Fiche de révision : Mathématiques Première ST2S

📋 Plan du Cours

1. Nombres et calculs fondamentaux
2. Calcul littéral et équations
3. Notion et représentation des fonctions
4. Fonctions affines et linéaires
5. Fonctions du second degré
6. Variations et extremums
7. Pourcentages et évolutions
8. Séries statistiques et fréquences
9. Moyenne, médiane et dispersion
10. Représentations statistiques
11. Probabilités et événements
12. Suites numériques et évolutions
13. Tableur et lecture graphique

📖 1. Nombres et calculs fondamentaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Notation scientifique : La notation scientifique écrit un nombre sous la forme $a\times10^n$, avec $1\leq|a|<10$ et n entier.

★ À maîtriser

• Les ensembles de nombres sont emboîtés selon $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$, et un rationnel s’écrit comme une fraction de deux entiers à dénominateur non nul.

• Pour un calcul comportant plusieurs opérations, on effectue les parenthèses, puis les puissances, puis multiplications et divisions de gauche à droite, puis additions et soustractions de gauche à droite.

• Pour additionner ou soustraire des fractions, on les met au même dénominateur ; pour les multiplier, on multiplie numérateurs et dénominateurs ; pour les diviser, on multiplie par l’inverse de la seconde fraction.

📐 Formule - Les puissances vérifient $a^m\times a^n=a^{m+n}$, $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ pour $a\ne0$, $(a^m)^n=a^{mn}$, $a^0=1$ et $a^{-n}=\frac1{a^n}$ pour $a\ne0$.

Compléments

📌 La division par zéro est impossible, et multiplier ou diviser deux nombres relatifs donne un résultat positif si leurs signes sont identiques et négatif si leurs signes sont différents.

💡 Astuce mémo

Parenthèses, puissances, multiplications, additions : l’ordre des opérations.

📖 2. Calcul littéral et équations

🔑 Notions clés & Définitions

• Réduction : Regrouper les termes de même nature.
• Factorisation : Écrire une expression sous la forme d’un produit en mettant un facteur commun en évidence.
• Équation : Égalité contenant une inconnue, dont la résolution consiste à trouver les valeurs qui la rendent vraie.

📝 Points essentiels

📐 Formule - La distributivité s’écrit $a(b+c)=ab+ac$.

📌 Lorsqu’on multiplie ou divise une inéquation par un nombre strictement négatif, on inverse le sens de l’inégalité.

💡 Astuce mémo

Développer disperse le facteur ; factoriser le remet en évidence.

📖 3. Notion et représentation des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Règle qui associe à chaque nombre x un unique nombre appelé son image.

★ À maîtriser

📌 Calculer l’image de x consiste à évaluer f(x), tandis que chercher un antécédent d’une valeur consiste à résoudre l’équation f(x) égale à cette valeur.

Compléments

• Un tableau de valeurs rassemble plusieurs couples constitués d’une valeur x et de son image f(x), et peut servir à tracer la représentation graphique.

• Sur la représentation graphique d’une fonction, l’axe horizontal porte x, l’axe vertical porte f(x), et chaque point a pour coordonnées (x ; f(x)).

• Pour résoudre graphiquement f(x)=k, on repère les intersections de la courbe avec la droite horizontale y=k, dont les abscisses sont les solutions.

• Pour résoudre graphiquement f(x)>k ou f(x)≤k, on repère respectivement les abscisses où la courbe est au-dessus de la droite y=k ou en dessous d’elle ou sur elle.

💡 Astuce mémo

Image : on connaît x ; antécédent : on connaît f(x).

📖 4. Fonctions affines et linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction linéaire : Une fonction linéaire est de la forme $f(x)=ax$ et sa représentation graphique est une droite passant par l’origine.
• Fonction affine : Une fonction affine est de la forme $f(x)=ax+b$, où a est le coefficient directeur et b l’ordonnée à l’origine.

★ À maîtriser

📌 Pour une fonction affine, a>0 implique une fonction croissante, a<0 une fonction décroissante et a=0 une fonction constante sur $\mathbb{R}$.

Compléments

📐 Formule - Pour une droite passant par deux points distincts, son coefficient directeur est $a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.

• Un coût fixe de 12 euros et un coût variable de 4 euros par analyse donnent le modèle $C(x)=4x+12$, soit 92 euros pour 20 analyses.

💡 Astuce mémo

La linéaire passe par l’origine ; l’affine coupe l’axe vertical en b.

📖 5. Fonctions du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction du second degré : Une fonction du second degré s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$, et sa représentation graphique est une parabole.

★ À maîtriser

📌 Dans une fonction du second degré, si a>0 la parabole est tournée vers le haut et son sommet est un minimum ; si a<0 elle est tournée vers le bas et son sommet est un maximum.

📐 Formule - Pour $f(x)=ax^2+bx+c$, l’abscisse du sommet est $x_S=-\frac{b}{2a}$ et son ordonnée est $y_S=f(x_S)$.

📐 Formule - Pour $ax^2+bx+c=0$, le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$ ; si $\Delta>0$ il y a deux solutions réelles distinctes, si $\Delta=0$ une solution réelle double, et si $\Delta<0$ aucune solution réelle.

Compléments

📌 Un produit est nul si au moins un de ses facteurs est nul, ce qui permet de résoudre certaines équations du second degré après factorisation.

📐 Formule - Lorsque $\Delta\geq0$, les solutions de $ax^2+bx+c=0$ sont $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

💡 Astuce mémo

Une parabole tournée vers le haut porte son minimum au sommet.

📖 6. Variations et extremums

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction croissante : Sur un intervalle, lorsque x augmente, sa valeur ne diminue pas.
• Fonction décroissante : Sur un intervalle, lorsque x augmente, sa valeur ne monte pas.

★ À maîtriser

📌 Le minimum d’une fonction est sa plus petite valeur sur l’ensemble étudié, tandis que son maximum est sa plus grande valeur sur cet ensemble.

Compléments

• Pour $f(x)=(x-3)^2+2$, le minimum vaut 2 et est atteint en x=3, car un carré est toujours positif ou nul.

• Un tableau de variations résume les intervalles de croissance et de décroissance ainsi que les extrema d’une fonction.

💡 Astuce mémo

Pour un minimum : la fonction décroît, atteint son creux, puis croît.

📖 7. Pourcentages et évolutions

★ À maîtriser

📐 Formule - La part correspondant à p % d’un total se calcule par $\text{Part}=\text{Total}\times\frac{p}{100}$.

📐 Formule - Le pourcentage correspondant à une part se calcule par $\text{Pourcentage}=\frac{\text{Part}}{\text{Total}}\times100$.

📐 Formule - Une augmentation de p % s’effectue en multipliant par $1+\frac{p}{100}$, et une diminution de p % en multipliant par $1-\frac{p}{100}$.

📐 Formule - Le taux d’évolution d’une valeur initiale vers une valeur finale est $t=\frac{V_f-V_i}{V_i}$.

Compléments

• Pour des évolutions successives, le coefficient multiplicateur global est le produit des coefficients, et le taux global vaut ce produit moins 1.

💡 Astuce mémo

Une hausse multiplie par 1+t ; une baisse par 1−t.

📖 8. Séries statistiques et fréquences

🔑 Notions clés & Définitions

• Série statistique : Ensemble de données recueillies lors d’une étude.
• Effectif : Nombre de fois où une valeur apparaît dans la série ; l’effectif total est le nombre de données recueillies.

★ À maîtriser

📌 Un caractère qualitatif décrit une catégorie, un caractère quantitatif discret prend des valeurs dénombrables, et un caractère quantitatif continu représente une mesure pouvant prendre une multitude de valeurs.

📐 Formule - La fréquence d’une valeur est $f_i=\frac{n_i}{N}$ et sa fréquence en pourcentage est $f_i(\%)=\frac{n_i}{N}\times100$ ; les fréquences totalisent 1, soit 100 %, si toutes les catégories sont représentées.

Compléments

📐 Formule - L’effectif total est la somme des effectifs, soit $N=\sum n_i$.

• Les effectifs cumulés croissants s’obtiennent en additionnant successivement les effectifs et permettent notamment de déterminer médiane et quartiles.

📖 9. Moyenne, médiane et dispersion

🔑 Notions clés & Définitions

• Médiane : D’une série ordonnée, valeur qui partage les observations en deux groupes contenant chacun environ la moitié des valeurs.
• Quartiles : Le premier quartile Q1 est une valeur à laquelle au moins 25 % des données sont inférieures ou égales, et le troisième quartile Q3 en est une à laquelle au moins 75 % sont inférieures ou égales.

★ À maîtriser

📐 Formule - La moyenne simple est $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_N}{N}$, et la moyenne pondérée est $\bar{x}=\frac{\sum n_ix_i}{N}$.

📐 Formule - L’étendue est $E=x_{\max}-x_{\min}$ et l’écart interquartile est $IQR=Q_3-Q_1$.

Compléments

• Pour déterminer une médiane, on ordonne les valeurs, puis on prend la valeur centrale si l’effectif est impair ou la moyenne des deux valeurs centrales si l’effectif est pair.

📐 Formule - Dans la convention indiquée, Q1 est la valeur de rang $\lceil N/4\rceil$ et Q3 celle de rang $\lceil3N/4\rceil$, les rangs étant déterminés dans la série ordonnée.

💡 Astuce mémo

La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes ; la médiane l’est moins.

📖 10. Représentations statistiques

★ À maîtriser

• Un diagramme en bâtons représente des catégories ou des valeurs discrètes par des bâtons dont la hauteur correspond à l’effectif ou à la fréquence.

• Un histogramme représente généralement des données quantitatives continues regroupées en classes.

📌 Dans un histogramme à classes de largeurs différentes, l’aire des rectangles représente les effectifs et non leur seule hauteur.

Compléments

• Dans un diagramme circulaire, l’angle d’une catégorie vaut sa fréquence multipliée par $360^\circ$.

• Un diagramme en boîte représente notamment le minimum, Q1, la médiane, Q3 et le maximum, et permet de comparer des séries et leur dispersion.

💡 Astuce mémo

Pour des classes d’amplitudes inégales, l’aire de l’histogramme représente l’effectif.

📖 11. Probabilités et événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Événement : Une expérience aléatoire a un résultat incertain, l’univers Ω est l’ensemble de ses issues possibles et un événement est un ensemble de résultats possibles.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un cas équiprobable, la probabilité d’un événement est $P(A)=\frac{\text{nombre d’issues favorables}}{\text{nombre total d’issues}}$.

📌 Toute probabilité vérifie $0\leq P(A)\leq1$, avec 0 pour un événement impossible et 1 pour un événement certain.

📐 Formule - La probabilité de l’événement contraire est $P(\overline A)=1-P(A)$.

📐 Formule - La probabilité d’une union vérifie $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ ; si A et B sont incompatibles, $P(A\cap B)=0$ et leurs probabilités s’additionnent.

Compléments

📐 Formule - La probabilité conditionnelle de A sachant B est $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ lorsque $P(B)>0$.

📐 Formule - A et B sont indépendants lorsque $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ ; dans un arbre, les probabilités d’un chemin se multiplient et celles de chemins incompatibles conduisant au même événement s’additionnent.

💡 Astuce mémo

Incompatibles : intersection nulle ; indépendants : intersection égale au produit.

📖 12. Suites numériques et évolutions

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Liste ordonnée de nombres dont chaque nombre est appelé un terme ; l’indice indique son rang.
• Suite arithmétique : Une suite est arithmétique lorsque l’on ajoute toujours la même raison r pour passer d’un terme au suivant, soit $u_{n+1}=u_n+r$ et $u_n=u_0+nr$.
• Suite géométrique : Une suite est géométrique lorsque l’on multiplie chaque terme par la même raison q pour obtenir le suivant, soit $u_{n+1}=qu_n$ et $u_n=u_0q^n$.

📝 Points essentiels

• Une suite peut être définie explicitement par une formule permettant de calculer directement chacun de ses termes, par exemple $u_n=3n+2$.

• Une population initiale de 1 000 habitants augmentant de 2 % par an est modélisée par $u_n=1000\times1{,}02^n$ ; après trois ans, le modèle prévoit environ 1 061 habitants.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : on ajoute ; géométrique : on multiplie.

📖 13. Tableur et lecture graphique

★ À maîtriser

• Pour interpréter un graphique, vérifier :
  • son titre
  • ses unités
  • les valeurs des axes
  • la période étudiée
  • les tendances générales
  • les valeurs maximales et minimales
  • les éventuelles limites de l’étude

Compléments

• Dans un tableur, on saisit la valeur initiale en B2, puis la formule =B2*1,05 en B3 et on la recopie vers le bas pour modéliser une hausse mensuelle de 5 %.

• Dans un tableur francophone, =MOYENNE(B2:B10), =MIN(B2:B10), =MAX(B2:B10) et =SOMME(B2:B10) calculent respectivement moyenne, minimum, maximum et somme.

📊 Tableaux de synthèse

Caractéristiques des suites