.
• Suite géométrique : Suite définie par la relation uₙ₊₁ = uₙ × q, où q est sa raison.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour une suite arithmétique, $u_n=u_0+nr$ et $u_n=u_p+r(n-p)$.

📐 Formule - Pour une suite géométrique, $u_n=u_0q^n$ et $u_n=u_pq^{n-p}$.

📌 Une suite arithmétique est croissante si r > 0, décroissante si r < 0 et constante si r = 0.

📌 Pour une suite géométrique avec u₀ > 0 et q ≠ 0, elle est croissante si q > 1, décroissante si 0 < q < 1, constante si q = 1 et non monotone si q < 0.

📐 Formule - La somme des termes d’une suite arithmétique de premier terme a et de dernier terme l vaut $S=N\frac{a+l}{2}$, où N est le nombre de termes.

📐 Formule - La somme des N premiers termes d’une suite géométrique de premier terme a et de raison q ≠ 1 vaut $S=a\frac{1-q^N}{1-q}$.

📐 Formule - Pour q ≠ 1, $1+q+q^2+\cdots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

💡 Astuce mémo

L’arithmétique ajoute r ; la géométrique multiplie par q.

📖 9. Suites majorées et minorées

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite majorée : Suite pour laquelle il existe un réel M tel que uₙ ≤ M pour tout entier naturel n.
• Suite minorée : Suite pour laquelle il existe un réel m tel que uₙ ≥ m pour tout entier naturel n.
• Suite bornée : Suite à la fois majorée et minorée.

📝 Points essentiels

📌 Une suite croissante est minorée par son premier terme u₀, tandis qu’une suite décroissante est majorée par u₀.

• Tout nombre supérieur à un majorant M d’une suite est également un majorant de cette suite.

💡 Astuce mémo

Une suite bornée reste entre un plafond M et un plancher m.

📖 10. Démonstration par récurrence

★ À maîtriser

• Pour démontrer par récurrence qu’une proposition est vraie pour tout n ≥ n₀, on vérifie l’initialisation au rang n₀, on prouve l’hérédité de k à k + 1, puis on conclut que la proposition est vraie pour tout n ≥ n₀.

Compléments

• La suite définie par u₀ = 2 et uₙ₊₁ = 3uₙ − 2 vérifie uₙ = 3ⁿ + 1 pour tout n ∈ ℕ, résultat démontrable par récurrence.

• Pour tout n ∈ ℕ, l’inégalité $2^n\geq 1+n$ se démontre par récurrence à partir du rang 0.

• Pour tout entier naturel n non nul, l’égalité $1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ se démontre par récurrence à partir du rang 1.

• Le raisonnement par récurrence peut être utilisé pour étudier la monotonie d’une suite lorsqu’aucune des trois méthodes usuelles ne s’applique.

💡 Astuce mémo

Initialisation, hérédité, conclusion : le premier domino entraîne les suivants.

📖 11. Limites des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite +∞ : Une suite $u$ a pour limite $+[0m\infty$ si, pour tout réel $A$, il existe un entier $n_0$ tel que, pour tout $n>n_0$, $u_n\geq A$.
• Limite finie : Une suite $u$ converge vers le réel $l$ si tout intervalle ouvert contenant $l$ contient tous les termes $u_n$ à partir d’un certain rang.
• Divergence : Une suite diverge si elle tend vers $+\infty$, tend vers $-\infty$ ou n’a pas de limite.

★ À maîtriser

📌 Toute suite croissante et non majorée diverge vers $+\infty$.

• Pour tout réel $k$, les suites de termes généraux $k/\sqrt n$, $k/n$, $k/n^2$, $ke^{-n}$ et $k/n^p$, avec $p\in\mathbb N^*$, tendent vers $0$.

Compléments

• La limite finie d’une suite, si elle existe, est unique.

• Les suites de termes généraux $(-1)^n$, $\sin(n)$ et $\cos(n)$ n’ont pas de limite.

💡 Astuce mémo

Vers un réel : convergence ; vers l’infini ou sans limite : divergence

📖 12. Opérations, formes indéterminées et comparaison des limites

★ À maîtriser

📌 Les opérations sur les limites permettent de déduire les limites d’une somme, d’un produit ou d’un quotient à partir des limites des suites concernées, sauf dans les cas de forme indéterminée.

• Les quatre formes indéterminées sont $\infty-\infty$, $0\times\infty$, $\frac{\infty}{\infty}$ et $\frac00$.

• Lorsque $u_n\to L$ et $v_n\to L'$, la somme $u_n+v_n$ tend vers $L+L'$.

• Lorsque $u_n\to L$ et $v_n\to L'$, le produit $u_nv_n$ tend vers $LL'$.

• Si $u_n\to+\infty$ et $u_n\leq v_n$ à partir d’un certain rang, alors $v_n\to+\infty$.

• Si $u_n\to l$, $v_n\to l'$ et $u_n\leq v_n$ à partir d’un certain rang, alors $l\leq l'$.

• Si $u_n\leq v_n\leq w_n$ à partir d’un certain rang et si $u_n$ et $w_n$ ont la même limite finie $l$, alors $v_n\to l$.

Compléments

• Pour lever une forme indéterminée, il faut modifier l’écriture par des calculs algébriques ou utiliser d’autres propriétés sur les limites.

• Si $u_n\to L$ et $v_n\to L'\ne0$, alors $u_n/v_n\to L/L'$.

• Si $u_n$ tend vers une limite finie et $v_n$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$, alors $u_n/v_n$ tend vers $0$.

• Pour lever une indétermination de type $\infty/\infty$, on peut diviser le numérateur et le dénominateur par le terme dominant, comme dans $\frac{n+2}{n+3}=\frac{1+2/n}{1+3/n}$, dont la limite est $1$.

📌 Si une suite converge vers $l$ et que ses termes sont positifs à partir d’un certain rang, alors $l\geq0$ ; s’ils sont négatifs à partir d’un certain rang, alors $l\leq0$.

• Si $u_n\to0$ en restant positif et $v_n\to L$ avec $L>0$, alors $u_n/v_n\to0$.

💡 Astuce mémo

Les deux suites limites sont les gendarmes qui encadrent la suite centrale

📖 13. Suites géométriques et convergence monotone

★ À maîtriser

📐 Formule - Une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$ vérifie $u_n=u_0q^n$.

• La suite $(q^n)$ n’a pas de limite si $q\leq-1$, tend vers $0$ si $-1<q<1$, vaut constamment $1$ si $q=1$ et tend vers $+\infty$ si $q>1$.

📌 Toute suite croissante et majorée est convergente.

📌 Toute suite décroissante et minorée est convergente.

• Comme la suite vérifie 1 ≤ u_{n+1} ≤ u_n, elle est décroissante et minorée par 1 ; le théorème de convergence monotone garantit donc sa convergence.

Compléments

• Si une suite croissante converge vers $l$, alors elle est majorée par $l$.

• Si une suite décroissante converge vers $l$, alors elle est minorée par $l$.

• Le théorème de convergence monotone garantit l’existence d’une limite, mais ne détermine pas sa valeur.

• Pour la suite définie par u_0 = 4 et u_{n+1} = 1/2 u_n + 1, la limite conjecturée à l’aide de la calculatrice est 2.

💡 Astuce mémo

Croissante majorée ou décroissante minorée : convergence

📖 14. Propriétés de la fonction exponentielle

★ À maîtriser

• La fonction exponentielle est définie sur ℝ, strictement positive, dérivable et vérifie (exp)'(x) = exp(x), e^0 = 1 et e^x > 0.

• Pour toute fonction dérivable u, (e^u)' = u'e^u.

• La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ et e ≈ 2,718282.

Compléments

📐 Formule - Pour tous réels x et y et tout entier naturel n, $e^{x+y}=e^x e^y,\quad e^{x-y}=\frac{e^x}{e^y},\quad (e^x)^n=e^{nx}$.

📌 Comme l’exponentielle est strictement croissante, e^a = e^b équivaut à a = b et e^a < e^b équivaut à a < b.

📖 15. Définition, propriétés et étude du logarithme népérien

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme népérien : Défini sur ]0 ; +∞[, il associe à chaque x > 0 l’unique réel ln(x) dont l’exponentielle vaut x.

★ À maîtriser

📌 Pour x > 0 et y réel, y = ln(x) équivaut à e^y = x ; en particulier, ln(e^x) = x et e^{ln(x)} = x.

📐 Formule - Pour x,y > 0 et tout entier relatif n, $\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y),\quad \ln\left(\frac{x}{y}\right)=\ln(x)-\ln(y),\quad \ln\left(\frac{1}{x}\right)=-\ln(x),\quad \ln(\sqrt{x})=\frac12\ln(x),\quad \ln(x^n)=n\ln(x)$.

📐 Formule - Pour x > 0, $\ln'(x)=\frac{1}{x}$ ; le logarithme népérien est strictement croissant et concave sur ]0 ; +∞[.

📌 Pour a,b > 0, ln(a) = ln(b) équivaut à a = b, et ln(a) < ln(b) équivaut à a < b.

• Pour résoudre ln(u(x)) = ln(v(x)) ou comparer ces logarithmes, on détermine d’abord l’ensemble où u(x) > 0 et v(x) > 0, puis on résout l’équation ou l’inéquation entre les arguments sur cet ensemble.

📐 Formule - Si u est strictement positive et dérivable sur un intervalle I, alors ln(u) est dérivable sur I et $\bigl(\ln(u)\bigr)'=\frac{u'}{u}$.

Compléments

• On a ln(1) = 0 et ln(e) = 1.

• Dans un repère orthonormé, les courbes de l’exponentielle et du logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.

📐 Formule - Pour tout x > 0, $\ln(x)\leq x-1$.

• La probabilité d’obtenir au moins un double six en n lancers d’un dé non truqué est p_n = 1 − (35/36)^n ; obtenir une probabilité d’au moins 0,99 exige au minimum 164 lancers.

💡 Astuce mémo

Exponentielle et logarithme sont réciproques : leurs courbes se réfléchissent sur y = x

📊 Tableaux de synthèse

Suites arithmétiques et géométriques