Flashcards : Limites et convergence des suites (92 cartes)

Qu'associe une variable aléatoire discrète à chaque issue de l’univers $\Omega$ ?

À quoi associe la loi de probabilité d’une variable aléatoire chaque valeur prise ?

Quelle formule donne l’espérance d’une variable aléatoire prenant les valeurs $x_i$ avec les probabilités $p_i$ ?

Quelle formule donne la variance d’une variable aléatoire de loi $(x_i,p_i)$ ?

Comment calculer la probabilité de B sachant A si P(A) ≠ 0 ?

Comment exprimer P(A∩B) à l’aide de P(A) et P_A(B) ?

Quelle formule donne P(B) lorsqu'A₁, …, Aₙ forment une partition de Ω ?

Quelle égalité caractérise l’indépendance de deux événements A et B ?

Si P(A) ≠ 0, quelle égalité équivaut à l’indépendance de A et B ?

Dans un arbre pondéré, que représente un chemin ?

Quand deux épreuves successives sont-elles indépendantes ?

Quelle est la probabilité de l’issue $(x_1,\ldots,x_n)$ pour $n$ épreuves indépendantes ?

Quelles sont les deux issues d’une épreuve de Bernoulli ?

Quel est le paramètre d’une loi de Bernoulli attribuant au succès la probabilité p ?

Qu’est-ce qu’un schéma de Bernoulli ?

Que compte une variable aléatoire suivant une loi binomiale ?

Que représente la probabilité cumulée croissante $c_k$ pour une variable aléatoire $X$ ?

Quel critère détermine le plus petit entier $k$ pour un seuil $\alpha$ ?

Qu’est-ce qu’une suite numérique ?

Que permet une définition explicite d’une suite ?

Que donne une définition par récurrence d’une suite ?

Que conclure si uₙ₊₁ − uₙ > 0 pour tout n ?

Quelle relation définit une suite arithmétique de raison $r$ ?

Quelle relation définit une suite géométrique de raison $q$ ?

Quand une suite est-elle majorée ?

Quand une suite est-elle minorée ?

Quelles sont les trois étapes d’une démonstration par récurrence à partir de n₀ ?

Que signifie qu’une suite tend vers $+\infty$ ?

Vers quoi diverge toute suite croissante et non majorée ?

Que signifie qu’une suite converge vers le réel $l$ ?

Quelle est la limite des suites $k/\sqrt{n}$, $k/n$, $k/n^2$, $ke^{-n}$ et $k/n^p$ ?

Que permettent de déduire les opérations sur les limites, hors formes indéterminées ?

Quelles sont les quatre formes indéterminées ?

Vers quelle limite tend $u_n+v_n$ si $u_n\to L$ et $v_n\to L'$ ?

Vers quelle limite tend $u_nv_n$ si $u_n\to L$ et $v_n\to L'$ ?

Quelle formule donne le terme général d’une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ ?

Vers quoi converge $q^n$ lorsque $-1<q<1$ ?

Quelle propriété assure la convergence d’une suite croissante et majorée ?

Quelle propriété assure la convergence d’une suite décroissante et minorée ?

Sur quel ensemble la fonction exponentielle est-elle définie ?

Quelle est la dérivée de la fonction exponentielle en $x$ ?

Quelle est la dérivée de $e^{u(x)}$ pour une fonction dérivable $u$ ?

Comment varie la fonction exponentielle sur $\mathbb{R}$ ?

Sur quel domaine le logarithme népérien est-il défini ?

Quelle équivalence caractérise $y=\ln(x)$ pour $x>0$ ?

Quelle formule donne $\ln(xy)$ pour $x,y>0$ ?

Quelle est la dérivée de $\ln(x)$ pour $x>0$ ?

Quelle forme réduite possède la droite passant par A et B lorsque leurs abscisses diffèrent ?

Quelle formule relie l’écart-type à la variance d’une variable aléatoire $X$ ?

Dans l’urne de 20 jetons, quelles probabilités correspondent aux valeurs 1, 2 et 3 ?

Dans l’exemple de l’urne, quelles sont l’espérance, la variance et l’écart-type ?

À quelle fréquence Abel réussit-il son premier service au tennis ?

Quelle est la probabilité qu’Abel gagne le point après avoir réussi son premier service ?

Après un jeton vert, quelles probabilités s’appliquent au second tirage sans remise ?

Combien de niveaux comporte l’arbre de $n$ épreuves indépendantes ?

À quel ensemble appartiennent les issues de $n$ épreuves de lieux $\Omega_1,\ldots,\Omega_n$ ?

Quelle est la probabilité d’une succession de n épreuves indépendantes où une issue de probabilité p apparaît k fois ?

Quelle est la variance d’une variable Y de loi de Bernoulli de paramètre p ?

Quelle est la probabilité d’obtenir exactement deux As en trois tirages avec remise parmi un As et trois Valets ?

Quelle est la probabilité de deux succès en trois épreuves indépendantes de Bernoulli de paramètre p ?

Quelle relation de récurrence relie $c_k$, $c_{k-1}$ et $p_k$ ?

Quelle propriété les probabilités cumulées $c_k$ ont-elles lorsque les probabilités $p_k$ sont positives ?

Quelles conditions doit vérifier un intervalle entier $[a;b]$ de probabilité au moins $\alpha$ ?

Quelle loi modélise le nombre de cafés commandés par 45 convives, chacun ayant une probabilité 0,8 d’en prendre un ?

Quand une suite est-elle monotone ?

Quel sens de variation a (uₙ) si uₙ = f(n) et f est strictement croissante ?

Que conclure si les termes uₙ sont positifs et uₙ₊₁/uₙ > 1 ?

Quelle formule exprime $u_n$ en fonction de $u_p$ dans une suite arithmétique ?

Quelle formule exprime $u_n$ en fonction de $u_p$ dans une suite géométrique ?

Quand une suite arithmétique est-elle croissante ?

Quand une suite géométrique avec $u_0>0$ et $q\ne0$ est-elle non monotone ?

Quelle formule donne la somme des termes d’une suite arithmétique de premier terme $a$ et dernier terme $l$ ?

Quand une suite est-elle bornée ?

Par quel terme une suite croissante est-elle minorée ?

Par quel terme une suite décroissante est-elle majorée ?

Quelle formule explicite vérifie la suite définie par u₀ = 2 et uₙ₊₁ = 3uₙ − 2 ?

Quelle inégalité se démontre par récurrence à partir du rang 0 pour tout n naturel ?

Combien de limites finies une suite peut-elle avoir ?

Quelle propriété de limite partagent les suites $(-1)^n$, $\sin(n)$ et $\cos(n)$ ?

Comment peut-on lever une forme indéterminée ?

Vers quelle limite tend $u_n/v_n$ si $u_n\to L$ et $v_n\to L'\ne0$ ?

Par quoi une suite croissante convergeant vers $l$ est-elle majorée ?

Par quoi une suite décroissante convergeant vers $l$ est-elle minorée ?

Comment exprimer $e^{x+y}$ à l’aide de $e^x$ et $e^y$ ?

Comment exprimer $e^a=e^b$ en comparant les exposants ?

Quelles sont les valeurs de $\ln(1)$ et $\ln(e)$ ?

Par rapport à quelle droite les courbes de l’exponentielle et du logarithme sont-elles symétriques ?

Dans l’exemple des 45 convives, quel est le plus petit entier $a$ tel que $P(X\leq a)\geq0,9$ ?

Que peut-on dire d’un nombre supérieur à un majorant d’une suite ?

À partir de quel rang démontre-t-on par récurrence la somme 1 + 2 + ⋯ + n ?

Quelle formule donne la somme 1 + 2 + ⋯ + n pour n naturel non nul ?

À quelle étude d’une suite le raisonnement par récurrence peut-il servir lorsque les trois méthodes usuelles échouent ?