Fiche de révision : Second degré et suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Résolution des équations du second degré
2. Définition et notation des suites
3. Suite définie par une relation explicite
4. Suite définie par récurrence
5. Représentation graphique des suites
6. Trinôme et forme factorisée
7. Somme et produit des racines
8. Forme canonique du trinôme

📖 1. Résolution des équations du second degré

★ À maîtriser

📐 Formule - Le discriminant du trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\ne0$, est $\Delta=b^2-4ac$.

📌 Pour résoudre $ax^2+bx+c=0$ avec $a\ne0$, on calcule d’abord $\Delta=b^2-4ac$ : si $\Delta>0$, il y a deux solutions distinctes $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ ; si $\Delta=0$, la solution double est $x_0=-\frac{b}{2a}$ ; si $\Delta<0$, il n’y a pas de solution réelle.

Compléments

• Pour $f(x)=3x^2-5x+2$, le discriminant vaut $\Delta=1$.

💡 Astuce mémo

Δ positif : deux racines ; Δ nul : une racine double ; Δ négatif : aucune racine réelle.

📖 2. Définition et notation des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Liste infinie et ordonnée de nombres réels.

★ À maîtriser

📌 Le terme de rang $n$, noté $u(n)$ ou $u_n$, est aussi appelé terme général de la suite.

Compléments

• Une suite peut être associée à une fonction $u:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ qui à chaque entier naturel $n$ associe $u(n)$.

• Une suite peut se noter $u$, $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$, $(u_n)$ ou $(u_n)_{n\ge0}$.

• Le terme initial est généralement $u_0$, mais il peut être $u_1$, comme pour la suite définie à partir de $n\ge1$ par $u_n=\frac1n$.

📖 3. Suite définie par une relation explicite

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation explicite : Relation qui donne le terme général en fonction de n.

📝 Points essentiels

• Pour la suite définie par $u_n=5n-1$, on obtient $u_0=-1$ et $u_1=4$.

📌 Si $f(x)=5x-1$, alors la suite explicite $u_n=5n-1$ vérifie $u_n=f(n)$.

📖 4. Suite définie par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation de récurrence : Une suite est définie par récurrence lorsqu’on connaît son premier terme et que chaque terme s’obtient à partir du précédent.

📝 Points essentiels

• Pour la suite donnée par $u_0=1$ et $u_{n+1}=2u_n+1$, on calcule successivement $u_1=2u_0+1$, $u_2=2u_1+1$ et $u_3=2u_2+1$.

📌 Avec une récurrence, calculer $u_{10}$ nécessite de calculer les termes précédents, contrairement à une suite donnée explicitement.

• Une récurrence peut utiliser plusieurs termes consécutifs, par exemple $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$ avec $u_0=0$ et $u_1=1$.

💡 Astuce mémo

Terme initial, puis calcul du terme suivant à partir du précédent.

📖 5. Représentation graphique des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Représentation graphique : Ensemble des points de coordonnées (n;uₙ), formant un nuage de points.

📝 Points essentiels

📌 Si $u_n=f(n)$, les termes de la suite sont les ordonnées des points de la courbe $C_f$ dont les abscisses sont des entiers.

• Pour $u_n=n^2-10n+4$, les points de la représentation graphique comprennent $(0;4)$, $(1;-5)$, $(2;-12)$, $(5;-21)$, $(6;-20)$, $(9;-5)$ et $(10;4)$.

💡 Astuce mémo

Un nuage de points discrets, un point (n; uₙ) pour chaque rang.

📖 6. Trinôme et forme factorisée

🔑 Notions clés & Définitions

• Trinôme du second degré : Une fonction polynôme du second degré, ou trinôme, est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax^2+bx+c$, où $a,b,c\in\mathbb{R}$ et $a\ne0$.
• Racine : Nombre x₁ tel que f(x₁)=0 ; les racines sont les solutions de l’équation f(x)=0.
• Forme factorisée : Un trinôme est sous forme factorisée lorsqu’il peut s’écrire $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ ; il n’admet pas toujours une telle écriture.

📝 Points essentiels

• Les réels $a$, $b$ et $c$ sont les coefficients du trinôme, dont l’écriture $ax^2+bx+c$ est la forme développée.

• Le trinôme $x^2-2x-3$ a pour racines $-1$ et $3$ et s’écrit $f(x)=(x+1)(x-3)$.

📖 7. Somme et produit des racines

★ À maîtriser

📐 Formule - Si $f(x)=ax^2+bx+c$ a deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$, leur somme est $S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et leur produit est $P=x_1x_2=\frac{c}{a}$.

Compléments

• Pour factoriser $2x^2+10x+8$, on repère la racine évidente $-1$, puis la somme $x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-5$ donne l’autre racine $-4$, d’où $f(x)=2(x+1)(x+4)$.

📖 8. Forme canonique du trinôme

★ À maîtriser

📐 Formule - Tout trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ s’écrit sous forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

Compléments

• On peut obtenir la forme canonique en calculant $\alpha$ et $\beta$, ou en complétant le carré.

• Le trinôme $f(x)=2x^2-4x+5$ a pour forme canonique $f(x)=2(x-1)^2+3$.

📊 Tableaux de synthèse

Modes de définition des suites