Fiche de révision : Mathématiques pour la chimie

📋 Plan du Cours

1. Calcul vectoriel et produits
2. Matrices et déterminants
3. Systèmes linéaires et Cramer
4. Valeurs propres et orbitales moléculaires
5. Nombres complexes et conjugaison
6. Formes polaire et exponentielle
7. Fonctions réelles et propriétés
8. Limites et continuité
9. Dérivation et étude des fonctions
10. Primitives et intégrales

📖 1. Calcul vectoriel et produits

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : Objet caractérisé par une direction, un sens et une norme, cette dernière étant la longueur du segment orienté qui le représente.
• Produit scalaire : Réel égal au produit des normes des deux vecteurs non nuls par le cosinus de leur angle ; il vaut zéro si l’un des vecteurs est nul.
• Produit vectoriel : Vecteur orthogonal aux deux facteurs, de norme égale au produit de leurs normes par le sinus de leur angle et orienté selon la règle donnée par la base directe.
• Produit mixte : Scalaire $u\cdot(v\times w)$, qui correspond au volume du parallélépipède engendré par les trois vecteurs.

★ À maîtriser

📌 Deux vecteurs sont égaux si et seulement s’ils ont la même direction, le même sens et la même norme.

• La somme de deux vecteurs consécutifs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ est le vecteur $\overrightarrow{AC}$.

📌 Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Compléments

• La multiplication d’un vecteur par un scalaire conserve sa direction si le scalaire est positif et l’inverse si le scalaire est négatif ; sa norme est multipliée par la valeur absolue du scalaire.

• Dans un repère orthonormé du plan, des vecteurs de coordonnées $(x,y)$ et $(x',y')$ ont pour produit scalaire $xx'+yy'$.

• L’aire du parallélogramme engendré par deux vecteurs de l’espace est la norme de leur produit vectoriel.

💡 Astuce mémo

Scalaire → nombre ; vectoriel → vecteur

📖 2. Matrices et déterminants

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice : Tableau rectangulaire de nombres ayant $m\times n$ coefficients.
• Matrice inversible : Matrice carrée qui admet une matrice $A^{-1}$ telle que $AA^{-1}=A^{-1}A=I_n$.
• Matrice orthogonale : Une matrice réelle carrée $A$ est orthogonale si $A^tA=I_n$, équivalemment si $A^{-1}=A^t$ ; ses colonnes et ses lignes forment des systèmes orthonormés.
• Matrice transposée : La transposée d’une matrice s’obtient en échangeant ses lignes et ses colonnes.
• Matrice identité : Matrice carrée d’ordre $n$, avec des coefficients diagonaux égaux à $1$ et tous les autres coefficients nuls.

★ À maîtriser

📌 Le produit $AB$ est défini si le nombre de colonnes de $A$ égale le nombre de lignes de $B$ ; si $A$ est de taille $m\times n$ et $B$ de taille $n\times p$, alors $AB$ est de taille $m\times p$.

📌 Le produit matriciel n’est pas commutatif en général : $AB$ n’est pas nécessairement égal à $BA$.

📐 Formule - Pour une matrice d’ordre $2$, $\det(A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$.

📌 Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul, et $\det(AB)=\det(A)\det(B)$.

Compléments

📌 L’addition de matrices et la multiplication d’une matrice par un scalaire s’effectuent coefficient par coefficient, et l’addition exige des matrices de mêmes dimensions.

• Le déterminant d’une matrice orthogonale vaut $1$ ou $-1$, mais un déterminant égal à $1$ ou $-1$ ne suffit pas à rendre une matrice orthogonale.

• Pour calculer un déterminant d’ordre au moins $3$, on choisit une ligne ou une colonne et on développe selon celle-ci en utilisant les déterminants des mineurs.

• Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit de ses coefficients diagonaux, et le déterminant d’une matrice transposée est égal à celui de la matrice initiale.

📖 3. Systèmes linéaires et Cramer

★ À maîtriser

• Un système de $m$ équations linéaires à $n$ inconnues peut avoir une solution unique, une infinité de solutions ou aucune solution.

📌 Si la matrice carrée des coefficients $A$ est inversible, le système $Ax=b$ admet la solution unique $x=A^{-1}b$.

📐 Formule - La règle de Cramer donne $x_j=\frac{\det(A_j)}{\det(A)}$ pour $1\leq j\leq n$, où $A_j$ est obtenue en remplaçant la colonne $j$ de $A$ par $b$.

Compléments

📌 Si $A$ n’est pas inversible, le système $Ax=b$ peut avoir une infinité de solutions ou aucune ; pour $b=0$, il a toujours une infinité de solutions.

📖 4. Valeurs propres et orbitales moléculaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur propre : Un scalaire $\lambda$ est une valeur propre d’une matrice carrée $A$ s’il existe un vecteur non nul $x$ tel que $Ax=\lambda x$ ; ce vecteur est un vecteur propre associé.

★ À maîtriser

📌 Les valeurs propres de $A$ sont les racines de l’équation caractéristique $\det(A-\lambda I_n)=0$, qui est de degré $n$.

• Une matrice réelle symétrique possède $n$ valeurs propres réelles en comptant les multiplicités, et ses vecteurs propres associés peuvent être choisis orthogonaux.

• Dans le modèle à deux orbitales atomiques, on écrit $\psi=c_i\phi_i+c_j\phi_j$, on projette l’équation de Schrödinger sur les orbitales atomiques, puis on impose l’annulation du déterminant séculaire pour obtenir les énergies possibles.

Compléments

📌 Pour une matrice symétrique réelle, les vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux, tandis que des vecteurs propres associés à une valeur propre dégénérée ne sont pas nécessairement orthogonaux.

📐 Formule - Pour deux orbitales atomiques, l’équation séculaire du cours est $E^2(1-S^2)-E(H_{ii}+H_{jj}-2SH_{ij})+H_{ii}H_{jj}-H_{ij}^2=0$.

💡 Astuce mémo

Déterminant séculaire nul → solutions non triviales

📖 5. Nombres complexes et conjugaison

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre complexe : Nombre qui s’écrit $z=a+ib$ avec $a,b\in\mathbb{R}$ ; $a$ est sa partie réelle et $b$ sa partie imaginaire.
• Conjugué : Le conjugué de $z=a+ib$ est $\bar z=a-ib$ ; le produit $z\bar z=a^2+b^2$ est réel positif.
• Module complexe : Réel positif $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{z\bar z}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour $z=a+ib$ et $z'=a'+ib'$, la somme est $z+z'=(a+a')+i(b+b')$ et le produit est $zz'=(aa'-bb')+i(ab'+ba')$.

Compléments

• Euler introduit vers $1740$ la notation $i=\sqrt{-1}$, et le texte attribue le terme « nombres complexes » à Carl Friedrich Gauss. - Léonard Euler, vers 1740

• L’addition des nombres complexes est associative et commutative, possède $0$ comme élément neutre et chaque complexe possède un opposé.

• La multiplication des nombres complexes est associative et commutative, possède $1$ comme élément neutre et tout complexe non nul possède un inverse.

📐 Formule - Pour $z_2\neq0$, la division s’effectue en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, ce qui donne $\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\bar z_2}{|z_2|^2}$.

📖 6. Formes polaire et exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme polaire : La forme polaire d’un complexe est $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$, où $r=|z|$ et $\theta$ est un argument de $z$.
• Affixe : Complexe $x+iy$ associé, dans un repère orthonormé, au point ou au vecteur de coordonnées $(x,y)$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour des complexes de formes polaires $z_1=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)$ et $z_2=r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)$, leur produit a pour module $r_1r_2$ et pour argument $\theta_1+\theta_2$.

📐 Formule - La formule de Moivre donne, pour tout entier $n$, $[r(\cos\theta+i\sin\theta)]^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))$.

📐 Formule - La formule d’Euler est $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ pour tout réel $x$.

Compléments

• Un même complexe non nul a des arguments qui diffèrent d’un multiple entier de $2\pi$ ; le cours choisit généralement $0\leq\theta<2\pi$.

📐 Formule - Pour un quotient $z_1/z_2$, avec $z_2\neq0$, le module est $|z_1|/|z_2|$ et l’argument est $\arg(z_1)-\arg(z_2)$.

💡 Astuce mémo

Multiplier : modules multipliés, arguments additionnés

📖 7. Fonctions réelles et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Une fonction associe à chaque élément de son domaine de départ un unique élément de son ensemble d’arrivée.
• Bijection : Fonction pour laquelle chaque élément de l’ensemble d’arrivée possède exactement un antécédent.
• Surjection : Fonction pour laquelle chaque élément de l’ensemble d’arrivée possède au moins un antécédent.
• Injection : Fonction pour laquelle chaque élément de l’ensemble d’arrivée possède au plus un antécédent.
• Fonction paire : Une fonction est paire si son domaine est symétrique par rapport à zéro et si $f(-x)=f(x)$ ; son graphe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
• Fonction impaire : Une fonction est impaire si son domaine est symétrique par rapport à zéro et si $f(-x)=-f(x)$ ; son graphe est symétrique par rapport à l’origine.

📝 Points essentiels

📌 La somme et le produit de deux fonctions ont pour domaine l’intersection de leurs domaines, tandis que le domaine d’une composée $g\circ f$ comprend les $x$ du domaine de $f$ tels que $f(x)$ appartienne au domaine de $g$.

• Les fonctions sinus et cosinus sont $2\pi$-périodiques ; le sinus est impair et le cosinus est pair.

💡 Astuce mémo

Paire : axe des ordonnées ; impaire : origine

📖 8. Limites et continuité

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite : Réel $\ell$ dont $f(x)$ peut être rendue aussi proche que souhaité lorsque $x$ est suffisamment proche de $x_0$.
• Continuité : Propriété d’une fonction qui admet en $x_0$ une limite égale à $f(x_0)$.

📝 Points essentiels

📌 Une limite bilatérale en un point peut ne pas exister même si les limites à gauche et à droite existent et sont différentes.

📌 Toute fonction continue sur un intervalle fermé et borné $[a,b]$ atteint sur cet intervalle un maximum et un minimum.

💡 Astuce mémo

Continuité en un point → limite égale à la valeur

📖 9. Dérivation et étude des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée : Limite $\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ lorsqu’elle existe ; géométriquement, pente de la tangente au graphe en ce point.

★ À maîtriser

📐 Formule - Les règles de dérivation sont $(f+g)'=f'+g'$, $(fg)'=f'g+fg'$, $(f/g)'=(gf'-fg')/g^2$ lorsque $g\neq0$, et $(g\circ f)'=(g'\circ f)f'$.

📌 Si une fonction dérivable atteint un extremum en un point intérieur, sa dérivée y est nulle.

📌 Sur un intervalle, une fonction dérivable est croissante si et seulement si sa dérivée est positive ou nulle ; elle est décroissante si et seulement si sa dérivée est négative ou nulle.

Compléments

📐 Formule - Les dérivées usuelles comprennent $(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$, $(\ln x)'=1/x$, $(e^x)'=e^x$, $(\cos x)'=-\sin x$ et $(\sin x)'=\cos x$.

📌 Si $f''\geq0$ sur un intervalle, $f$ est convexe ; si $f''\leq0$, $f$ est concave, et un point où la fonction passe de l’une à l’autre est un point d’inflexion.

💡 Astuce mémo

Signe de f′ → sens de variation

📖 10. Primitives et intégrales

🔑 Notions clés & Définitions

• Primitive : Fonction dérivable $F$ dont la dérivée est $f$.

• Intégrale définie : Limite des sommes de Riemann associées aux subdivisions de l’intervalle pour une fonction continue sur $[a,b]$.

★ À maîtriser

• Si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle, toutes les primitives de $f$ sur cet intervalle sont de la forme $F+C$, où $C$ est une constante réelle.

📐 Formule - Une fonction constante $k$ a pour primitive $kx+C$ ; pour $n\neq-1$, une primitive de $x^n$ est $x^{n+1}/(n+1)+C$, et une primitive de $1/x$ est $\ln|x|+C$.

📐 Formule - L’intégration par parties s’écrit $\int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx$.

• Pour un changement de variable $u=u(x)$, on réécrit l’intégrande sous la forme $g(u(x))u'(x)$, on cherche une primitive $G$ de $g$, puis on obtient la primitive $G(u(x))+C$.

📌 Le théorème fondamental du calcul donne $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$ lorsque $F$ est une primitive de $f$ continue sur l’intervalle considéré.

Compléments

• Si $f$ est positive sur $[a,b]$, $\int_a^b f(x)\,dx$ représente l’aire sous son graphe entre $a$ et $b$.

📌 L’intégrale définie est linéaire, vaut zéro lorsque ses bornes coïncident, change de signe lorsque ses bornes sont inversées et vérifie la relation de Chasles.

💡 Astuce mémo

Primitive → bornes évaluées : F(b) − F(a)