QCM : Dérivation et fonctions dérivées (11 questions)

Question 1

1. Pour une fonction vérifiant $f(2)=5$ et $f(6)=17$ , quel est le taux de variation de $f$ entre $2$ et $6$ ?

11

3

-3

6

Explication

Le taux de variation est $\frac{f(6)-f(2)}{6-2}=\frac{17-5}{4}=3$ . La valeur $-3$ inverse les écarts, $6$ divise par l’abscisse initiale et $11$ additionne les images.

Answer

La droite passant par $$A$$ et de coefficient directeur $$f'(a)=-2$$

Answer

La fonction qui associe à chaque $$x$$ de $$I$$ le nombre dérivé $$f'(x)$$.

Answer

$$\lim_{h\to 0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}$$

Answer

La limite unique des taux de variation quand l’écart tend vers zéro

Answer

$$\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Answer

Elle est dérivable sur $$I$$.

Answer

$$y=3(x-2)+5$$

Answer

$$3g'(3x-2)$$

Question 2

2. Une fonction est dérivable en $a$ et sa tangente à la courbe en $A(a;f(a))$ a pour coefficient directeur $-2$ . Quelle caractérisation de cette tangente est correcte ?

La droite sécante passant par deux points éloignés de la courbe

La droite passant par

A

et d’ordonnée à l’origine

-2

La droite de coefficient directeur

-2

passant par l’origine

La droite passant par

A

et de coefficient directeur

f'(a)=-2

Explication

La tangente au point $A$ passe par ce point et son coefficient directeur est le nombre dérivé $f'(a)$ . L’ordonnée à l’origine n’est pas le coefficient directeur, et une sécante relie deux points distincts de la courbe.

Question 3

3. À un réel $x$ , deux fonctions dérivables satisfont $u(x)=2$ , $v(x)=5$ , $u'(x)=3$ et $v'(x)=4$ . Quelle est la dérivée du produit $uv$ en ce point ?

8

15

23

12

Explication

La règle du produit donne $(uv)'=u'v+uv'$ , soit $3\times5+2\times4=15+8=23$ . $12$ multiplie les dérivées, tandis que $15$ et $8$ ne retiennent que l’un des deux termes.

Question 4

4. Pour une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$ , que désigne la fonction notée $f'$ ?

Le coefficient directeur constant de la courbe de

f

sur

I

.

La fonction qui associe à chaque

x

de

I

le nombre dérivé

f'(x)

.

La fonction qui associe à chaque

x

de

I

la valeur

f(x)

.

Le nombre dérivé de

f

évalué en un réel particulier de

I

.

Explication

La fonction dérivée associe à chaque réel $x$ de $I$ le nombre dérivé $f'(x)$ . Un nombre dérivé en un point est une valeur, tandis que $f$ désigne la fonction initiale et sa pente peut varier.

Question 5

5. Deux fonctions dérivables $u$ et $v$ vérifient $u'(x)=4x$ et $v'(x)=3$ . Quelle est la dérivée de leur somme en $x$ ?

u(x)+v(x)

4x+3

12x

4xv(x)+3u(x)

Explication

La dérivée d’une somme est la somme des dérivées, donc $(u+v)'(x)=u'(x)+v'(x)=4x+3$ . $12x$ multiplie les dérivées, $u(x)+v(x)$ reprend la somme initiale et l’expression avec les fonctions correspond à des termes de produit.

Question 6

6. Pour déterminer le nombre dérivé de $f$ en $3$ à partir de sa définition, quelle limite faut-il calculer ?

\lim_{x\to 0}\frac{f(3+x)-f(3)}{3}

\frac{f(3+h)-f(3)}{h}

pour un

h

fixé non nul

\lim_{h\to 0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}

\lim_{h\to 0}\frac{f(3+h)}{h}

Explication

La définition en $a=3$ est $f'(3)=\lim_{h\to 0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}$ . Un $h$ fixé donne un taux fini, tandis que les autres expressions omettent une soustraction ou utilisent le mauvais dénominateur.

Question 7

7. Lorsqu’une fonction est dérivable en $a$ , que représente le nombre dérivé en ce point ?

L’ordonnée du point de la courbe d’abscisse

a

La limite unique des taux de variation quand l’écart tend vers zéro

Le taux de variation calculé pour un écart fixé non nul

La valeur commune des taux de variation pour tous les écarts

Explication

Le nombre dérivé en $a$ est la limite unique vers laquelle tend le taux entre $a$ et $a+h$ lorsque $h$ tend vers zéro. Un taux à écart fixé ne définit pas cette limite, et l’ordonnée est $f(a)$ .

Question 8

8. Pour $x>0$ , quelle est la dérivée de la fonction $r(x)=\sqrt{x}$ ?

\frac{1}{2x}

-\frac{1}{x^2}

\frac{1}{\sqrt{x}}

\frac{1}{2\sqrt{x}}

Explication

La dérivée de la fonction de référence $\sqrt{x}$ vaut $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ pour $x>0$ . Les réponses $\frac{1}{\sqrt{x}}$ et $\frac{1}{2x}$ oublient respectivement un facteur 2 ou la racine, tandis que $-\frac{1}{x^2}$ est la dérivée de $\frac{1}{x}$ .

Question 9

9. Une fonction possède un nombre dérivé en chaque réel d’un intervalle $I$ . Quelle propriété possède-t-elle sur $I$ ?

Elle est continue sur

I

, ce qui suffit à établir sa dérivabilité.

Sa dérivée est nulle sur

I

.

Elle a une dérivée constante sur

I

.

Elle est dérivable sur

I

.

Explication

Être dérivable sur $I$ signifie que le nombre dérivé peut être calculé en tout réel de cet intervalle. La continuité seule ne suffit pas, une dérivée constante n’est pas requise et la dérivée n’a pas à être nulle.

Question 10

10. Une courbe vérifie $f(2)=5$ et $f'(2)=3$ . Quelle est l’équation de sa tangente au point d’abscisse $2$ ?

y=5x+3

y=3(x-2)+5

y=5(x-2)+3

y=3x+5

Explication

La formule est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ ; ici, elle donne $y=3(x-2)+5$ . La pente est le nombre dérivé $3$ , et le terme $x-2$ garantit que la droite passe par le point d’abscisse $2$ .

Question 11

11. On définit $f(x)=g(3x-2)$ , où $g$ est dérivable aux valeurs considérées. Quelle expression donne $f'(x)$ ?

3g'(3x-2)

g'(3x-2)

3g'(x)

g'(3x-2)+3

Explication

Pour $f(x)=g(ax+b)$ , la dérivée est $a\,g'(ax+b)$ . Ici le coefficient intérieur vaut $3$ et l’argument reste $3x-2$ ; omettre ce facteur ou le remplacer par une addition ne respecte pas la règle de dérivation de la composée.

QCM : Dérivation et fonctions dérivées (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour une fonction vérifiant $f(2)=5$ et $f(6)=17$ , quel est le taux de variation de $f$ entre $2$ et $6$ ?

2. Une fonction est dérivable en $a$ et sa tangente à la courbe en $A(a;f(a))$ a pour coefficient directeur $-2$ . Quelle caractérisation de cette tangente est correcte ?

3. À un réel $x$ , deux fonctions dérivables satisfont $u(x)=2$ , $v(x)=5$ , $u'(x)=3$ et $v'(x)=4$ . Quelle est la dérivée du produit $uv$ en ce point ?

4. Pour une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$ , que désigne la fonction notée $f'$ ?

5. Deux fonctions dérivables $u$ et $v$ vérifient $u'(x)=4x$ et $v'(x)=3$ . Quelle est la dérivée de leur somme en $x$ ?

6. Pour déterminer le nombre dérivé de $f$ en $3$ à partir de sa définition, quelle limite faut-il calculer ?

7. Lorsqu’une fonction est dérivable en $a$ , que représente le nombre dérivé en ce point ?

8. Pour $x>0$ , quelle est la dérivée de la fonction $r(x)=\sqrt{x}$ ?

9. Une fonction possède un nombre dérivé en chaque réel d’un intervalle $I$ . Quelle propriété possède-t-elle sur $I$ ?

10. Une courbe vérifie $f(2)=5$ et $f'(2)=3$ . Quelle est l’équation de sa tangente au point d’abscisse $2$ ?

11. On définit $f(x)=g(3x-2)$ , où $g$ est dérivable aux valeurs considérées. Quelle expression donne $f'(x)$ ?

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QCM : Dérivation et fonctions dérivées (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour une fonction vérifiant f(2)=5f(2)=5f(2)=5 et f(6)=17f(6)=17f(6)=17, quel est le taux de variation de fff entre 222 et 666 ?

2. Une fonction est dérivable en aaa et sa tangente à la courbe en A(a;f(a))A(a;f(a))A(a;f(a)) a pour coefficient directeur −2-2−2. Quelle caractérisation de cette tangente est correcte ?

3. À un réel xxx, deux fonctions dérivables satisfont u(x)=2u(x)=2u(x)=2, v(x)=5v(x)=5v(x)=5, u′(x)=3u'(x)=3u′(x)=3 et v′(x)=4v'(x)=4v′(x)=4. Quelle est la dérivée du produit uvuvuv en ce point ?

4. Pour une fonction fff dérivable sur un intervalle III, que désigne la fonction notée f′f'f′ ?

5. Deux fonctions dérivables uuu et vvv vérifient u′(x)=4xu'(x)=4xu′(x)=4x et v′(x)=3v'(x)=3v′(x)=3. Quelle est la dérivée de leur somme en xxx ?

6. Pour déterminer le nombre dérivé de fff en 333 à partir de sa définition, quelle limite faut-il calculer ?

7. Lorsqu’une fonction est dérivable en aaa, que représente le nombre dérivé en ce point ?

8. Pour x>0x>0x>0, quelle est la dérivée de la fonction r(x)=xr(x)=\sqrt{x}r(x)=x​ ?

9. Une fonction possède un nombre dérivé en chaque réel d’un intervalle III. Quelle propriété possède-t-elle sur III ?

10. Une courbe vérifie f(2)=5f(2)=5f(2)=5 et f′(2)=3f'(2)=3f′(2)=3. Quelle est l’équation de sa tangente au point d’abscisse 222 ?

11. On définit f(x)=g(3x−2)f(x)=g(3x-2)f(x)=g(3x−2), où ggg est dérivable aux valeurs considérées. Quelle expression donne f′(x)f'(x)f′(x) ?

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1. Pour une fonction vérifiant $f(2)=5$ et $f(6)=17$ , quel est le taux de variation de $f$ entre $2$ et $6$ ?

2. Une fonction est dérivable en $a$ et sa tangente à la courbe en $A(a;f(a))$ a pour coefficient directeur $-2$ . Quelle caractérisation de cette tangente est correcte ?

3. À un réel $x$ , deux fonctions dérivables satisfont $u(x)=2$ , $v(x)=5$ , $u'(x)=3$ et $v'(x)=4$ . Quelle est la dérivée du produit $uv$ en ce point ?

4. Pour une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$ , que désigne la fonction notée $f'$ ?

5. Deux fonctions dérivables $u$ et $v$ vérifient $u'(x)=4x$ et $v'(x)=3$ . Quelle est la dérivée de leur somme en $x$ ?

6. Pour déterminer le nombre dérivé de $f$ en $3$ à partir de sa définition, quelle limite faut-il calculer ?

7. Lorsqu’une fonction est dérivable en $a$ , que représente le nombre dérivé en ce point ?

8. Pour $x>0$ , quelle est la dérivée de la fonction $r(x)=\sqrt{x}$ ?

9. Une fonction possède un nombre dérivé en chaque réel d’un intervalle $I$ . Quelle propriété possède-t-elle sur $I$ ?

10. Une courbe vérifie $f(2)=5$ et $f'(2)=3$ . Quelle est l’équation de sa tangente au point d’abscisse $2$ ?

11. On définit $f(x)=g(3x-2)$ , où $g$ est dérivable aux valeurs considérées. Quelle expression donne $f'(x)$ ?