QCM : Logique Ensembles et Fonctions (24 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Concernant les assertions mathématiques :

La négation d’une assertion mathématique est vraie lorsque cette assertion est vraie.
Une assertion mathématique peut être vraie ou fausse selon le paramètre considéré.
Une assertion mathématique peut dépendre d’un paramètre, comme dans P(x).
Une assertion mathématique est une phrase susceptible d’être vraie ou fausse.
Une assertion mathématique est une phrase mathématique dont la valeur de vérité dépend du paramètre.

Une assertion mathématique peut être vraie ou fausse selon le paramètre considéré. · Une assertion mathématique peut dépendre d’un paramètre, comme dans P(x). · Une assertion mathématique est une phrase susceptible d’être vraie ou fausse.

Explication

Une assertion est une phrase mathématique susceptible d’être vraie ou fausse. Elle peut dépendre d’un paramètre, mais sa valeur de vérité n’en dépend pas nécessairement. La négation d’une assertion est vraie lorsque celle-ci est fausse, et non lorsqu’elle est vraie.

2. Parmi les propositions suivantes concernant la conjonction P ET Q, laquelle ou lesquelles sont exactes ?

P ET Q accepte qu’une seule des assertions soit vraie.
P ET Q est fausse lorsque P est fausse, quelle que soit la valeur de Q.
P ET Q est vraie lorsque P et Q sont toutes deux vraies.
P ET Q est vraie dès que l’une des assertions P et Q est vraie.
P ET Q est fausse lorsque Q est fausse, quelle que soit la valeur de P.

P ET Q est fausse lorsque P est fausse, quelle que soit la valeur de Q. · P ET Q est vraie lorsque P et Q sont toutes deux vraies. · P ET Q est fausse lorsque Q est fausse, quelle que soit la valeur de P.

Explication

La conjonction exige que P et Q soient toutes deux vraies. Elle est donc fausse dès que P est fausse ou que Q est fausse ; une seule assertion vraie ne suffit pas.

3. Dans la disjonction P OU Q, quelle(s) proposition(s) est(sont) exacte(s) ?

P OU Q est vraie dès qu’au moins l’une des deux assertions est vraie.
P OU Q demeure vraie lorsque P et Q sont toutes deux vraies.
P OU Q est vraie si Q est vraie et P est fausse.
P OU Q est vraie si P est vraie et Q est fausse.
P OU Q exige qu’une seule des assertions soit vraie.

P OU Q est vraie dès qu’au moins l’une des deux assertions est vraie. · P OU Q demeure vraie lorsque P et Q sont toutes deux vraies. · P OU Q est vraie si Q est vraie et P est fausse. · P OU Q est vraie si P est vraie et Q est fausse.

Explication

La disjonction est vraie dès qu’au moins une des deux assertions est vraie, y compris lorsqu’une seule est vraie ou que les deux le sont. Exiger exactement une assertion vraie correspondrait au OU exclusif.

4. À propos d’une assertion P(x), cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Une assertion mathématique possède une valeur de vérité, vraie ou fausse.
La valeur de vérité de P(x) peut dépendre du paramètre x.
P(x) est une phrase mathématique susceptible d’être vraie ou fausse.
Une assertion peut être vraie pour certaines valeurs du paramètre et fausse pour d’autres.
La notation P(x) peut représenter une assertion dépendant d’un paramètre.

Une assertion mathématique possède une valeur de vérité, vraie ou fausse. · La valeur de vérité de P(x) peut dépendre du paramètre x. · P(x) est une phrase mathématique susceptible d’être vraie ou fausse. · Une assertion peut être vraie pour certaines valeurs du paramètre et fausse pour d’autres. · La notation P(x) peut représenter une assertion dépendant d’un paramètre.

Explication

Une assertion est une phrase mathématique susceptible d’être vraie ou fausse. Lorsqu’elle dépend d’un paramètre, comme P(x), sa valeur de vérité peut varier selon ce paramètre.

5. Concernant le quantificateur ∃x∈E:P(x)\exists x \in E : P(x) :

Le quantificateur ∃x\exists x exprime l’existence d’un élément vérifiant P.
La condition porte sur un élément x appartenant à l’ensemble E.
L’assertion peut être vraie lorsque plusieurs éléments de E vérifient P.
L’existence d’un seul élément satisfaisant P suffit à rendre l’assertion vraie.
L’assertion est vraie si au moins un élément de E vérifie P.

Le quantificateur $$\exists x$$ exprime l’existence d’un élément vérifiant P. · La condition porte sur un élément x appartenant à l’ensemble E. · L’assertion peut être vraie lorsque plusieurs éléments de E vérifient P. · L’existence d’un seul élément satisfaisant P suffit à rendre l’assertion vraie. · L’assertion est vraie si au moins un élément de E vérifie P.

Explication

Le quantificateur ∃x∈E\exists x \in E affirme qu’il existe au moins un élément de E pour lequel P(x) est vraie. Il n’exige donc pas que cet élément soit unique.

6. Parmi les propositions suivantes concernant ∀x∈E:P(x)\forall x \in E : P(x), laquelle ou lesquelles sont exactes ?

L’assertion est vraie dès qu’un élément de E vérifie P(x).
La propriété P doit être vérifiée par tout élément de l’ensemble E.
Un seul élément de E ne vérifiant pas P suffit à rendre l’assertion vraie.
L’assertion est vraie lorsque P(x) est vraie pour chaque élément de E.
Le quantificateur ∀x∈E\forall x \in E porte sur tous les éléments de E.

La propriété P doit être vérifiée par tout élément de l’ensemble E. · L’assertion est vraie lorsque P(x) est vraie pour chaque élément de E. · Le quantificateur $$\forall x \in E$$ porte sur tous les éléments de E.

Explication

Le quantificateur universel affirme que P(x) est vraie pour chaque élément de E. La vérification d’un seul élément ne suffit pas, et un contre-exemple rend l’assertion fausse.

7. La négation de ∃x:P(x)\exists x : P(x) s’écrit :

∀x:NON P(x)\forall x : \text{NON }P(x) est équivalente à l’absence de tout x vérifiant P.
La négation s’écrit ∀x:P(x)\forall x : P(x).
La négation de ∃x:P(x)\exists x : P(x) utilise le quantificateur universel.
∀x:NON P(x)\forall x : \text{NON }P(x) affirme que P est fausse pour chaque x.
La négation exprime qu’aucun élément x ne vérifie P.

$$\forall x : \text{NON }P(x)$$ est équivalente à l’absence de tout x vérifiant P. · La négation de $$\exists x : P(x)$$ utilise le quantificateur universel. · $$\forall x : \text{NON }P(x)$$ affirme que P est fausse pour chaque x. · La négation exprime qu’aucun élément x ne vérifie P.

Explication

La négation de l’existence d’un x vérifiant P est ∀x:NON P(x)\forall x : \text{NON }P(x) : P est alors fausse pour chaque x. L’écriture ∀x:P(x)\forall x : P(x) affirme au contraire que P est toujours vraie.

8. Pour démontrer par récurrence une assertion P(n) pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, quelles étapes faut-il vérifier ?

Vérifier P(0), puis démontrer P(n + 1) à partir de P(n) pour tout n naturel.
Vérifier P(0), puis établir l’implication de P(n + 1) vers P(n).
Vérifier P(1), puis établir que P(n + 1) implique P(n) pour tout n naturel.
Vérifier P(0), puis établir que P(n) implique P(n + 1) pour tout n naturel.
Établir l’implication de P(n) vers P(n + 1), sans vérifier P(0).

Vérifier P(0), puis démontrer P(n + 1) à partir de P(n) pour tout n naturel. · Vérifier P(0), puis établir que P(n) implique P(n + 1) pour tout n naturel.

Explication

La récurrence pour tout n naturel requiert de vérifier P(0), puis de démontrer que P(n) implique P(n + 1) pour tout n naturel. Vérifier P(1) à la place de P(0) ne fournit pas l’initialisation requise. L’implication de P(n + 1) vers P(n) est dans le sens opposé à l’hérédité, et établir l’hérédité sans vérifier P(0) ne suffit pas.

9. Soit une suite définie par u0=1u_0=1 et un+1=2unu_{n+1}=2u_n pour tout entier n. Que permet de démontrer une récurrence ?

La suite vérifie un+1=2unu_{n+1}=2u_n pour tout entier n selon sa définition.
La formule un=2nu_n=2^n est vraie pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}.
La relation de récurrence permet d’établir la formule explicite pour chaque n naturel.
Une démonstration par récurrence peut établir la formule un=2nu_n=2^n.
Le terme initial u0=1u_0=1 correspond à la valeur 202^0.

La suite vérifie $$u_{n+1}=2u_n$$ pour tout entier n selon sa définition. · La formule $$u_n=2^n$$ est vraie pour tout $$n \in \mathbb{N}$$. · La relation de récurrence permet d’établir la formule explicite pour chaque n naturel. · Une démonstration par récurrence peut établir la formule $$u_n=2^n$$. · Le terme initial $$u_0=1$$ correspond à la valeur $$2^0$$.

Explication

Avec le terme initial 1 et la relation un+1=2unu_{n+1}=2u_n, la récurrence permet de démontrer un=2nu_n=2^n pour tout n naturel. La formule concorde avec le terme initial puisque 20=12^0=1.

10. Concernant la notion d’ensemble :

Un ensemble est une collection d’objets mathématiques.
Une propriété peut servir à définir un ensemble sans énumération.
Un ensemble ne peut être décrit qu’en donnant tous ses éléments.
Un ensemble peut être défini en énumérant ses éléments.
Un ensemble est défini par une relation d’équivalence.

Un ensemble est une collection d’objets mathématiques. · Une propriété peut servir à définir un ensemble sans énumération. · Un ensemble peut être défini en énumérant ses éléments.

Explication

Un ensemble est une collection d’objets mathématiques définissable par énumération ou par une propriété. Une relation d’équivalence ne constitue pas, à elle seule, l’une de ces méthodes de définition.

11. Parmi les propositions suivantes concernant l’ensemble vide, laquelle ou lesquelles sont exactes ?

L’ensemble vide est un ensemble dépourvu d’éléments.
L’ensemble vide désigne une collection comportant un élément nul.
L’ensemble vide contient un élément dont la valeur est indéterminée.
L’ensemble vide contient zéro comme élément par définition.
L’ensemble vide est noté ∅ et ne contient aucun élément.

L’ensemble vide est un ensemble dépourvu d’éléments. · L’ensemble vide est noté ∅ et ne contient aucun élément.

Explication

L’ensemble vide, noté ∅, ne contient aucun élément. Le nombre zéro n’est pas pour autant un élément de cet ensemble.

12. Si A⊂BA \subset B, quelles affirmations décrivent cette inclusion ?

A et B doivent contenir exactement les mêmes éléments.
L’inclusion A⊂BA \subset B exige que B soit une partie de A.
A est appelé un sous-ensemble de B.
A est une partie de B au sens de l’inclusion.
Tout élément de A appartient également à B.

A est appelé un sous-ensemble de B. · A est une partie de B au sens de l’inclusion. · Tout élément de A appartient également à B.

Explication

L’inclusion A⊂BA \subset B signifie que chaque élément de A appartient aussi à B ; A est alors une partie, ou un sous-ensemble, de B. Elle n’exige pas que B soit une partie de A ni que les deux ensembles soient égaux.

13. À propos de l’union de deux ensembles :

L’union comprend les éléments de A, de B, ou des deux.
L’union A∪BA \cup B est l’ensemble des éléments de A∩BA \cap B.
Un élément de l’union peut appartenir à A et à B.
Un élément doit appartenir aux deux ensembles pour être dans l’union.
L’union rassemble les éléments appartenant à A ou à B.

L’union comprend les éléments de A, de B, ou des deux. · Un élément de l’union peut appartenir à A et à B. · L’union rassemble les éléments appartenant à A ou à B.

Explication

L’union comprend les éléments appartenant à A ou à B, y compris ceux qui appartiennent aux deux. L’ensemble des éléments communs à A et B est leur intersection.

14. Parmi les propositions suivantes concernant A∩BA \cap B, laquelle ou lesquelles sont exactes ?

L’intersection réunit les éléments appartenant à A ou à B.
Un élément de l’intersection appartient à chacun des deux ensembles.
L’intersection contient les éléments communs à A et à B.
L’intersection retient les éléments présents dans l’un des ensembles.
L’intersection correspond aux éléments appartenant simultanément à A et B.

Un élément de l’intersection appartient à chacun des deux ensembles. · L’intersection contient les éléments communs à A et à B. · L’intersection correspond aux éléments appartenant simultanément à A et B.

Explication

L’intersection est formée des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B. La réunion des éléments appartenant à l’un ou l’autre ensemble décrit plutôt l’union.

15. Dans un ensemble de référence Ω\Omega, le complémentaire de A :

contient les éléments de Ω\Omega qui ne sont pas dans A.
regroupe les éléments extérieurs à Ω\Omega qui appartiennent à A.
est formé d’éléments de Ω\Omega n’appartenant pas à A.
se définit relativement à un ensemble de référence Ω\Omega.
contient les éléments de A qui ne figurent pas dans Ω\Omega.

contient les éléments de $$\Omega$$ qui ne sont pas dans A. · est formé d’éléments de $$\Omega$$ n’appartenant pas à A. · se définit relativement à un ensemble de référence $$\Omega$$.

Explication

Le complémentaire de A se définit dans l’ensemble de référence Ω\Omega et contient les éléments de Ω\Omega qui ne sont pas dans A. Il ne s’agit pas d’éléments extérieurs à Ω\Omega ni d’éléments de A.

16. Concernant les entiers naturels :

L’ensemble N\mathbb{N} comprend zéro et les entiers positifs.
L’ensemble N\mathbb{N} contient les nombres 0, 1, 2, 3, ….
Zéro appartient à l’ensemble des entiers naturels.
L’ensemble N\mathbb{N} comprend les entiers négatifs ou nuls.
Les entiers naturels sont les entiers négatifs.

L’ensemble $$\mathbb{N}$$ comprend zéro et les entiers positifs. · L’ensemble $$\mathbb{N}$$ contient les nombres 0, 1, 2, 3, …. · Zéro appartient à l’ensemble des entiers naturels.

Explication

Les entiers naturels comprennent zéro ainsi que les entiers positifs, comme l’illustre N={0,1,2,3,…}\mathbb{N} = \{0,1,2,3,\ldots\}. Les entiers négatifs, avec ou sans zéro, ne sont pas des entiers naturels.

17. Quelles sont les réponses exactes au sujet des entiers relatifs ?

L’ensemble Z\mathbb{Z} réunit les entiers de signe positif, négatif ou nul.
L’ensemble Z\mathbb{Z} contient les entiers positifs et nuls.
L’ensemble Z\mathbb{Z} est constitué des entiers positifs et négatifs, sans zéro.
L’ensemble Z\mathbb{Z} comprend des entiers positifs, négatifs et nuls.
Les entiers négatifs appartiennent à l’ensemble Z\mathbb{Z}.

L’ensemble $$\mathbb{Z}$$ réunit les entiers de signe positif, négatif ou nul. · L’ensemble $$\mathbb{Z}$$ comprend des entiers positifs, négatifs et nuls. · Les entiers négatifs appartiennent à l’ensemble $$\mathbb{Z}$$.

Explication

L’ensemble Z\mathbb{Z} comprend les entiers positifs, négatifs et nuls. Il inclut donc les entiers négatifs et zéro, contrairement à la description restreinte proposée dans les autres formulations.

18. Un nombre appartient à Q\mathbb{Q} lorsqu’il peut s’écrire :

sous la forme pq\frac{p}{q}, avec p,q∈Np,q \in \mathbb{N} et q=0q=0.
comme le quotient de deux nombres réels, le dénominateur étant non nul.
sous la forme pq\frac{p}{q}, avec p∈Zp \in \mathbb{Z} et q∈Z∖{0}q \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}.
sous la forme pq\frac{p}{q}, avec p∈Np \in \mathbb{N} et q∈Zq \in \mathbb{Z}.
comme le quotient de deux entiers, le dénominateur étant non nul.

sous la forme $$\frac{p}{q}$$, avec $$p \in \mathbb{Z}$$ et $$q \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$$. · comme le quotient de deux entiers, le dénominateur étant non nul.

Explication

Un rationnel s’écrit comme le quotient de deux entiers, avec un dénominateur non nul. Un dénominateur nul est exclu, et la définition autorise aussi un numérateur entier négatif.

19. Concernant l’ensemble des réels, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Les réels incluent des valeurs de part et d’autre de l’origine 0.
L’ensemble R\mathbb{R} comprend des valeurs mesurables sur une droite graduée.
Les réels peuvent représenter des valeurs positives ou négatives.
La droite graduée associée aux réels possède une origine notée 0.
Les valeurs de R\mathbb{R} se mesurent sur une droite graduée.

Les réels incluent des valeurs de part et d’autre de l’origine 0. · L’ensemble $$\mathbb{R}$$ comprend des valeurs mesurables sur une droite graduée. · Les réels peuvent représenter des valeurs positives ou négatives. · La droite graduée associée aux réels possède une origine notée 0. · Les valeurs de $$\mathbb{R}$$ se mesurent sur une droite graduée.

Explication

L’ensemble des réels comprend des valeurs positives ou négatives que l’on peut mesurer sur une droite graduée ayant pour origine 0. Chaque proposition reprend une caractéristique de cette définition.

20. Concernant la définition d’une fonction :

Pour une fonction de A vers B, chaque x de A possède une image f(x) dans B.
Dans la notation f : A → B, A désigne l’ensemble de départ de la fonction.
Dans la notation f : A → B, B désigne l’ensemble d’arrivée de la fonction.
Une fonction associe à chaque élément de son ensemble de départ un élément de son ensemble d’arrivée.
L’image de x par f est un sous-ensemble de B.

Pour une fonction de A vers B, chaque x de A possède une image f(x) dans B. · Dans la notation f : A → B, A désigne l’ensemble de départ de la fonction. · Dans la notation f : A → B, B désigne l’ensemble d’arrivée de la fonction. · Une fonction associe à chaque élément de son ensemble de départ un élément de son ensemble d’arrivée.

Explication

Chaque élément de A reçoit une image qui est un élément de B ; A est l’ensemble de départ et B l’ensemble d’arrivée. L’image f(x) est un élément, tandis que l’ensemble image rassemble les images des éléments de A.

21. Pour des fonctions f:A→Bf : A \to B et g:B→Cg : B \to C, quelles propositions concernant leur composée sont exactes ?

La valeur de la composée en x est g(f(x))g(f(x)).
La fonction g reçoit comme entrée une valeur de B issue de f.
Dans g∘fg \circ f, la fonction f est appliquée avant la fonction g.
L’image de x par f appartient à C.
La composée g∘fg \circ f va de A vers C.

La valeur de la composée en x est $$g(f(x))$$. · La fonction g reçoit comme entrée une valeur de B issue de f. · Dans $$g \circ f$$, la fonction f est appliquée avant la fonction g. · La composée $$g \circ f$$ va de A vers C.

Explication

La composée va de A vers C et vérifie (g∘f)(x)=g(f(x))(g \circ f)(x)=g(f(x)) : f agit d’abord, puis g reçoit le résultat dans B. L’image de x par f appartient à B, et non à C.

22. À propos de l’injectivité d’une fonction, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

L’existence d’un antécédent pour chaque élément de B caractérise l’injectivité.
Chaque élément de B doit être atteint pour que la fonction soit injective.
Deux éléments distincts de A ont des images distinctes par une fonction injective.
Une fonction injective distingue les images associées aux éléments distincts de A.
L’injectivité interdit que deux éléments distincts de A aient la même image.

Deux éléments distincts de A ont des images distinctes par une fonction injective. · Une fonction injective distingue les images associées aux éléments distincts de A. · L’injectivité interdit que deux éléments distincts de A aient la même image.

Explication

L’injectivité signifie que des éléments distincts de A ont des images distinctes, donc qu’ils ne peuvent partager une image. Exiger que chaque élément de B soit atteint relève de la surjectivité, et non de l’injectivité.

23. Une fonction f:A→Bf : A \to B est surjective lorsque :

Pour tout y∈By \in B, il existe x∈Ax \in A tel que f(x)=yf(x)=y.
Chaque élément de B est l’image d’au moins un élément de A.
Deux éléments distincts de A ont des images distinctes.
La fonction atteint tous les éléments de son ensemble d’arrivée.
Tout élément de B possède au moins un antécédent dans A.

Pour tout $$y \in B$$, il existe $$x \in A$$ tel que $$f(x)=y$$. · Chaque élément de B est l’image d’au moins un élément de A. · La fonction atteint tous les éléments de son ensemble d’arrivée. · Tout élément de B possède au moins un antécédent dans A.

Explication

La surjectivité exige que chaque élément de B soit atteint, autrement dit qu’il possède au moins un antécédent dans A. Avoir des images distinctes pour des éléments distincts de A caractérise l’injectivité, pas la surjectivité.

24. Concernant une fonction bijective, quelles propositions sont exactes ?

Une fonction bijective est à la fois injective et surjective.
La fonction réciproque d’une bijection va de A vers B.
Une fonction bijective peut ne pas atteindre certains éléments de B.
Chaque élément de B possède au moins deux antécédents dans A.
Chaque élément de B est l’image d’un unique élément de A.

Une fonction bijective est à la fois injective et surjective. · Chaque élément de B est l’image d’un unique élément de A.

Explication

Une bijection est à la fois injective et surjective : chaque élément de B est donc atteint par un unique élément de A. La réciproque va de B vers A, une bijection atteint tout B, et chaque élément de B n’a pas plusieurs antécédents.

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Qu’est-ce qu’une assertion mathématique ?

Une phrase mathématique qui peut être vraie ou fausse.

De quoi une assertion comme P(x)P(x) peut-elle dépendre ?

D’un paramètre.

Quand la négation de PP est-elle vraie ?

Lorsque PP est fausse.

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