QCM : Mathématiques pour la chimie (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Concernant les caractéristiques d’un vecteur :

La norme d’un vecteur représente la longueur du segment orienté associé.
La norme d’un vecteur correspond à la longueur du segment orienté qui le représente.
La direction, le sens et la norme caractérisent un vecteur.
Un vecteur est caractérisé par sa direction, son sens et son aire.
Un vecteur est caractérisé par sa direction, son origine et sa norme.

La norme d’un vecteur représente la longueur du segment orienté associé. · La norme d’un vecteur correspond à la longueur du segment orienté qui le représente. · La direction, le sens et la norme caractérisent un vecteur.

Explication

La norme mesure la longueur du segment orienté représentant le vecteur, et ses trois caractéristiques sont la direction, le sens et la norme. L’aire et l’origine ne remplacent pas le sens dans cette caractérisation.

2. Pour trois points A, B et C, la relation de Chasles s’écrit :

Le vecteur AC→\overrightarrow{AC} est la somme de AB→\overrightarrow{AB} et BC→\overrightarrow{BC}.
La somme de AB→\overrightarrow{AB} et BC→\overrightarrow{BC} donne AC→\overrightarrow{AC}.
La somme de AB→\overrightarrow{AB} et BC→\overrightarrow{BC} donne CA→\overrightarrow{CA}.
La somme de AB→\overrightarrow{AB} et BC→\overrightarrow{BC} donne CB→\overrightarrow{CB}.
Le vecteur AB→+BC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} est égal à AC→\overrightarrow{AC}.

Le vecteur $$\overrightarrow{AC}$$ est la somme de $$\overrightarrow{AB}$$ et $$\overrightarrow{BC}$$. · La somme de $$\overrightarrow{AB}$$ et $$\overrightarrow{BC}$$ donne $$\overrightarrow{AC}$$. · Le vecteur $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$$ est égal à $$\overrightarrow{AC}$$.

Explication

Les vecteurs consécutifs AB→\overrightarrow{AB} et BC→\overrightarrow{BC} ont pour somme AC→\overrightarrow{AC}. Les vecteurs CB→\overrightarrow{CB} et CA→\overrightarrow{CA} ne sont pas le vecteur résultant de cette relation.

3. Une matrice comporte mm lignes et nn colonnes. Quelles propositions la décrivent ?

Son nombre de coefficients est le produit du nombre de lignes par celui des colonnes.
Elle comporte m+nm+n coefficients répartis dans un tableau rectangulaire.
Elle est formée de nombres disposés en un tableau rectangulaire.
Elle est un tableau rectangulaire de nombres comportant m×nm\times n coefficients.
Une matrice de mm lignes et nn colonnes contient m×nm\times n nombres.

Son nombre de coefficients est le produit du nombre de lignes par celui des colonnes. · Elle est formée de nombres disposés en un tableau rectangulaire. · Elle est un tableau rectangulaire de nombres comportant $$m\times n$$ coefficients. · Une matrice de $$m$$ lignes et $$n$$ colonnes contient $$m\times n$$ nombres.

Explication

Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres et possède m×nm\times n coefficients lorsqu’elle a mm lignes et nn colonnes. Le nombre total de coefficients est donc un produit, et non la somme des dimensions.

4. Dans la règle de Cramer, comment construit-on la matrice AjA_j utilisée pour calculer l’inconnue xjx_j ?

En échangeant la colonne jj de AA avec sa ligne correspondante
En ajoutant le vecteur bb à la colonne jj de AA
En remplaçant la colonne jj de AA par le vecteur bb
En remplaçant la ligne jj de AA par le vecteur bb

En remplaçant la colonne $$j$$ de $$A$$ par le vecteur $$b$$

Explication

La règle de Cramer forme AjA_j en remplaçant la colonne correspondant à l’inconnue cherchée par le vecteur des seconds membres, puis utilise le quotient des déterminants. Remplacer une ligne au lieu d’une colonne ne correspond pas à la construction définie par cette règle.

5. Dans le modèle à deux orbitales atomiques, quelle équation permet de déterminer les énergies possibles ?

L’équation de normalisation obtenue en annulant le recouvrement orbital
L’équation obtenue en annulant le produit des coefficients orbitaux
L’équation caractéristique obtenue en annulant la trace de la matrice
L’équation obtenue en annulant le déterminant séculaire

L’équation obtenue en annulant le déterminant séculaire

Explication

L’annulation du déterminant séculaire fournit les énergies possibles dans le modèle à deux orbitales atomiques. L’équation caractéristique est liée au calcul des valeurs propres d’une matrice, mais elle n’est pas la procédure décrite ici pour établir les énergies orbitalaires.

6. Quel rôle joue le conjugué d’un nombre complexe lorsqu’on calcule le produit de ce nombre par son conjugué ?

Il permet d’obtenir un imaginaire pur égal au double de sa partie imaginaire.
Il permet d’obtenir un réel égal au carré du module du nombre complexe.
Il permet d’obtenir un réel égal à la somme de ses parties réelle et imaginaire.
Il permet d’obtenir un complexe dont la partie réelle est opposée.

Il permet d’obtenir un réel égal au carré du module du nombre complexe.

Explication

Pour z=a+ibz=a+ib, le produit par son conjugué vaut zzˉ=a2+b2z\bar z=a^2+b^2, soit le carré de son module et un réel positif. Le conjugué sert aussi à rationaliser une division, mais ce n’est pas le résultat caractéristique de ce produit.

7. Quelle relation exprime la formule d’Euler entre l’exponentielle complexe et les fonctions trigonométriques ?

eix=cos⁡x−isin⁡xe^{ix}=\cos x-i\sin x pour tout réel xx
eix=sin⁡x+icos⁡xe^{ix}=\sin x+i\cos x pour tout réel xx
eix=cos⁡x+isin⁡(2x)e^{ix}=\cos x+i\sin(2x) pour tout réel xx
eix=cos⁡x+isin⁡xe^{ix}=\cos x+i\sin x pour tout réel xx

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$ pour tout réel $$x$$

Explication

La formule d’Euler associe à eixe^{ix} la partie réelle cos⁡x\cos x et la partie imaginaire sin⁡x\sin x. L’expression avec un signe moins correspond plutôt à e−ixe^{-ix}, et non à eixe^{ix}.

8. Quelle différence distingue une fonction surjective d’une fonction injective ?

Une surjection exige que chaque élément d’arrivée ait exactement un antécédent, tandis qu’une injection exige que le graphe soit symétrique.
Une surjection donne au moins un antécédent à chaque élément d’arrivée, tandis qu’une injection en donne au plus un.
Une surjection donne au plus un antécédent à chaque élément d’arrivée, tandis qu’une injection en donne au moins un.
Une surjection associe une image unique à chaque élément de départ, tandis qu’une injection exige que le domaine soit symétrique.

Une surjection donne au moins un antécédent à chaque élément d’arrivée, tandis qu’une injection en donne au plus un.

Explication

La surjectivité porte sur l’existence d’un antécédent pour chaque élément de l’ensemble d’arrivée, alors que l’injectivité limite à un le nombre d’antécédents possibles. L’exigence d’exactement un antécédent caractérise une bijection, et non une surjection seule.

9. Une fonction est continue sur l’intervalle fermé et borné [a,b][a,b]. Quelle conséquence cette propriété garantit-elle ?

Elle est croissante sur l’ensemble de cet intervalle.
Elle atteint un maximum et un minimum sur cet intervalle.
Elle possède une dérivée en chaque point de cet intervalle.
Ses limites à gauche et à droite sont différentes aux bornes.

Elle atteint un maximum et un minimum sur cet intervalle.

Explication

La continuité sur un intervalle fermé et borné garantit que la fonction y atteint à la fois un maximum et un minimum. Elle n’implique pas la dérivabilité, contrairement à ce que suppose un autre choix.

10. Pour étudier les variations d’une fonction dérivable sur un intervalle, que faut-il examiner ?

Le signe de sa dérivée seconde en chaque point
Le signe de sa dérivée sur cet intervalle
Les valeurs de la fonction aux seules extrémités
La pente de sa tangente en un point quelconque

Le signe de sa dérivée sur cet intervalle

Explication

Le signe de la dérivée permet de déterminer les intervalles où la fonction est croissante ou décroissante. La dérivée seconde renseigne plutôt sur la convexité et la concavité, pas directement sur le sens de variation.

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Quelles caractéristiques définissent un vecteur ?

Une direction, un sens et une norme.

Quelle condition caractérise l’égalité de deux vecteurs ?

Ils ont la même direction, le même sens et la même norme.

Combien de coefficients possède une matrice de taille m×nm\times n ?

m×nm\times n coefficients.

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