Fiche de révision : Dérivation et fonctions dérivées

📋 Plan du Cours

1. Taux de variation et nombre dérivé
2. Tangente à une courbe
3. Fonction dérivée et fonctions de référence
4. Opérations sur les fonctions dérivables

📖 1. Taux de variation et nombre dérivé

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : Le nombre dérivé de f en a est la limite unique vers laquelle tend le taux de variation entre a et a+h lorsque h tend vers 0, lorsqu’elle existe.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le taux de variation de f entre a et b est $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

📐 Formule - Le nombre dérivé de f en a s’écrit $f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.

Compléments

• Le taux de variation entre a et b est le coefficient directeur de la sécante passant par les points correspondants de la courbe.

📐 Formule - Le taux de variation entre a et a+h, pour h non nul, est $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.

📖 2. Tangente à une courbe

🔑 Notions clés & Définitions

• Tangente : La tangente à la courbe de f au point A(a ; f(a)) est la droite passant par A et de coefficient directeur égal à f'(a), si f est dérivable en a.

★ À maîtriser

📐 Formule - L’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse a est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

Compléments

• La tangente peut aussi s’écrire sous la forme $y=f'(a)x+p$, où p est déterminé pour que le point A(a ; f(a)) vérifie l’équation.

📖 3. Fonction dérivée et fonctions de référence

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction dérivable : Une fonction est dérivable sur I si son nombre dérivé peut être calculé en tout réel de I.
• Fonction dérivée : La fonction dérivée de f associe à chaque réel x de I le nombre dérivé f'(x) et se note f'.

📝 Points essentiels

• Les dérivées des fonctions de référence sont :
  • C donne 0 sur ℝ
  • x donne 1 sur ℝ
  • x² donne 2x sur ℝ
  • x³ donne 3x² sur ℝ
  • xᵐ donne mxᵐ⁻¹ sur ℝ pour m naturel non nul
  • x⁻ᵐ donne −mx⁻ᵐ⁻¹ sur ℝ*
  • 1/x donne −1/x² sur ℝ*
  • √x donne 1/(2√x) sur ]0 ; +∞[

📖 4. Opérations sur les fonctions dérivables

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction composée : La composée de h par g est la fonction f définie sur I par f(x)=g(h(x)), lorsque h(x) appartient à l’intervalle de définition J de g.

★ À maîtriser

📐 Formule - La dérivée d’une somme vérifie $(u+v)'=u'+v'$.

📐 Formule - La dérivée d’un produit de fonctions vérifie $(uv)'=u'v+uv'$.

📐 Formule - Si h(x)=ax+b et g est dérivable sur un intervalle contenant les valeurs de h, alors la dérivée de f(x)=g(ax+b) est $f'(x)=a\,g'(ax+b)$.

Compléments

📐 Formule - La dérivée d’un produit par une constante vérifie $(ku)'=ku'$.