Fiche de révision : Mathématiques pour la chimie

📋 Plan du Cours

1. Vecteurs et opérations fondamentales
2. Produits scalaires et vectoriels
3. Matrices et opérations
4. Déterminants et systèmes linéaires
5. Valeurs propres et orbitales moléculaires
6. Nombres complexes et conjugaison
7. Formes polaire et exponentielle
8. Fonctions et propriétés générales
9. Limites et continuité
10. Dérivées et étude des fonctions
11. Primitives et techniques d’intégration
12. Intégrales définies et aire

📖 1. Vecteurs et opérations fondamentales

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : Objet caractérisé par une direction, un sens et une norme, représenté par un segment orienté.

★ À maîtriser

📌 Deux vecteurs sont égaux si et seulement s’ils ont la même direction, le même sens et la même norme.

• Si u = AB et v = BC, alors la somme des vecteurs est u + v = AC.

Compléments

📌 La multiplication d’un vecteur v par un scalaire c conserve sa direction si c est positif, l’inverse si c est négatif, et donne une norme égale à |c| fois celle de v.

📖 2. Produits scalaires et vectoriels

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls u et v vaut le nombre réel $u\cdot v=\|u\|\|v\|\cos\theta$, où θ est leur angle ; il vaut 0 si l’un des vecteurs est nul.
• Produit vectoriel : Le produit vectoriel de u = (x,y,z) et v = (x′,y′,z′) est le vecteur (yz′ − zy′, zx′ − xz′, xy′ − yx′), orthogonal à u et v.
• Produit mixte : Le produit mixte de trois vecteurs u, v et w est le nombre u · (v × w), dont la valeur absolue correspond au volume du parallélépipède qu’ils engendrent.

★ À maîtriser

📌 Le produit scalaire est commutatif et distributif : u · v = v · u et u · (v + w) = u · v + u · w.

📌 Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

• La norme du produit vectoriel vaut $\|u\times v\|=\|u\|\|v\|\sin\theta$ et représente l’aire du parallélogramme engendré par u et v.

Compléments

• Dans un repère orthonormé du plan, si u = (x,y) et v = (x′,y′), alors u · v = xx′ + yy′.

💡 Astuce mémo

Le produit scalaire donne un nombre ; le produit vectoriel donne un vecteur.

📖 3. Matrices et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice : Tableau rectangulaire de m × n nombres rangés ligne par ligne.
• Matrice identité : La matrice identité In est une matrice carrée dont les coefficients diagonaux valent 1 et les autres coefficients valent 0.
• Matrice transposée : La matrice transposée At s’obtient en échangeant les lignes et les colonnes de A.
• Matrice orthogonale : Une matrice réelle carrée A est orthogonale si AtA = In, de manière équivalente si A−1 = At.

📝 Points essentiels

• Le produit AB est défini si le nombre de colonnes de A égale le nombre de lignes de B ; si A est de taille m × n et B de taille n × p, AB est de taille m × p et ses coefficients vérifient $c_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$.

📌 La multiplication matricielle n’est pas commutative en général : AB n’est pas nécessairement égal à BA.

📖 4. Déterminants et systèmes linéaires

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une matrice carrée d’ordre 2, $\det(A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$.

📌 Une matrice carrée A est inversible si et seulement si det(A) ≠ 0 ; si A est inversible, le système Ax = b admet la solution unique x = A−1b.

Compléments

• Pour calculer un déterminant d’ordre n ≥ 3, on choisit une ligne ou une colonne et on développe en somme de coefficients multipliés par leurs cofacteurs.

• Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit de ses coefficients diagonaux, et det(AB) = det(A)det(B).

📐 Formule - La règle de Cramer donne $x_j=\frac{\det(A_j)}{\det(A)}$ pour 1 ≤ j ≤ n, où Aj remplace la colonne j de A par b.

• Un système linéaire peut admettre une solution unique, une infinité de solutions ou aucune solution ; si sa matrice est non inversible et b = 0, il admet une infinité de solutions.

📖 5. Valeurs propres et orbitales moléculaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur propre : Un scalaire λ est une valeur propre de A s’il existe un vecteur non nul x tel que Ax = λx ; x est alors un vecteur propre associé à λ.
• Déterminant séculaire : Le déterminant séculaire est le déterminant des coefficients d’un système homogène dépendant d’un paramètre λ ; une solution non triviale existe lorsque ce déterminant est nul.

★ À maîtriser

📌 La condition nécessaire et suffisante pour que λ soit une valeur propre de A est det(A − λIn) = 0, équation caractéristique de degré n.

• Une matrice réelle symétrique d’ordre n possède n valeurs propres réelles en comptant les multiplicités, et ses vecteurs propres peuvent être choisis orthogonaux.

Compléments

• Dans l’approximation par deux orbitales atomiques, la fonction d’onde moléculaire s’écrit ψ = ciϕi + cjϕj, et l’équation séculaire admet deux énergies solutions E1 et E2.

📐 Formule - Pour deux orbitales atomiques, l’équation séculaire obtenue dans le cours est $E^2(1-S^2)-E(H_{ii}+H_{jj}-2SH_{ij})+H_{ii}H_{jj}-H_{ij}^2=0$.

💡 Astuce mémo

Déterminant séculaire nul → énergies propres admissibles.

📖 6. Nombres complexes et conjugaison

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre complexe : Un nombre complexe s’écrit z = a + ib, où a et b sont réels ; a est sa partie réelle et b sa partie imaginaire.
• Conjugué : Le conjugué de z = a + bi est z̄ = a − bi, et le produit z z̄ = a² + b² est un réel positif.

★ À maîtriser

📐 Formule - L’addition de deux nombres complexes vérifie $(a+bi)+(a′+b′i)=(a+a′)+(b+b′)i$.

📐 Formule - La multiplication de deux nombres complexes vérifie $(a+bi)(a′+b′i)=(aa′-bb′)+(ab′+ba′)i$.

Compléments

• Euler introduit vers 1740 la notation i pour désigner √−1, ce qui donne formellement i² = −1. - Léonard Euler

• Pour diviser z1 par z2 non nul, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué de z2 afin de rendre le dénominateur réel.

📖 7. Formes polaire et exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Module : Le module du nombre complexe z = a + bi est $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{z\bar z}$.
• Forme polaire : La forme polaire d’un complexe est z = r(cos θ + i sin θ), où r = |z| et θ est un argument de z.

★ À maîtriser

• Pour z1 et z2 en forme polaire, le module de leur produit est le produit des modules et un argument du produit est la somme des arguments.

📐 Formule - La formule de Moivre donne $[r(\cos\theta+i\sin\theta)]^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))$ pour tout entier n.

📐 Formule - La formule d’Euler, attribuée à Euler en 1743, est $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ pour tout réel x.

Compléments

• Pour z1 et z2 non nuls en forme polaire, le module de leur quotient est le quotient des modules et un argument du quotient est la différence des arguments.

💡 Astuce mémo

En forme polaire, les modules se multiplient et les arguments s’additionnent.

📖 8. Fonctions et propriétés générales

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Une fonction associe à chaque élément de son domaine de définition un et un seul élément de son ensemble d’arrivée.
• Surjection : Une fonction est surjective si chaque élément de son ensemble d’arrivée possède au moins un antécédent.
• Injection : Une fonction est injective si chaque élément de son ensemble d’arrivée possède au plus un antécédent.
• Bijection : Une fonction est bijective si chaque élément de son ensemble d’arrivée possède exactement un antécédent.

📝 Points essentiels

• Le domaine de définition de la somme et du produit de deux fonctions est l’intersection de leurs domaines de définition.

📌 La composée g ◦ f est définie par (g ◦ f)(x) = g(f(x)) et son domaine contient les x du domaine de f tels que f(x) appartient au domaine de g.

💡 Astuce mémo

Injective : au plus un antécédent ; surjective : au moins un.

📖 9. Limites et continuité

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite : La limite de f(x) quand x tend vers x0 vaut ℓ si f(x) devient aussi proche que l’on veut de ℓ lorsque x est suffisamment proche de x0.
• Continuité : Une fonction est continue en x0 si elle admet une limite en x0 égale à sa valeur f(x0).
• Fonction paire : Une fonction est paire si son domaine est symétrique par rapport à zéro et si f(−x) = f(x).
• Fonction périodique : Une fonction est périodique s’il existe T > 0 tel que, pour tout x de son domaine, x + T appartient au domaine et f(x + T) = f(x).

★ À maîtriser

• Les fonctions sinus et cosinus sont 2π-périodiques ; le sinus est impair et le cosinus est pair.

📌 Toute fonction continue sur un intervalle fermé et borné [a,b] atteint un maximum et un minimum sur cet intervalle.

Compléments

📌 Une fonction peut avoir des limites à gauche et à droite différentes en un point, auquel cas sa limite en ce point n’existe pas.

📖 10. Dérivées et étude des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée : La dérivée de f en x0 est la limite $f′(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ lorsqu’elle existe ; elle représente la pente de la tangente au graphe en x0.
• Convexité : Une fonction est convexe lorsque toute corde entre deux points de son graphe est au-dessus de la portion du graphe comprise entre ces points.

★ À maîtriser

• La dérivée d’un produit vérifie (fg)′ = f′g + fg′, et celle d’une composée vérifie (g ◦ f)′(x) = g′(f(x))f′(x).

📌 Sur un intervalle, une fonction dérivable est croissante si et seulement si f′ ≥ 0, décroissante si et seulement si f′ ≤ 0, et constante si et seulement si f′ = 0.

Compléments

• Si f est dérivable et admet un extremum en un point intérieur c, alors f′(c) = 0.

📌 Si f est deux fois dérivable, f′′ ≥ 0 implique que f est convexe et f′′ ≤ 0 implique que f est concave.

💡 Astuce mémo

Le signe de la dérivée commande le sens de variation.

📖 11. Primitives et techniques d’intégration

🔑 Notions clés & Définitions

• Primitive : Fonction dérivable telle que F′ = f.

★ À maîtriser

📌 Si F est une primitive de f sur un intervalle, toutes les primitives de f sur cet intervalle sont de la forme F + C, où C est une constante réelle.

📐 Formule - La formule de changement de variable donne $\int g(u(x))u′(x)\,dx=G(u(x))+C$ lorsqu’une primitive G de g est connue.

📐 Formule - L’intégration par parties vérifie $\int u(x)v′(x)\,dx=u(x)v(x)-\int u′(x)v(x)\,dx$.

Compléments

📐 Formule - Pour n ≠ −1, $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ sur les domaines où l’expression est définie.

• Une primitive de x²eˣ est (2 − 2x + x²)eˣ.

📖 12. Intégrales définies et aire

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale définie : Pour une fonction continue sur [a,b], l’intégrale définie est la limite des sommes de Riemann $\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\Delta x$, avec une subdivision en n intervalles de largeur Δx = (b − a)/n.

★ À maîtriser

📌 Si F est une primitive de f continue sur [a,b], alors $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$.

• Si f est positive sur [a,b], son intégrale définie sur cet intervalle représente l’aire sous son graphe.

Compléments

📌 Les intégrales vérifient la relation de Chasles $\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx$ lorsque f est continue sur un intervalle contenant a, b et c.

• L’intégrale de a à a vaut 0, et inverser les bornes change le signe : $\int_b^a f(x)\,dx=-\int_a^b f(x)\,dx$.