QCM : Mathématiques pour la chimie (41 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelles caractéristiques définissent un vecteur représenté par un segment orienté ?

Une origine, une extrémité et une longueur
Un sens, une extrémité et une coordonnée
Une direction, un sens et une norme
Une direction, une origine et une composante

Une direction, un sens et une norme

Explication

Un vecteur est caractérisé par sa direction, son sens et sa norme, et peut être représenté par un segment orienté. L’origine et l’extrémité décrivent un représentant particulier, mais ne remplacent pas ces trois caractéristiques.

2. Deux segments orientés représentent-ils le même vecteur lorsqu’ils ont la même longueur mais des directions différentes ?

Oui, si leurs origines sont placées au même point.
Non, car l’égalité exige la même origine et la même extrémité.
Non, car l’égalité exige la même direction, le même sens et la même norme.
Oui, car une longueur égale suffit à définir le même vecteur.

Non, car l’égalité exige la même direction, le même sens et la même norme.

Explication

Deux vecteurs sont égaux si et seulement s’ils partagent la même direction, le même sens et la même norme. Une longueur égale ne suffit pas si leurs directions diffèrent.

3. Si u⃗=AB→\vec{u}=\overrightarrow{AB} et v⃗=BC→\vec{v}=\overrightarrow{BC}, quel vecteur représente u⃗+v⃗\vec{u}+\vec{v} ?

CA→\overrightarrow{CA}
AC→\overrightarrow{AC}
CB→\overrightarrow{CB}
BA→\overrightarrow{BA}

$$\overrightarrow{AC}$$

Explication

La règle d’enchaînement des vecteurs donne AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}, car l’extrémité du premier vecteur est l’origine du second. CA→\overrightarrow{CA} correspond au trajet de sens opposé.

4. Comment exprime-t-on le produit scalaire de deux vecteurs non nuls u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} dont l’angle est θ\theta ?

u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥+∥v⃗∥cos⁡θ\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|\cos\theta
u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥∥v⃗∥cos⁡θ\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta
u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥∥v⃗∥sin⁡θ\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\sin\theta
u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥∥v⃗∥tan⁡θ\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\tan\theta

$$\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta$$

Explication

Le produit scalaire est le produit des normes des deux vecteurs par le cosinus de l’angle qui les sépare. Le sinus intervient dans la formule de la norme du produit vectoriel, et non dans celle du produit scalaire.

5. En développant u⃗⋅(v⃗+w⃗)\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w}), quelle égalité obtient-on ?

u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}
u⃗⋅v⃗−u⃗⋅w⃗\vec{u}\cdot\vec{v}-\vec{u}\cdot\vec{w}
u⃗⋅w⃗+v⃗⋅w⃗\vec{u}\cdot\vec{w}+\vec{v}\cdot\vec{w}
u⃗⋅v⃗+v⃗⋅w⃗\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{w}

$$\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}$$

Explication

Le produit scalaire est distributif par rapport à l’addition des vecteurs, donc on obtient u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}. L’expression u⃗⋅v⃗+v⃗⋅w⃗\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{w} change le premier vecteur du second produit et ne traduit pas cette distributivité.

6. Quel critère permet de déterminer si deux vecteurs sont orthogonaux ?

Leurs normes sont égales.
Leur produit vectoriel est nul.
Leur produit scalaire est nul.
Leur somme est le vecteur nul.

Leur produit scalaire est nul.

Explication

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Un produit vectoriel nul indique une dépendance de direction dans le cas de deux vecteurs non nuls, pas leur orthogonalité.

7. Deux vecteurs non nuls engendrent un parallélogramme d’aire égale à quelle quantité ?

∥u⃗×v⃗∥=∥u⃗∥∥v⃗∥sin⁡θ\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\sin\theta
∥u⃗×v⃗∥=∥u⃗∥+∥v⃗∥sin⁡θ\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|\sin\theta
∥u⃗×v⃗∥=∥u⃗∥∥v⃗∥cos⁡θ\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta
∥u⃗×v⃗∥=∥u⃗∥∥v⃗∥\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|

$$\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\sin\theta$$

Explication

La norme du produit vectoriel donne l’aire du parallélogramme et vaut le produit des normes multiplié par le sinus de l’angle entre les vecteurs. Le cosinus apparaît dans la formule du produit scalaire, qui ne représente pas cette aire.

8. Que décrit une matrice de taille m×nm\times n ?

Un tableau rectangulaire de nombres ayant mm lignes et nn colonnes.
Un tableau carré de nombres ayant m+nm+n lignes et colonnes.
Un tableau rectangulaire de nombres ayant nn lignes et mm colonnes.
Un tableau de nombres dont la diagonale contient m×nm\times n coefficients.

Un tableau rectangulaire de nombres ayant $$m$$ lignes et $$n$$ colonnes.

Explication

Une matrice de taille m×nm\times n comporte mm lignes et nn colonnes, avec ses nombres rangés en lignes. Inverser ces deux dimensions donnerait une matrice de taille n×mn\times m.

9. Quelle propriété caractérise la matrice identité InI_n ?

Tous ses coefficients valent 0.
Ses coefficients diagonaux valent 0 et ses autres coefficients valent 1.
Tous ses coefficients valent 1.
Ses coefficients diagonaux valent 1 et ses autres coefficients valent 0.

Ses coefficients diagonaux valent 1 et ses autres coefficients valent 0.

Explication

La matrice identité est carrée et possède des 1 sur sa diagonale ainsi que des 0 ailleurs. Une matrice dont tous les coefficients sont nuls est la matrice nulle, et non l’identité.

10. Si AA est de taille 3×23\times 2 et BB de taille 2×42\times 4, quelle est la taille de ABAB ?

3×23\times 2
3×43\times 4
2×42\times 4
2×22\times 2

$$3\times 4$$

Explication

Le nombre de colonnes de AA est égal au nombre de lignes de BB, donc le produit est défini et sa taille reprend les dimensions extérieures : 3×43\times 4. La taille 2×22\times 2 associerait les dimensions intérieures plutôt que les dimensions du résultat.

11. Pour deux matrices AA et BB dont les produits sont définis, quelle affirmation décrit la multiplication matricielle en général ?

ABAB est toujours égal à la transposée de BABA.
ABAB est toujours égal à BABA, comme pour les nombres réels.
ABAB n’est pas nécessairement égal à BABA.
ABAB est égal à BABA lorsque les deux matrices sont carrées.

$$AB$$ n’est pas nécessairement égal à $$BA$$.

Explication

La multiplication matricielle n’est pas commutative en général : les produits ABAB et BABA peuvent être différents. Le fait que les matrices soient carrées ne garantit pas à lui seul leur égalité.

12. Pour une matrice carrée d’ordre 2 dont les coefficients sont a11,a12,a21,a22a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}, quelle expression donne son déterminant ?

a11a21−a12a22a_{11}a_{21}-a_{12}a_{22}
a11a22−a12a21a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
a11a22+a12a21a_{11}a_{22}+a_{12}a_{21}
a11+a22−a12−a21a_{11}+a_{22}-a_{12}-a_{21}

$$a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$$

Explication

Le déterminant d’ordre 2 se calcule en soustrayant le produit des coefficients de l’autre diagonale au produit des coefficients de la diagonale principale. La formule qui additionne les deux produits ne respecte pas cette soustraction.

13. Un système carré Ax=bAx=b possède une solution unique obtenue par x=A−1bx=A^{-1}b dans quel cas ?

Lorsque AA est symétrique, quelle que soit sa valeur déterminante
Lorsque det⁡(A)=0\det(A)=0, ce qui rend AA inversible
Lorsque det⁡(A)≠0\det(A)\ne 0, ce qui rend AA inversible
Lorsque bb est nul, quelle que soit l’inversibilité de AA

Lorsque $$\det(A)\ne 0$$, ce qui rend $$A$$ inversible

Explication

Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul, et son inverse fournit alors l’unique solution du système. Un déterminant nul signifie au contraire que la matrice n’est pas inversible.

14. Quelle condition définit un scalaire λ\lambda comme valeur propre d’une matrice AA ?

Il existe un vecteur non nul xx tel que Ax=λxAx=\lambda x
La matrice A−λInA-\lambda I_n est égale à la matrice identité
Le vecteur xx est nul et vérifie Ax=λxAx=\lambda x
Il existe un vecteur non nul xx tel que Ax=0Ax=0 pour toute valeur de λ\lambda

Il existe un vecteur non nul $$x$$ tel que $$Ax=\lambda x$$

Explication

Une valeur propre est un scalaire qui multiplie un vecteur propre non nul lorsque la matrice agit sur celui-ci. Un vecteur nul ne convient pas, car il satisfait cette égalité pour n’importe quel scalaire et ne caractérise aucune valeur propre.

15. Comment déterminer les valeurs propres d’une matrice carrée AA d’ordre nn à l’aide de son équation caractéristique ?

Résoudre det⁡(A)=λ\det(A)=\lambda, équation de degré nn
Résoudre det⁡(A+λIn)=1\det(A+\lambda I_n)=1, équation de degré nn
Résoudre det⁡(A−λIn)=0\det(A-\lambda I_n)=0, équation de degré nn
Résoudre det⁡(A−λIn)=0\det(A-\lambda I_n)=0, équation de degré n−1n-1

Résoudre $$\det(A-\lambda I_n)=0$$, équation de degré $$n$$

Explication

La condition nécessaire et suffisante est que le déterminant de A−λInA-\lambda I_n soit nul, ce qui forme l’équation caractéristique de degré nn. Remplacer cette condition par une équation de degré n−1n-1 donne un degré incorrect.

16. Que peut-on affirmer d’une matrice réelle symétrique d’ordre nn concernant ses valeurs propres et ses vecteurs propres ?

Elle possède une seule valeur propre réelle et ses vecteurs propres peuvent être choisis orthogonaux
Elle possède nn valeurs propres complexes distinctes et ses vecteurs propres sont parallèles
Elle possède nn valeurs propres réelles, mais ses vecteurs propres associés sont nécessairement non orthogonaux
Elle possède nn valeurs propres réelles, multiplicités comprises, et des vecteurs propres orthogonaux peuvent être choisis

Elle possède $$n$$ valeurs propres réelles, multiplicités comprises, et des vecteurs propres orthogonaux peuvent être choisis

Explication

Toute matrice réelle symétrique d’ordre nn a nn valeurs propres réelles en comptant les multiplicités, et l’on peut choisir des vecteurs propres orthogonaux. La symétrie ne garantit pas que les valeurs propres soient toutes distinctes.

17. Dans un système homogène dépendant d’un paramètre λ\lambda, quand le déterminant séculaire garantit-il une solution non triviale ?

Lorsque le système possède autant d’équations que d’inconnues
Lorsque le déterminant des coefficients s’annule
Lorsque tous les coefficients dépendent linéairement de λ\lambda
Lorsque le déterminant des coefficients vaut un

Lorsque le déterminant des coefficients s’annule

Explication

Un système homogène admet une solution non triviale lorsque le déterminant de sa matrice de coefficients, appelé déterminant séculaire, est nul. Le simple fait que le système soit carré ne garantit pas une solution non triviale.

18. Dans l’écriture d’un nombre complexe z=a+ibz=a+ib, où aa et bb sont réels, que représentent aa et bb ?

aa est la partie imaginaire et bb la partie réelle
aa est le module et bb la partie réelle
aa est le conjugué et bb le module
aa est la partie réelle et bb la partie imaginaire

$$a$$ est la partie réelle et $$b$$ la partie imaginaire

Explication

Dans la forme a+iba+ib, le coefficient réel aa est la partie réelle et le coefficient réel bb est la partie imaginaire. Inverser leurs rôles confond le coefficient de ii avec la partie réelle.

19. Quel est le résultat de la multiplication de a+bia+bi par a′+b′ia′+b′i ?

(aa′+bb′)+(ab′−ba′)i(aa′+bb′)+(ab′-ba′)i
(aa′−bb′)+(ab′+ba′)i(aa′-bb′)+(ab′+ba′)i
(aa′+bb′)+(ab′+ba′)i(aa′+bb′)+(ab′+ba′)i
(aa′−bb′)+(ab′−ba′)i(aa′-bb′)+(ab′-ba′)i

$$(aa′-bb′)+(ab′+ba′)i$$

Explication

En développant le produit et en utilisant i2=−1i^2=-1, la partie réelle devient aa′−bb′aa′-bb′ et le coefficient de ii devient ab′+ba′ab′+ba′. Une partie réelle contenant +bb′+bb′ ne tient pas compte du signe négatif de i2i^2.

20. Pour z=a+biz=a+bi, quelle relation donne son conjugué et le produit de ces deux nombres ?

zˉ=−a+bi\bar z=-a+bi et zzˉ=a2+b2z\bar z=a^2+b^2, un réel positif
zˉ=a−bi\bar z=a-bi et zzˉ=a2+b2z\bar z=a^2+b^2, un réel positif
zˉ=a+bi\bar z=a+bi et zzˉ=a2−b2z\bar z=a^2-b^2, un réel positif
zˉ=a−bi\bar z=a-bi et zzˉ=a2−b2z\bar z=a^2-b^2, un réel positif

$$\bar z=a-bi$$ et $$z\bar z=a^2+b^2$$, un réel positif

Explication

Le conjugué change le signe de la partie imaginaire, et le produit vaut a2+b2a^2+b^2, un réel positif. Le produit a2−b2a^2-b^2 ne résulte pas de la multiplication d’un complexe par son conjugué.

21. Pour effectuer la division d’un nombre complexe z1z_1 par un complexe non nul z2z_2, quelle méthode rend le dénominateur réel ?

Multiplier le numérateur et le dénominateur par z2z_2
Remplacer le dénominateur par zéro avant de simplifier
Multiplier le numérateur par le conjugué de z2z_2 et laisser le dénominateur inchangé
Multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué de z2z_2

Multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué de $$z_2$$

Explication

Multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué de z2z_2 transforme le dénominateur en un réel. Multiplier seulement le numérateur ne préserve pas le quotient et ne rend pas le dénominateur réel.

22. Comment calcule-t-on le module du nombre complexe z=a+biz=a+bi ?

∣z∣=a2−b2=zzˉ|z|=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{z\bar z}
∣z∣=a2+b2=zzˉ|z|=a^2+b^2=\sqrt{z\bar z}
∣z∣=a+b=z+zˉ|z|=a+b=\sqrt{z+\bar z}
∣z∣=a2+b2=zzˉ|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{z\bar z}

$$|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{z\bar z}$$

Explication

Le module est la racine carrée de la somme des carrés des parties réelle et imaginaire, et il vaut aussi zzˉ\sqrt{z\bar z}. La différence des carrés ne donne pas le module général.

23. Quelle expression donne la forme polaire d’un nombre complexe non nul, avec son module rr et un argument θ\theta ?

z=θ(cos⁡r+isin⁡r)z=\theta(\cos r+i\sin r)
z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z=r(\cos\theta+i\sin\theta)
z=r(cos⁡θ−isin⁡θ)z=r(\cos\theta-i\sin\theta)
z=r(sin⁡θ+icos⁡θ)z=r(\sin\theta+i\cos\theta)

$$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$$

Explication

La forme polaire combine le module r=∣z∣r=|z| et un argument θ\theta sous la forme r(cos⁡θ+isin⁡θ)r(\cos\theta+i\sin\theta). L’expression avec le sinus et le cosinus intervertis ne représente pas la formule générale.

24. Si deux nombres complexes sont écrits en forme polaire, comment obtient-on le module et un argument de leur produit ?

On multiplie les modules et on additionne les arguments.
On multiplie les modules et on soustrait les arguments.
On divise les modules et on additionne les arguments.
On additionne les modules et on multiplie les arguments.

On multiplie les modules et on additionne les arguments.

Explication

Le produit a pour module le produit des modules et pour argument la somme des arguments. La soustraction des arguments intervient pour un quotient, et non pour le produit.

25. Quelle relation, attribuée à Euler en 1743, relie l’exponentielle complexe au cosinus et au sinus pour tout réel xx ?

eix=cos⁡x+isin⁡xe^{ix}=\cos x+i\sin x
eix=cos⁡x−isin⁡xe^{ix}=\cos x-i\sin x
eix=cos⁡(ix)+isin⁡(ix)e^{ix}=\cos(ix)+i\sin(ix)
eix=sin⁡x+icos⁡xe^{ix}=\sin x+i\cos x

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$

Explication

La formule d’Euler exprime eixe^{ix} comme cos⁡x+isin⁡x\cos x+i\sin x pour tout réel xx. Le signe moins devant le terme imaginaire correspond à une relation différente, celle de e−ixe^{-ix}.

26. Quelle propriété caractérise une fonction de son domaine de définition vers un ensemble d’arrivée ?

À chaque élément du domaine, elle associe un et un seul élément de l’ensemble d’arrivée.
À chaque élément de l’ensemble d’arrivée, elle associe un et un seul élément du domaine.
À chaque élément du domaine, elle associe au moins deux éléments de l’ensemble d’arrivée.
À chaque élément de l’ensemble d’arrivée, elle associe au plus un élément du domaine.

À chaque élément du domaine, elle associe un et un seul élément de l’ensemble d’arrivée.

Explication

Une fonction attribue une valeur unique de l’ensemble d’arrivée à chacun des éléments de son domaine. L’énoncé qui part de chaque élément de l’ensemble d’arrivée décrit plutôt une condition portant sur les antécédents.

27. Quelle condition permet de reconnaître qu’une fonction est surjective ?

Chaque élément de l’ensemble d’arrivée possède au moins un antécédent.
Chaque élément du domaine possède au moins une image distincte.
Chaque élément de l’ensemble d’arrivée possède au plus un antécédent.
Chaque élément de l’ensemble d’arrivée possède exactement deux antécédents.

Chaque élément de l’ensemble d’arrivée possède au moins un antécédent.

Explication

La surjectivité exige que tout élément de l’ensemble d’arrivée soit l’image d’au moins un élément du domaine. La condition « au plus un antécédent » caractérise l’injectivité, pas la surjectivité.

28. Quelle condition définit l’injectivité d’une fonction ?

Chaque élément de l’ensemble d’arrivée possède au plus un antécédent.
Chaque élément du domaine possède au moins deux images distinctes.
Chaque élément de l’ensemble d’arrivée possède exactement un antécédent.
Chaque élément de l’ensemble d’arrivée possède au moins un antécédent.

Chaque élément de l’ensemble d’arrivée possède au plus un antécédent.

Explication

Une fonction injective ne peut associer une même valeur d’arrivée à plus d’un antécédent. Exiger au moins un antécédent pour chaque valeur d’arrivée correspond à la surjectivité.

29. Quelle affirmation décrit correctement la périodicité et la parité du sinus et du cosinus ?

Les deux fonctions sont π\pi-périodiques, et elles sont toutes deux impaires.
Les deux fonctions sont π\pi-périodiques, le sinus est pair et le cosinus est impair.
Les deux fonctions sont 2π2\pi-périodiques, le sinus est pair et le cosinus est impair.
Les deux fonctions sont 2π2\pi-périodiques, le sinus est impair et le cosinus est pair.

Les deux fonctions sont $$2\pi$$-périodiques, le sinus est impair et le cosinus est pair.

Explication

Le sinus et le cosinus ont tous deux pour période 2π2\pi, mais le sinus est impair tandis que le cosinus est pair. L’inversion de leurs parités est une confusion fréquente.

30. Que signifie que f(x)f(x) tend vers ℓ\ell lorsque xx tend vers x0x_0 ?

Les valeurs de xx deviennent aussi proches que souhaité de ℓ\ell lorsque f(x)f(x) est proche de x0x_0.
La valeur de f(x0)f(x_0) est nécessairement égale à ℓ\ell, quelle que soit la limite.
Les valeurs de f(x)f(x) deviennent égales à ℓ\ell dès que xx est suffisamment proche de x0x_0.
Les valeurs de f(x)f(x) deviennent aussi proches que souhaité de ℓ\ell lorsque xx est suffisamment proche de x0x_0.

Les valeurs de $$f(x)$$ deviennent aussi proches que souhaité de $$\ell$$ lorsque $$x$$ est suffisamment proche de $$x_0$$.

Explication

La limite décrit le rapprochement des valeurs de la fonction vers ℓ\ell lorsque la variable s’approche de x0x_0. Elle n’exige pas que ces valeurs deviennent exactement égales à ℓ\ell près de x0x_0.

31. À quelle condition une fonction est-elle continue en x0x_0 ?

Elle possède une valeur en x0x_0, même si sa limite n’existe pas.
Elle admet en x0x_0 une limite différente de sa valeur f(x0)f(x_0).
Elle admet une limite en x0x_0, même si elle n’y est pas définie.
Elle admet en x0x_0 une limite égale à sa valeur f(x0)f(x_0).

Elle admet en $$x_0$$ une limite égale à sa valeur $$f(x_0)$$.

Explication

La continuité en x0x_0 demande que la limite en ce point existe et soit égale à f(x0)f(x_0). Avoir une limite sans que la fonction soit définie en x0x_0 ne suffit pas à établir la continuité.

32. Une fonction continue sur [a,b][a,b] est étudiée sur cet intervalle fermé et borné : quelle conclusion garantit le théorème des extrema ?

Elle possède une limite finie à chaque point de l’intervalle, sans garantir d’extrema.
Elle atteint un maximum, mais pas nécessairement un minimum sur cet intervalle.
Elle atteint un minimum, mais pas nécessairement un maximum sur cet intervalle.
Elle atteint un maximum et un minimum sur cet intervalle.

Elle atteint un maximum et un minimum sur cet intervalle.

Explication

Toute fonction continue sur un intervalle fermé et borné atteint à la fois un maximum et un minimum. La même garantie ne découle pas de ce théorème pour un intervalle ouvert comme ]0,1[]0,1[.

33. Que représente géométriquement la dérivée de ff en un point x0x_0, lorsqu’elle existe ?

La pente de la tangente au graphe de ff en x0x_0
L’aire comprise entre le graphe et l’axe des abscisses en x0x_0
L’ordonnée du graphe de ff au point x0x_0
La longueur de l’arc du graphe autour de x0x_0

La pente de la tangente au graphe de $$f$$ en $$x_0$$

Explication

La limite du taux d’accroissement définit la pente de la tangente au graphe en x0x_0. L’ordonnée en x0x_0 donne la valeur de la fonction, et non sa dérivée.

34. Pour dériver le produit de deux fonctions dérivables ff et gg, quelle formule faut-il appliquer ?

(fg)′=f′g+fg′(fg)'=f'g+fg'
(fg)′=f+g′(fg)'=f+g'
(fg)′=f′g−fg′(fg)'=f'g-fg'
(fg)′=f′g′(fg)'=f'g'

$$(fg)'=f'g+fg'$$

Explication

La dérivée d’un produit est la somme de f′gf'g et de fg′fg'. Multiplier les dérivées, comme dans un distracteur plausible, ne donne pas la règle du produit.

35. Sur un intervalle, que peut-on conclure si une fonction dérivable vérifie f′(x)≥0f'(x)\geq 0 en tout point ?

Elle est croissante sur cet intervalle.
Elle est décroissante sur cet intervalle.
Elle est constante sur cet intervalle.
Elle est convexe sur cet intervalle.

Elle est croissante sur cet intervalle.

Explication

Une dérivée positive ou nulle sur un intervalle caractérise une fonction croissante sur cet intervalle. La décroissance correspond au signe opposé, f′≤0f'\leq 0.

36. Quelle condition définit une primitive FF d’une fonction ff sur un intervalle ?

FF est dérivable et F′=f′F'=f'.
FF est dérivable et F′=fF'=f.
FF est intégrable et F=fF=f.
FF est continue et F=f′F=f'.

$$F$$ est dérivable et $$F'=f$$.

Explication

Une primitive est une fonction dérivable dont la dérivée est la fonction donnée. La condition F′=f′F'=f' ne suffit pas, car elle ne relie pas la dérivée de FF à ff.

37. Si FF est une primitive de ff sur un intervalle, sous quelle forme s’écrivent toutes les primitives de ff sur cet intervalle ?

F−CxF-Cx, où CC est une constante réelle
F′+CF'+C, où CC est une constante réelle
F+CF+C, où CC est une constante réelle
CFCF, où CC est une constante réelle

$$F+C$$, où $$C$$ est une constante réelle

Explication

Toutes les primitives d’une même fonction sur l’intervalle diffèrent de FF par une constante réelle. Multiplier FF par une constante modifie généralement sa dérivée et ne fournit donc pas toutes les primitives.

38. On connaît une primitive GG de gg. Quelle primitive obtient-on pour l’intégrande g(u(x))u′(x)g(u(x))u'(x) ?

G(u(x))+CG(u(x))+C
u(G(x))+Cu(G(x))+C
G(u′(x))+CG(u'(x))+C
G′(u(x))u′(x)+CG'(u(x))u'(x)+C

$$G(u(x))+C$$

Explication

Le changement de variable donne G(u(x))+CG(u(x))+C, car la dérivée de cette expression est g(u(x))u′(x)g(u(x))u'(x). La dérivée G′G' apparaît dans la dérivation de la composée, mais ne remplace pas la primitive cherchée.

39. Quelle égalité exprime l’intégration par parties pour des fonctions dérivables uu et vv ?

∫u(x)v′(x) dx=u(x)v′(x)−∫u′(x)v′(x) dx\int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v'(x)-\int u'(x)v'(x)\,dx
∫u(x)v′(x) dx=u′(x)v(x)−∫u(x)v(x) dx\int u(x)v'(x)\,dx=u'(x)v(x)-\int u(x)v(x)\,dx
∫u(x)v′(x) dx=u(x)v(x)−∫u′(x)v(x) dx\int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx
∫u(x)v′(x) dx=u(x)v(x)+∫u′(x)v(x) dx\int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)+\int u'(x)v(x)\,dx

$$\int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx$$

Explication

L’intégration par parties associe le produit uvuv à une intégrale soustraite, ∫u′v dx\int u'v\,dx. Le signe plus dans un distracteur est incompatible avec cette identité.

40. Comment l’intégrale définie d’une fonction continue sur [a,b][a,b] est-elle construite à partir des sommes de Riemann ?

Comme la moyenne des valeurs f(xk)f(x_k) lorsque la largeur Δx\Delta x tend vers zéro
Comme la somme exacte des valeurs f(xk)f(x_k), sans les multiplier par la largeur des intervalles
Comme la limite des sommes ∑k=1nf′(xk)Δx\sum_{k=1}^{n} f'(x_k)\Delta x lorsque nn tend vers l’infini
Comme la limite des sommes ∑k=1nf(xk)Δx\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\Delta x lorsque nn tend vers l’infini, avec Δx=(b−a)/n\Delta x=(b-a)/n

Comme la limite des sommes $$\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\Delta x$$ lorsque $$n$$ tend vers l’infini, avec $$\Delta x=(b-a)/n$$

Explication

L’intégrale est la limite des sommes des valeurs de la fonction pondérées par la largeur Δx\Delta x des intervalles. Les sommes de dérivées portent sur f′f', et ne définissent pas l’intégrale de ff.

41. Lorsque ff est positive sur [a,b][a,b], que représente ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx géométriquement ?

La valeur moyenne de ff aux deux extrémités de l’intervalle
L’aire sous le graphe de ff entre aa et bb
La pente de la tangente au graphe à l’extrémité bb
La longueur du graphe de ff entre aa et bb

L’aire sous le graphe de $$f$$ entre $$a$$ et $$b$$

Explication

Lorsque la fonction est positive sur l’intervalle, son intégrale définie représente l’aire sous son graphe. La pente en une extrémité dépend de la dérivée et ne mesure pas cette aire.

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Quelles caractéristiques définissent un vecteur ?

Une direction, un sens et une norme.

Comment représente-t-on un vecteur ?

Par un segment orienté.

À quelles conditions deux vecteurs sont-ils égaux ?

Ils ont la même direction, le même sens et la même norme.

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