Fiche de révision : Logique Ensembles et Fonctions

📋 Plan du Cours

1. Assertions et connecteurs logiques
2. Quantificateurs et négations
3. Raisonnement par récurrence
4. Notion et éléments d’un ensemble
5. Opérations sur les ensembles
6. Ensembles de nombres
7. Fonctions et compositions
8. Injections et surjections
9. Bijections et réciproques

📖 1. Assertions et connecteurs logiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Assertion : Phrase mathématique qui peut être vraie ou fausse et qui peut dépendre d’un paramètre, comme P(x).
• Négation : Assertion vraie si P est fausse et fausse si P est vraie ; elle exprime le contraire de P.
• Conjonction : Assertion vraie si P et Q sont toutes deux vraies, et fausse sinon.
• Disjonction : Assertion vraie si au moins l’une des assertions P et Q est vraie, y compris lorsque les deux le sont.
• Implication : L’implication P ⇒ Q signifie que si P est vraie, alors Q est vraie.
• Équivalence : L’équivalence P ⇔ Q signifie que P ⇒ Q et Q ⇒ P sont toutes deux vraies ; P et Q expriment alors la même chose.

📝 Points essentiels

• Les lois de De Morgan donnent NON (P ET Q) ⇔ (NON P) OU (NON Q) et NON (P OU Q) ⇔ (NON P) ET (NON Q).

💡 Astuce mémo

ET exige deux vérités ; OU en exige au moins une, éventuellement les deux.

📖 2. Quantificateurs et négations

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantificateur existentiel : L’assertion ∃x ∈ E : P(x) est vraie s’il existe au moins un élément x de E pour lequel P(x) est vraie.
• Quantificateur universel : L’assertion ∀x ∈ E : P(x) est vraie si P(x) est vraie pour tout élément x de E.
• Existence unique : L’assertion ∃!x ∈ E : P(x) est vraie s’il existe un unique élément x de E tel que P(x) soit vraie.

📝 Points essentiels

📌 La négation de ∃x : P(x) est ∀x : NON P(x).

💡 Astuce mémo

La négation de « tout » cherche un contre-exemple ; celle de « il existe » élimine tous les cas.

📖 3. Raisonnement par récurrence

★ À maîtriser

• Pour démontrer par récurrence une assertion P(n) pour tout n ∈ N, on vérifie P(0), puis on démontre que pour tout n ∈ N, P(n) implique P(n + 1).

📌 Si P(0) est vraie et si, pour tout n ∈ N, P(n) implique P(n + 1), alors P(n) est vraie pour tout n ∈ N.

Compléments

• Si u₀ = 1 et uₙ₊₁ = 2uₙ pour tout entier n, la récurrence permet de démontrer que uₙ = 2ⁿ pour tout n ∈ N.

📖 4. Notion et éléments d’un ensemble

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble : Collection d’objets mathématiques que l’on peut définir par énumération ou par une propriété.
• Ensemble vide : Ensemble qui ne contient aucun élément.
• Inclusion : A est inclus dans B, noté A ⊂ B, si tous les éléments de A appartiennent aussi à B ; A est alors une partie de B ou un sous-ensemble de B.
• Élément : Les objets d’un ensemble A sont ses éléments ; x ∈ A signifie que x appartient à A et x ∉ A signifie que x n’y appartient pas.

📖 5. Opérations sur les ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Union : L’union A ∪ B est l’ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B, ou aux deux.
• Intersection : L’intersection A ∩ B est l’ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B.
• Complémentaire : Dans un ensemble de référence Ω, le complémentaire Aᶜ est l’ensemble des éléments de Ω qui ne sont pas dans A.
• Différence d’ensembles : A privé de B, noté A \ B, est l’ensemble des éléments de A qui ne sont pas dans B.

📝 Points essentiels

• L’union est commutative et associative, vérifie A ∪ A = A et A ∪ ∅ = A.

• L’intersection est commutative et associative, vérifie A ∩ A = A et A ∩ ∅ = ∅.

• Les opérations sont distributives : A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) et A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

• Le complémentaire vérifie A ∪ Aᶜ = Ω, A ∩ Aᶜ = ∅ et (Aᶜ)ᶜ = A.

💡 Astuce mémo

L’union rassemble les éléments de A ou B ; l’intersection garde ceux de A et B.

📖 6. Ensembles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : L’ensemble N des entiers naturels est l’ensemble des entiers positifs ou nuls : {0, 1, 2, 3, …}.
• Entiers relatifs : L’ensemble Z des entiers relatifs comprend les entiers positifs, négatifs et nuls.
• Nombres rationnels : L’ensemble Q des nombres rationnels comprend les nombres qui peuvent s’écrire comme le quotient p/q avec p ∈ Z et q ∈ Z \ {0}.
• Nombres réels : L’ensemble R des réels comprend les valeurs, positives ou négatives, que l’on peut mesurer sur une droite graduée ayant une origine 0.

📝 Points essentiels

• Une étoile retire zéro à l’ensemble indiqué, par exemple N*, Z* ou Q*.

• La diagonale d’un carré de côté 1 a pour longueur √2, qui n’appartient pas à Q.

📖 7. Fonctions et compositions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Une fonction f : A → B associe à tout élément x de A un élément f(x) de B ; A est l’ensemble de départ et B l’ensemble d’arrivée.
• Composition de fonctions : Pour f : A → B et g : B → C, la composée g ∘ f : A → C est définie par (g ∘ f)(x) = g(f(x)).
• Image : L’image de x par f est l’élément f(x) de l’ensemble d’arrivée.
• Ensemble image : L’ensemble image Im(f) = {f(x) | x ∈ A} contient les éléments de B qui sont l’image d’au moins un élément de A.

📝 Points essentiels

• Si f(x) = x + 1 et g(x) = x², alors f ∘ g(x) = x² + 1 tandis que g ∘ f(x) = (x + 1)² = x² + 2x + 1.

💡 Astuce mémo

Dans g ∘ f, appliquer d’abord f, puis g.

📖 8. Injections et surjections

🔑 Notions clés & Définitions

• Injection : Une fonction f : A → B est injective si deux éléments différents de A ont des images différentes.
• Surjection : Une fonction f : A → B est surjective si chaque élément y de B est l’image d’au moins un élément x de A.

📝 Points essentiels

📌 Une fonction f est injective si et seulement si f(x) = f(y) implique x = y pour tous x et y de A.

• La fonction sin : R → R n’est ni injective, car sin(0) = sin(π), ni surjective, car 2 n’est l’image d’aucun réel.

• La fonction g : R → R définie par g(x) = 2x + 3 est injective et surjective.

💡 Astuce mémo

Injection : des antécédents distincts ont des images distinctes ; surjection : chaque élément d’arrivée a un antécédent.

📖 9. Bijections et réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

• Bijection : Une fonction f : A → B est bijective si elle est injective et surjective ; chaque élément de B est alors l’image d’un unique élément de A.
• Bijection réciproque : Si f : A → B est bijective, sa réciproque f⁻¹ : B → A est une bijection telle que f⁻¹ ∘ f(x) = x pour tout x ∈ A.

📝 Points essentiels

• La fonction f : R → R définie par f(x) = 2x + 3 est bijective et sa réciproque est f⁻¹(x) = (x − 3)/2.

• La fonction x ↦ x² de R⁺ vers R⁺ est bijective et sa réciproque est la fonction racine carrée x ↦ √x.

📊 Tableaux de synthèse

Propriétés des fonctions