QCM : Limites et convergence des suites (42 questions)

Question 1

1. Deux points distincts A et B ont des abscisses différentes. Quelle forme peut prendre l’équation réduite de la droite qui les relie ?

x = my + n

x = n

y = mx + n

y = mx

Explication

Lorsque les deux points ont des abscisses différentes, la droite n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées et son équation réduite est de la forme $y = mx + n$ . La forme $x = my + n$ inverse les rôles de x et y, $y = mx$ omet le terme constant, et $x = n$ décrit une droite verticale.

Answer

$$y = mx + n$$

Question 2

2. Une expérience aléatoire a pour issues un résultat rouge, un résultat bleu ou un résultat vert. Une variable aléatoire discrète associe à chacune de ces issues quoi ?

Une valeur de probabilité

Une probabilité

Un événement composé

Un nombre réel

Explication

Une variable aléatoire discrète associe un nombre réel à chaque issue de l’univers de l’expérience. Une probabilité est associée aux valeurs de la variable dans sa loi, tandis qu’un événement composé n’est pas l’objet auquel la définition associe directement le nombre.

Answer

Un nombre réel

Question 3

3. Dans un jeu, une variable aléatoire peut prendre les valeurs 0, 1 et 4. Quel renseignement constitue sa loi de probabilité ?

Les valeurs 0, 1 et 4 sans leurs probabilités

Les issues de l’expérience associées aux valeurs 0, 1 et 4

La probabilité correspondant à chacune des valeurs 0, 1 et 4

La somme des probabilités, sans les attribuer aux valeurs

Explication

La loi de probabilité associe à chaque valeur prise par la variable la probabilité correspondante. Énumérer les valeurs sans leur probabilité ou donner uniquement la somme des probabilités ne fournit pas ces associations.

Answer

La probabilité correspondant à chacune des valeurs 0, 1 et 4

Question 4

4. Une variable aléatoire X prend les valeurs 1 et 5 avec des probabilités respectives de 0,75 et 0,25. Quelle est son espérance ?

3

1

4

2

Explication

L’espérance est la somme des produits de chaque valeur par sa probabilité : $E(X)=0,75\times1+0,25\times5=2$ . La moyenne non pondérée donne 3, et inverser les probabilités donne 4.

Answer

$$0,5(0-E(X))^2+0,5(2-E(X))^2$$

Answer

$$0{,}28$$

Answer

$$0{,}30$$

Answer

Ils sont indépendants, car $$0{,}18=0{,}6\times0{,}3$$.

Answer

L’intersection $$A\cap B$$ et des probabilités conditionnelles.

Answer

Non, car le premier résultat modifie les probabilités du second.

Answer

$$0{,}04$$

Answer

Un schéma de Bernoulli

Answer

$$\binom{4}{1}(0{,}2)^1(0{,}8)^3$$

Answer

La probabilité d’obtenir au plus deux défauts

Answer

Une fonction de $$\mathbb{N}$$ dans $$\mathbb{R}$$ qui associe $$u_n$$ à chaque rang $$n$$

Answer

Une définition par récurrence, avec calcul de proche en proche

Answer

Strictement décroissante

Answer

Une suite arithmétique de raison $$-3$$

Answer

Une suite géométrique de raison $$5$$

Answer

Chaque terme est inférieur ou égal à ce réel.

Answer

Vérifier au rang 3, prouver le passage de $$k$$ à $$k+1$$, puis conclure pour tout $$n\geq 3$$.

Answer

Pour tout réel $$A$$, les termes sont au moins égaux à $$A$$ à partir d’un certain rang.

Answer

Elle tend vers $$+\infty$$.

Answer

Tout intervalle ouvert contenant $$l$$ contient tous les termes à partir d’un certain rang.

Answer

La règle opératoire ne permet pas de conclure immédiatement; il faut transformer l’expression.

Answer

Elle tend vers $$+\infty$$.

Answer

$$q\leq -1$$

Answer

Elle converge.

Answer

Elle est décroissante et minorée par 1.

Answer

Sa dérivée est elle-même : $$\exp'(x)=\exp(x)$$.

Answer

$$u'(x)e^{u(x)}$$

Answer

Pour $$x>0$$

Answer

$$y=\ln(7)$$

Answer

$$\frac{1}{2}\ln(a)$$

Answer

Déterminer où les deux arguments sont positifs, puis résoudre $$x-1=5-x$$ sur cet ensemble

Question 5

5. Une variable aléatoire X prend les valeurs 0 et 2 avec des probabilités égales. Quelle expression donne sa variance ?

0,5|0-E(X)|+0,5|2-E(X)|

0,5(0^2)+0,5(2^2)

\sqrt{0,5(0-E(X))^2+0,5(2-E(X))^2}

0,5(0-E(X))^2+0,5(2-E(X))^2

Explication

La variance est la moyenne pondérée des carrés des écarts à l’espérance, d’où $V(X)=0,5(0-E(X))^2+0,5(2-E(X))^2$ . Les écarts absolus ne sont pas mis au carré, la racine carrée donne l’écart-type, et les carrés des valeurs ne remplacent pas les écarts à l’espérance.

Question 6

6. Dans une expérience, $P(A)=0{,}4$ et $P_A(B)=0{,}7$ . Quelle est la valeur de $P(A\cap B)$ ?

0{,}28

0{,}70

1{,}10

0{,}42

Explication

La relation $P(A\cap B)=P(A)P_A(B)$ donne $0{,}4\times0{,}7=0{,}28$ . La valeur $0{,}42$ utilise le complément de $P(A)$ , $0{,}70$ omet le facteur $P(A)$ et $1{,}10$ résulte d’une addition.

Question 7

7. Les événements $A_1$ et $A_2$ forment une partition de l’univers, avec $P(A_1\cap B)=0{,}18$ et $P(A_2\cap B)=0{,}12$ . Quelle est la valeur de $P(B)$ ?

0{,}18

0{,}06

0{,}0216

0{,}30

Explication

Pour une partition, la formule des probabilités totales donne $P(B)=P(A_1\cap B)+P(A_2\cap B)=0{,}18+0{,}12=0{,}30$ . $0{,}06$ vient d’une soustraction, $0{,}0216$ d’un produit et $0{,}18$ oublie une partie de la partition.

Question 8

8. On sait que $P(A)=0{,}6$ , $P(B)=0{,}3$ et $P(A\cap B)=0{,}18$ . Que peut-on conclure sur A et B ?

Ils sont indépendants, car

0{,}18=0{,}6\times0{,}3

.

Ils sont incompatibles, car leur intersection vaut

0{,}18

.

Ils ne sont pas indépendants, car

0{,}18\ne0{,}3

.

Ils sont complémentaires, car leurs probabilités totalisent

0{,}9

.

Explication

Deux événements sont indépendants lorsque $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ , et ici $0{,}6\times0{,}3=0{,}18$ . L’incompatibilité exigerait une intersection de probabilité nulle, la complémentarité une somme égale à un, et l’égalité à $P(B)$ n’est pas le critère d’indépendance.

Question 9

9. Un arbre représente une expérience en deux étapes : le premier résultat est A, puis le second est B. Que représente le chemin qui passe par A puis par B, et que désignent les probabilités inscrites sur les branches du second niveau ?

L’intersection

A\cap B

et des probabilités conditionnelles.

L’événement B seul et des probabilités marginales.

L’union

A\cup B

et des probabilités marginales.

L’événement A seul et des probabilités conditionnelles.

Explication

Un chemin passant par A puis B correspond à l’intersection $A\cap B$ , tandis que les branches du second niveau portent des probabilités conditionnelles. L’union, l’événement B seul et l’événement A seul ne décrivent pas ce chemin complet.

Question 10

10. Une boîte contient des jetons de deux couleurs. On en tire deux successivement sans remise : le premier jeton retiré modifie la composition de la boîte avant le second tirage. Les deux tirages sont-ils indépendants ?

Non, car des résultats successifs ne peuvent pas être indépendants.

Oui, car les deux tirages ont lieu au cours de la même expérience.

Oui, car chaque tirage offre des résultats de deux couleurs.

Non, car le premier résultat modifie les probabilités du second.

Explication

Des épreuves successives sont indépendantes lorsque le résultat de la première n’influe pas sur celui de la seconde; sans remise, la composition change et les probabilités du second tirage sont modifiées. Assimiler le cas à un tirage avec remise ou invoquer le seul nombre de couleurs ne répond pas à ce critère, et une succession peut aussi être indépendante.

Question 11

11. Trois épreuves indépendantes ont des probabilités respectives $0{,}5$ , $0{,}4$ et $0{,}2$ pour les résultats observés. Quelle est la probabilité que ces trois résultats surviennent ensemble ?

0{,}04

0{,}20

0{,}0133

1{,}10

Explication

Pour des épreuves indépendantes, la probabilité de l’issue conjointe est le produit des probabilités : $0{,}5\times0{,}4\times0{,}2=0{,}04$ . $1{,}10$ provient d’une addition, $0{,}20$ omet un facteur et $0{,}0133$ divise à tort le produit par le nombre d’épreuves.

Question 12

12. On modélise le résultat d’un tirage par « succès » si la carte est rouge et par « échec » si elle est noire. Combien d’issues cette épreuve comporte-t-elle ?

Quatre

Une seule

Deux

Trois

Explication

Une épreuve de Bernoulli possède deux issues, désignées ici comme succès et échec. Trois issues ajoute une catégorie, une seule supprime l’alternative, et quatre confond les résultats détaillés avec les deux catégories du modèle.

Question 13

13. Une expérience suit une loi de Bernoulli de paramètre $p=0{,}3$ . Quelle est la probabilité de l’échec ?

1

0{,}7

0{,}3

0{,}6

Explication

Dans une loi de Bernoulli, le succès a pour probabilité $p$ et l’échec $1-p$ ; ainsi, $1-0{,}3=0{,}7$ . $0{,}3$ attribue au contraire à l’échec la probabilité du succès, tandis que $0{,}6$ double le paramètre et $1$ est la somme des probabilités des deux issues.

Question 14

14. Une technicienne répète cinq fois le même test à deux issues, et les résultats des tests sont indépendants. Quel modèle décrit cette succession ?

Une épreuve de Bernoulli isolée

Un schéma de Bernoulli

Une suite d’épreuves non identiques

Une loi binomiale directement définie par les issues

Explication

La répétition d’épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes constitue un schéma de Bernoulli. Des épreuves non identiques omettent la condition d’identité, une répétition dépendante omet l’indépendance, et une épreuve isolée ne rend pas compte des cinq tests.

Question 15

15. Une variable $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=4$ et $p=0{,}2$ . Quelle expression donne $P(X=1)$ ?

(0{,}2)^1(0{,}8)^3

\binom{4}{1}(0{,}8)^1(0{,}2)^3

\binom{4}{1}(0{,}2)^3(0{,}8)^1

\binom{4}{1}(0{,}2)^1(0{,}8)^3

Explication

Pour obtenir exactement un succès, la formule binomiale donne $\binom{4}{1}(0{,}2)^1(1-0{,}2)^3=\binom{4}{1}(0{,}2)(0{,}8)^3$ . L’expression sans coefficient omet le nombre de chemins, l’inversion des exposants échange succès et échecs, et l’emploi de $0{,}8$ comme probabilité de succès inverse le paramètre.

Question 16

16. Le nombre $X$ de défauts observés dans un lot prend des valeurs entières. Quelle quantité représente la probabilité cumulée croissante au rang $k=2$ ?

La probabilité d’obtenir au plus deux défauts

La probabilité d’obtenir exactement deux défauts

La somme des probabilités de un à deux défauts

La probabilité d’obtenir au moins deux défauts

Explication

La probabilité cumulée croissante est $P(X\leq k)$ , donc ici elle additionne les probabilités de zéro, un ou deux défauts. « Exactement deux » ne retient qu’une valeur, « au moins deux » décrit l’autre sens de cumul, et la somme de un à deux omet la valeur zéro.

Question 17

17. Pour une variable entière $X$ , les probabilités cumulées valent $P(X\leq 2)=0{,}62$ et $P(X\leq 3)=0{,}81$ . Quel est le plus petit entier $k$ pour lequel la probabilité cumulée atteint le seuil $\alpha=0{,}75$ ?

2

Le rang où

P(X=k)=0{,}75

3

4

Explication

Il faut choisir le plus petit entier dont la probabilité cumulée est au moins $0{,}75$ : le rang 2 donne $0{,}62$ , tandis que le rang 3 donne $0{,}81$ , donc $k=3$ . Le rang 2 n’atteint pas le seuil, le rang 4 n’est pas le plus petit, et rechercher une probabilité ponctuelle remplace le cumul par une autre quantité.

Question 18

18. Comment peut-on définir une suite numérique et le terme associé au rang $n$ ?

Une fonction de

\mathbb{R}

dans

\mathbb{N}

qui associe

u_n

à chaque rang

n

Une fonction de

\mathbb{N}

dans

\mathbb{R}

qui associe

u_n

à chaque rang

n

Une fonction de

\mathbb{N}

dans

\mathbb{R}

où

u_n

désigne le rang du terme

Une fonction de

\mathbb{N}

dans

\mathbb{N}

qui associe

u_n

à chaque rang

n

Explication

Une suite numérique associe à chaque rang naturel $n$ un terme réel $u_n$ : c’est une fonction de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$ . L’inversion des ensembles confond domaine et arrivée, le rang pris pour le terme inverse les notations, et des termes naturels restreignent à tort l’ensemble d’arrivée.

Question 19

19. Une suite est donnée par $u_0=4$ et $u_{n+1}=2u_n+1$ . Quel mode de définition est utilisé, et comment calcule-t-on ses termes ?

Une définition par récurrence, avec calcul direct à chaque rang

Une définition explicite, avec calcul direct à chaque rang

Une définition explicite, avec calcul de proche en proche

Une définition par récurrence, avec calcul de proche en proche

Explication

La donnée d’un premier terme et d’une relation reliant deux termes successifs caractérise une définition par récurrence ; on calcule alors les termes de proche en proche. Le calcul direct à chaque rang correspond à une expression explicite, tandis que la valeur initiale seule ne constitue pas une telle expression.

Question 20

20. Pour une suite, on établit que $u_{n+1}-u_n<0$ pour tout rang $n$ . Quel est son sens de variation ?

Monotone sans sens strict déterminé

Strictement décroissante

Constante

Strictement croissante

Explication

Une différence $u_{n+1}-u_n$ négative à chaque rang signifie que $u_{n+1}<u_n$ , donc la suite est strictement décroissante. Une différence positive indiquerait une croissance stricte, une différence nulle une suite constante, et le signe des termes n’est pas le critère utilisé ici.

Question 21

21. Une suite évolue selon la règle $u_{n+1}=u_n-3$ à chaque rang. De quel type de suite s’agit-il et quelle est sa raison ?

Une suite arithmétique de raison

3

Une suite arithmétique de raison

-3

Une suite géométrique de raison

-3

Une suite géométrique de raison

3

Explication

Une suite arithmétique vérifie $u_{n+1}=u_n+r$ ; ici, le nombre ajouté est $-3$ , donc la raison vaut $-3$ . Une multiplication caractériserait une suite géométrique, tandis que $3$ inverse le signe de l’écart.

Question 22

22. Une suite vérifie $u_{n+1}=5u_n$ pour chaque rang. Quelle description correspond à cette règle ?

Une suite géométrique de raison

-5

Une suite géométrique de raison

5

Une suite arithmétique de raison

-5

Une suite arithmétique de raison

5

Explication

Une suite géométrique est définie par $u_{n+1}=q u_n$ ; le facteur multiplicatif ici est $q=5$ . L’ajout d’une constante caractériserait une suite arithmétique, et la règle ne comporte pas de facteur $-5$ .

Question 23

23. Pour affirmer qu’une suite est majorée, quelle condition doit satisfaire un réel associé à tous ses termes ?

Chaque terme est supérieur ou égal à ce réel.

Chaque terme est inférieur ou égal à ce réel à partir d’un certain rang.

Ce réel est atteint par au moins un terme de la suite.

Chaque terme est inférieur ou égal à ce réel.

Explication

Un majorant est un réel qui est supérieur ou égal à chaque terme de la suite, quel que soit le rang. La condition « supérieur ou égal » confond majoration et minoration, tandis qu’un terme atteint ou une condition valable seulement à partir d’un rang ne suffit pas à établir la définition.

Question 24

24. Une suite est croissante et son premier terme vaut $u_0=-4$ . Quelle borne inférieure peut-on garantir à partir de ces seules informations ?

-4

Une borne inférieure égale à

u_1

Une borne supérieure égale à

-4

Aucune borne inférieure ne peut être garantie

Explication

Dans une suite croissante, chaque terme est supérieur ou égal au premier terme, donc $u_0=-4$ est une borne inférieure. La borne supérieure égale à $u_0$ relève de la propriété des suites décroissantes; $u_1$ n’est pas garanti inférieur à tous les termes, et la croissance fournit bien une borne inférieure.

Question 25

25. Pour démontrer qu’une proposition est vraie pour tout entier $n\geq 3$ par récurrence, quelle démarche convient ?

Vérifier les rangs 3 et 4, puis conclure que la proposition vaut pour tout

n\geq 3

.

Vérifier au rang 3, prouver le passage de

k

à

k+1

, puis conclure pour tout

n\geq 3

.

Vérifier au rang 3, prouver le passage de

k+1

à

k

, puis conclure pour tout

n\geq 3

.

Vérifier au rang 0, prouver le passage de

k

à

k+1

, puis conclure pour tout

n\geq 3

.

Explication

La récurrence exige une initialisation au rang de départ, ici 3, puis l’hérédité du rang $k$ au rang $k+1$ ; ces deux étapes autorisent la conclusion pour tous les rangs à partir de 3. Commencer au rang 0 change l’initialisation, vérifier quelques cas ne prouve pas l’hérédité, et le passage inverse n’est pas celui requis.

Question 26

26. Pour une suite $(u_n)$ , quelle condition caractérise le fait que sa limite soit $+\infty$ ?

Pour tout réel

A

, un terme au moins est supérieur ou égal à

A

.

Pour tout réel

A

, les termes sont au plus égaux à

A

à partir d’un certain rang.

Il existe un réel

A

tel que les termes se rapprochent de

A

à partir d’un certain rang.

Pour tout réel

A

, les termes sont au moins égaux à

A

à partir d’un certain rang.

Explication

Une suite tend vers $+\infty$ si, pour chaque seuil réel $A$ , tous ses termes à partir d’un certain rang sont supérieurs ou égaux à ce seuil. L’inégalité inversée correspond à une condition de type $-\infty$ , tandis qu’un seul terme ne suffit pas à établir une limite.

Question 27

27. Une suite est croissante et ses termes ne sont majorés par aucun réel. Quelle conclusion peut-on en tirer sur sa limite ?

Elle converge vers un réel fini.

Elle tend vers

+\infty

.

Elle n’a pas de limite.

Elle tend vers

-\infty

.

Explication

Toute suite croissante et non majorée diverge vers $+\infty$ . La croissance ne garantit pas une limite finie, et la règle établit ici précisément la divergence vers $+\infty$ .

Question 28

28. Une suite $(u_n)$ converge vers le réel $l$ . Quelle affirmation traduit cette convergence ?

Tout intervalle ouvert contenant

l

contient tous les termes à partir d’un certain rang.

Tout intervalle ouvert ne contenant pas

l

contient tous les termes à partir d’un certain rang.

Un intervalle ouvert contenant

l

contient au moins un terme de la suite.

À partir d’un certain rang, tous les termes sont égaux à

l

.

Explication

La convergence vers $l$ signifie que, quel que soit l’intervalle ouvert contenant $l$ , tous les termes de la suite finissent par appartenir à cet intervalle. La suite n’a pas besoin d’être égale à $l$ , et la propriété porte sur tous les termes à partir d’un rang.

Question 29

29. Pour un réel fixé $k$ et un entier naturel non nul $p$ , quelle est la limite de la suite de terme général $\frac{k}{n^p}$ ?

0

Elle n’a pas de limite.

k

+\infty

si

k>0

et

-\infty

si

k<0

Explication

Pour tout réel $k$ et tout entier naturel non nul $p$ , $\frac{k}{n^p}$ tend vers zéro lorsque $n$ tend vers l’infini. Le signe de $k$ ne change pas cette limite, et la croissance de $n^p$ fait tendre le quotient vers zéro.

Question 30

30. Les limites de deux suites permettent de prévoir celle de leur somme, mais le tableau indique une forme indéterminée dans le cas rencontré. Que faut-il en conclure ?

La somme tend vers zéro, car les contributions se compensent nécessairement.

La somme a nécessairement une limite infinie déterminée par les limites des deux suites.

La règle opératoire ne permet pas de conclure immédiatement; il faut transformer l’expression.

La somme n’a pas de limite, puisque les limites des suites se contredisent.

Explication

Les opérations sur les limites permettent de conclure sauf dans les cas de forme indéterminée; il faut alors changer l’écriture pour lever l’indétermination. Une forme indéterminée ne fixe pas le résultat et n’implique pas que la somme n’ait pas de limite.

Question 31

31. Deux suites vérifient $u_n\to 4$ et $v_n\to -7$ . Vers quelle limite tend leur somme $u_n+v_n$ ?

4

-3

-28

3

Explication

La limite d’une somme est la somme des limites : $4+(-7)=-3$ . Le produit donnerait $-28$ , tandis que $3$ vient d’une soustraction dans l’ordre inverse.

Question 32

32. Une suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$ , et à partir d’un certain rang une autre suite vérifie $u_n\leq v_n$ . Quelle conclusion s’impose pour $(v_n)$ ?

Elle tend vers

+\infty

.

Elle converge vers un réel fini.

On ne peut rien conclure de cette comparaison.

Elle tend vers

-\infty

.

Explication

Si $u_n\to+\infty$ et $u_n\leq v_n$ à partir d’un certain rang, alors $v_n\to+\infty$ également : ses termes sont au moins aussi grands que ceux de $u_n$ . Une suite située au-dessus d’une suite qui tend vers $+\infty$ ne peut ainsi être conclue convergente vers un réel fini.

Question 33

33. Pour quelle valeur de la raison $q$ la suite $(q^n)$ n’a-t-elle pas de limite ?

q\leq -1

q=1

q>1

-1<q<0

Explication

La suite $(q^n)$ n’a pas de limite lorsque $q\leq-1$ , tandis qu’elle tend vers 0 pour $-1<q<1$ , vaut 1 pour $q=1$ et tend vers $+\infty$ pour $q>1$ . L’intervalle $-1<q<0$ relève donc de la convergence vers 0 ; $q=1$ donne une suite constante et $q>1$ une suite divergente vers l’infini.

Question 34

34. Une suite est croissante et tous ses termes sont inférieurs ou égaux à 8. Que peut-on conclure sur cette suite ?

Elle converge.

Elle est minorée et converge vers

-\infty

.

On ne peut conclure que si elle est décroissante.

Elle diverge vers

+\infty

.

Explication

Toute suite croissante et majorée est convergente : les hypothèses sont ici satisfaites puisque la suite est croissante et majorée par 8. Une suite croissante ne diverge pas nécessairement vers $+\infty$ ; la minoration et la décroissance ne sont pas les conditions du théorème appliqué.

Question 35

35. Une suite vérifie, pour tout entier naturel $n$ , $1\leq u_{n+1}\leq u_n$ . Quel raisonnement permet d’établir sa convergence ?

Elle est croissante et majorée par 1.

Elle est décroissante et majorée par 1.

Elle est croissante et minorée par 1.

Elle est décroissante et minorée par 1.

Explication

L’inégalité $u_{n+1}\leq u_n$ établit que la suite est décroissante, et $u_{n+1}\geq1$ la minore par 1 ; le théorème de convergence monotone garantit alors sa convergence. Une minoration seule ne suffit pas, et les qualifications de croissance ou de majoration par 1 inversent les informations fournies.

Question 36

36. Quelle propriété caractérise la dérivée de la fonction exponentielle réelle ?

Sa dérivée est elle-même :

\exp'(x)=\exp(x)

.

Sa dérivée est

x\exp(x)

.

Sa dérivée est son opposée :

\exp'(x)=-\exp(x)

.

Sa dérivée est

1/x

.

Explication

La fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb R$ et vérifie $\exp'(x)=\exp(x)$ ; elle est également strictement positive et $e^0=1$ . L’opposé et $x\exp(x)$ ne sont pas sa dérivée, tandis que $1/x$ est la dérivée du logarithme népérien sur son domaine.

Question 37

37. Pour une fonction dérivable $u$ , quelle expression donne la dérivée de $e^{u(x)}$ ?

u'(x)e^{u(x)}

e^{u(x)}

u'(x)+e^{u(x)}

u(x)e^{u(x)}

Explication

La règle de dérivation d’une exponentielle composée est $\left(e^u\right)'=u'e^u$ : il faut multiplier l’exponentielle par la dérivée de la fonction intérieure. $e^u$ omet ce facteur, $ue^u$ utilise la fonction plutôt que sa dérivée, et l’addition ne correspond pas à la règle.

Question 38

38. Deux nombres réels $a$ et $b$ vérifient $e^a<e^b$ . Quelle relation s’ensuit entre les exposants ?

On ne peut pas comparer

a

et

b

.

a=b

a>b

a<b

Explication

Comme la fonction exponentielle est strictement croissante, elle conserve l’ordre : $e^a<e^b$ équivaut à $a<b$ . La relation $a>b$ inverse cet ordre, l’égalité des exposants donnerait des exponentielles égales, et la stricte croissance permet bien de comparer les exposants.

Question 39

39. Pour quel ensemble de valeurs de $x$ le logarithme népérien $\ln(x)$ est-il défini ?

Pour

x\ne 0

Pour tout

x\in\mathbb{R}

Pour

x>0

Pour

x\geq 1

Explication

Le logarithme népérien est défini sur $]0;+\infty[$ , alors que l’exponentielle est définie sur $\mathbb{R}$ . Le domaine réel entier confond ces deux fonctions, les valeurs négatives non nulles sont hors domaine, et les nombres positifs inférieurs à 1 sont admis.

Question 40

40. Un nombre réel $y$ vérifie $e^y=7$ . Quelle égalité en découle pour le logarithme népérien ?

y=\ln(7)

7=\ln(y)

y=\ln(7e)

y=-\ln(7)

Explication

Par définition, pour $x>0$ , $y=\ln(x)$ équivaut à $e^y=x$ ; ainsi $e^y=7$ donne $y=\ln(7)$ . L’égalité $7=\ln(y)$ inverse les rôles, l’opposé change le signe sans raison, et $\ln(7e)$ introduit un facteur supplémentaire.

Question 41

41. Pour $a>0$ , quelle expression est égale à $\ln(\sqrt{a})$ ?

\ln(a)+\ln(2)

\frac{1}{2}\ln(a)

2\ln(a)

-\ln(a)

Explication

La règle $\ln(x^n)=n\ln(x)$ appliquée à $\sqrt{a}=a^{1/2}$ donne $\ln(\sqrt{a})=\frac12\ln(a)$ . Le facteur 2 correspondrait à $a^2$ , le signe négatif à l’inverse, et le terme $\ln(2)$ ne découle pas de la racine.

Question 42

42. Pour résoudre $\ln(x-1)=\ln(5-x)$ , quelle démarche faut-il suivre ?

Résoudre

x-1=5-x

sur tous les réels, puis vérifier les logarithmes

Résoudre

x-1<5-x

après avoir supposé les arguments positifs

Déterminer où les deux arguments sont positifs, puis résoudre

x-1=5-x

sur cet ensemble

Déterminer où les deux arguments sont négatifs, puis résoudre

x-1=5-x

Explication

Il faut d’abord imposer $x-1>0$ et $5-x>0$ , puis utiliser l’injectivité du logarithme pour résoudre l’égalité des arguments sur le domaine commun. Résoudre sans domaine peut retenir une valeur inadmissible, l’inégalité ne répond pas à l’équation, et des arguments négatifs ne sont pas dans le domaine de $\ln$ .

QCM : Limites et convergence des suites (42 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Deux points distincts A et B ont des abscisses différentes. Quelle forme peut prendre l’équation réduite de la droite qui les relie ?

2. Une expérience aléatoire a pour issues un résultat rouge, un résultat bleu ou un résultat vert. Une variable aléatoire discrète associe à chacune de ces issues quoi ?

3. Dans un jeu, une variable aléatoire peut prendre les valeurs 0, 1 et 4. Quel renseignement constitue sa loi de probabilité ?

4. Une variable aléatoire X prend les valeurs 1 et 5 avec des probabilités respectives de 0,75 et 0,25. Quelle est son espérance ?

5. Une variable aléatoire X prend les valeurs 0 et 2 avec des probabilités égales. Quelle expression donne sa variance ?

6. Dans une expérience, P(A)=0,4P(A)=0{,}4P(A)=0,4 et PA(B)=0,7P_A(B)=0{,}7PA​(B)=0,7. Quelle est la valeur de P(A∩B)P(A\cap B)P(A∩B) ?

7. Les événements A1A_1A1​ et A2A_2A2​ forment une partition de l’univers, avec P(A1∩B)=0,18P(A_1\cap B)=0{,}18P(A1​∩B)=0,18 et P(A2∩B)=0,12P(A_2\cap B)=0{,}12P(A2​∩B)=0,12. Quelle est la valeur de P(B)P(B)P(B) ?

8. On sait que P(A)=0,6P(A)=0{,}6P(A)=0,6, P(B)=0,3P(B)=0{,}3P(B)=0,3 et P(A∩B)=0,18P(A\cap B)=0{,}18P(A∩B)=0,18. Que peut-on conclure sur A et B ?

9. Un arbre représente une expérience en deux étapes : le premier résultat est A, puis le second est B. Que représente le chemin qui passe par A puis par B, et que désignent les probabilités inscrites sur les branches du second niveau ?

10. Une boîte contient des jetons de deux couleurs. On en tire deux successivement sans remise : le premier jeton retiré modifie la composition de la boîte avant le second tirage. Les deux tirages sont-ils indépendants ?

11. Trois épreuves indépendantes ont des probabilités respectives 0,50{,}50,5, 0,40{,}40,4 et 0,20{,}20,2 pour les résultats observés. Quelle est la probabilité que ces trois résultats surviennent ensemble ?

12. On modélise le résultat d’un tirage par « succès » si la carte est rouge et par « échec » si elle est noire. Combien d’issues cette épreuve comporte-t-elle ?

13. Une expérience suit une loi de Bernoulli de paramètre p=0,3p=0{,}3p=0,3. Quelle est la probabilité de l’échec ?

14. Une technicienne répète cinq fois le même test à deux issues, et les résultats des tests sont indépendants. Quel modèle décrit cette succession ?

15. Une variable XXX suit une loi binomiale de paramètres n=4n=4n=4 et p=0,2p=0{,}2p=0,2. Quelle expression donne P(X=1)P(X=1)P(X=1) ?

16. Le nombre XXX de défauts observés dans un lot prend des valeurs entières. Quelle quantité représente la probabilité cumulée croissante au rang k=2k=2k=2 ?

17. Pour une variable entière XXX, les probabilités cumulées valent P(X≤2)=0,62P(X\leq 2)=0{,}62P(X≤2)=0,62 et P(X≤3)=0,81P(X\leq 3)=0{,}81P(X≤3)=0,81. Quel est le plus petit entier kkk pour lequel la probabilité cumulée atteint le seuil α=0,75\alpha=0{,}75α=0,75 ?

18. Comment peut-on définir une suite numérique et le terme associé au rang nnn ?

19. Une suite est donnée par u0=4u_0=4u0​=4 et un+1=2un+1u_{n+1}=2u_n+1un+1​=2un​+1. Quel mode de définition est utilisé, et comment calcule-t-on ses termes ?

20. Pour une suite, on établit que un+1−un<0u_{n+1}-u_n<0un+1​−un​<0 pour tout rang nnn. Quel est son sens de variation ?

21. Une suite évolue selon la règle un+1=un−3u_{n+1}=u_n-3un+1​=un​−3 à chaque rang. De quel type de suite s’agit-il et quelle est sa raison ?

22. Une suite vérifie un+1=5unu_{n+1}=5u_nun+1​=5un​ pour chaque rang. Quelle description correspond à cette règle ?

23. Pour affirmer qu’une suite est majorée, quelle condition doit satisfaire un réel associé à tous ses termes ?

24. Une suite est croissante et son premier terme vaut u0=−4u_0=-4u0​=−4. Quelle borne inférieure peut-on garantir à partir de ces seules informations ?

25. Pour démontrer qu’une proposition est vraie pour tout entier n≥3n\geq 3n≥3 par récurrence, quelle démarche convient ?

26. Pour une suite (un)(u_n)(un​), quelle condition caractérise le fait que sa limite soit +∞+\infty+∞ ?

27. Une suite est croissante et ses termes ne sont majorés par aucun réel. Quelle conclusion peut-on en tirer sur sa limite ?

28. Une suite (un)(u_n)(un​) converge vers le réel lll. Quelle affirmation traduit cette convergence ?

29. Pour un réel fixé kkk et un entier naturel non nul ppp, quelle est la limite de la suite de terme général knp\frac{k}{n^p}npk​ ?

30. Les limites de deux suites permettent de prévoir celle de leur somme, mais le tableau indique une forme indéterminée dans le cas rencontré. Que faut-il en conclure ?

31. Deux suites vérifient un→4u_n\to 4un​→4 et vn→−7v_n\to -7vn​→−7. Vers quelle limite tend leur somme un+vnu_n+v_nun​+vn​ ?

32. Une suite (un)(u_n)(un​) tend vers +∞+\infty+∞, et à partir d’un certain rang une autre suite vérifie un≤vnu_n\leq v_nun​≤vn​. Quelle conclusion s’impose pour (vn)(v_n)(vn​) ?

33. Pour quelle valeur de la raison qqq la suite (qn) (q^n) (qn) n’a-t-elle pas de limite ?

34. Une suite est croissante et tous ses termes sont inférieurs ou égaux à 8. Que peut-on conclure sur cette suite ?

35. Une suite vérifie, pour tout entier naturel nnn, 1≤un+1≤un1\leq u_{n+1}\leq u_n1≤un+1​≤un​. Quel raisonnement permet d’établir sa convergence ?

36. Quelle propriété caractérise la dérivée de la fonction exponentielle réelle ?

37. Pour une fonction dérivable uuu, quelle expression donne la dérivée de eu(x)e^{u(x)}eu(x) ?

38. Deux nombres réels aaa et bbb vérifient ea<ebe^a<e^bea<eb. Quelle relation s’ensuit entre les exposants ?

39. Pour quel ensemble de valeurs de xxx le logarithme népérien ln⁡(x)\ln(x)ln(x) est-il défini ?

40. Un nombre réel yyy vérifie ey=7e^y=7ey=7. Quelle égalité en découle pour le logarithme népérien ?

41. Pour a>0a>0a>0, quelle expression est égale à ln⁡(a)\ln(\sqrt{a})ln(a​) ?

42. Pour résoudre ln⁡(x−1)=ln⁡(5−x)\ln(x-1)=\ln(5-x)ln(x−1)=ln(5−x), quelle démarche faut-il suivre ?

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6. Dans une expérience, $P(A)=0{,}4$ et $P_A(B)=0{,}7$ . Quelle est la valeur de $P(A\cap B)$ ?

7. Les événements $A_1$ et $A_2$ forment une partition de l’univers, avec $P(A_1\cap B)=0{,}18$ et $P(A_2\cap B)=0{,}12$ . Quelle est la valeur de $P(B)$ ?

8. On sait que $P(A)=0{,}6$ , $P(B)=0{,}3$ et $P(A\cap B)=0{,}18$ . Que peut-on conclure sur A et B ?

11. Trois épreuves indépendantes ont des probabilités respectives $0{,}5$ , $0{,}4$ et $0{,}2$ pour les résultats observés. Quelle est la probabilité que ces trois résultats surviennent ensemble ?

13. Une expérience suit une loi de Bernoulli de paramètre $p=0{,}3$ . Quelle est la probabilité de l’échec ?

15. Une variable $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=4$ et $p=0{,}2$ . Quelle expression donne $P(X=1)$ ?

16. Le nombre $X$ de défauts observés dans un lot prend des valeurs entières. Quelle quantité représente la probabilité cumulée croissante au rang $k=2$ ?

17. Pour une variable entière $X$ , les probabilités cumulées valent $P(X\leq 2)=0{,}62$ et $P(X\leq 3)=0{,}81$ . Quel est le plus petit entier $k$ pour lequel la probabilité cumulée atteint le seuil $\alpha=0{,}75$ ?

18. Comment peut-on définir une suite numérique et le terme associé au rang $n$ ?

19. Une suite est donnée par $u_0=4$ et $u_{n+1}=2u_n+1$ . Quel mode de définition est utilisé, et comment calcule-t-on ses termes ?

20. Pour une suite, on établit que $u_{n+1}-u_n<0$ pour tout rang $n$ . Quel est son sens de variation ?

21. Une suite évolue selon la règle $u_{n+1}=u_n-3$ à chaque rang. De quel type de suite s’agit-il et quelle est sa raison ?

22. Une suite vérifie $u_{n+1}=5u_n$ pour chaque rang. Quelle description correspond à cette règle ?

24. Une suite est croissante et son premier terme vaut $u_0=-4$ . Quelle borne inférieure peut-on garantir à partir de ces seules informations ?

25. Pour démontrer qu’une proposition est vraie pour tout entier $n\geq 3$ par récurrence, quelle démarche convient ?

26. Pour une suite $(u_n)$ , quelle condition caractérise le fait que sa limite soit $+\infty$ ?

28. Une suite $(u_n)$ converge vers le réel $l$ . Quelle affirmation traduit cette convergence ?

29. Pour un réel fixé $k$ et un entier naturel non nul $p$ , quelle est la limite de la suite de terme général $\frac{k}{n^p}$ ?

31. Deux suites vérifient $u_n\to 4$ et $v_n\to -7$ . Vers quelle limite tend leur somme $u_n+v_n$ ?

32. Une suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$ , et à partir d’un certain rang une autre suite vérifie $u_n\leq v_n$ . Quelle conclusion s’impose pour $(v_n)$ ?

33. Pour quelle valeur de la raison $q$ la suite $(q^n)$ n’a-t-elle pas de limite ?

35. Une suite vérifie, pour tout entier naturel $n$ , $1\leq u_{n+1}\leq u_n$ . Quel raisonnement permet d’établir sa convergence ?

37. Pour une fonction dérivable $u$ , quelle expression donne la dérivée de $e^{u(x)}$ ?

38. Deux nombres réels $a$ et $b$ vérifient $e^a<e^b$ . Quelle relation s’ensuit entre les exposants ?

39. Pour quel ensemble de valeurs de $x$ le logarithme népérien $\ln(x)$ est-il défini ?

40. Un nombre réel $y$ vérifie $e^y=7$ . Quelle égalité en découle pour le logarithme népérien ?

41. Pour $a>0$ , quelle expression est égale à $\ln(\sqrt{a})$ ?

42. Pour résoudre $\ln(x-1)=\ln(5-x)$ , quelle démarche faut-il suivre ?