Fiche de révision : Mathématiques Terminale C

📋 Plan du Cours

1. Barycentre et géométrie plane
2. Limites et étude des fonctions
3. Logarithmes et exponentielles
4. Primitives et équations différentielles
5. Suites et nombres complexes
6. Probabilités et statistiques
7. Trigonométrie et géométrie de l’espace
8. Transformations et arithmétique

📖 1. Barycentre et géométrie plane

🔑 Notions clés & Définitions

• Barycentre : Le barycentre G de deux points A et B affectés des coefficients réels a et b, avec a+b≠0, vérifie a·GA+b·GB=0 et possède dans un repère les coordonnées G=(aA+bB)/(a+b).
• Ligne de niveau : Ensemble des points qui vérifient une condition portant sur des distances ou des produits scalaires, comme MA²−MB²=k, qui décrit une droite lorsque A≠B.

📝 Points essentiels

• Pour A(1,2), B(5,0), a=2 et b=3, le barycentre a pour coordonnées G=((2×1+3×5)/5,(2×2+3×0)/5)=(17/5,4/5).

💡 Astuce mémo

Barycentre : plusieurs points pondérés → un point unique ; ligne de niveau : une condition → une figure.

📖 2. Limites et étude des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité : Une fonction f est continue en a si $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$, et toute fonction dérivable en a est continue en a.
• Dérivée : Limite du taux de variation lorsque h tend vers 0.

📝 Points essentiels

• Pour calculer la limite d’une fonction rationnelle dans une forme indéterminée 0/0, il faut factoriser avant de conclure.

📐 Formule — Les principales règles de dérivation sont $(x^n)'=nx^{n-1},\quad (u+v)'=u'+v',\quad (uv)'=u'v+uv',\quad \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}.$

📌 Le signe de f′ détermine les variations : si f′>0, f est croissante, et si f′<0, f est décroissante.

💡 Astuce mémo

Domaine → limites → dérivée → variations → asymptotes → graphique.

📖 3. Logarithmes et exponentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme népérien : Le logarithme népérien ln est défini sur ]0,+∞[ et vérifie ln(ab)=ln a+ln b, ln(a/b)=ln a−ln b et ln(a^r)=r ln a pour a>0.
• Fonction exponentielle : Fonction définie sur R, strictement positive, dont la dérivée vérifie $(e^x)'=e^x.$

★ À maîtriser

📐 Formule — La dérivée du logarithme népérien est $(\ln x)'=\frac{1}{x}.$

Compléments

📐 Formule — Les propriétés fondamentales de l’exponentielle sont $e^{a+b}=e^ae^b$ et $e^{-a}=\frac{1}{e^a}.$

💡 Astuce mémo

Le logarithme transforme les produits en sommes, tandis que l’exponentielle transforme les sommes en produits.

📖 4. Primitives et équations différentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Primitive : Une primitive F de f sur un intervalle vérifie F′=f.
• Équation différentielle : Une équation différentielle relie une fonction inconnue à ses dérivées.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les primitives usuelles sont $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\ (n\ne-1),\quad \int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|,\quad \int e^x\,dx=e^x.$

📐 Formule — Si F est une primitive de f, alors $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a),$ et l’intégrale représente une aire algébrique.

📐 Formule — Les solutions de $y'=ay$ sont $y(x)=Ce^{ax}$, tandis que pour $y'=ay+b$ avec a≠0, la solution générale est $y=Ce^{ax}-\frac{b}{a}.$

💡 Astuce mémo

Dériver une primitive donne la fonction ; résoudre une équation différentielle donne une famille de fonctions.

📖 5. Suites et nombres complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite qui vérifie u_(n+1)=u_n+r et possède la forme u_n=u_0+nr.
• Suite géométrique : Suite qui vérifie u_(n+1)=q u_n et possède la forme u_n=u_0q^n.
• Nombre complexe : Nombre qui s’écrit z=a+ib avec i²=−1 ; sa partie réelle vaut Re(z)=a et sa partie imaginaire vaut Im(z)=b.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le module d’un complexe z=a+ib est $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ et sa forme trigonométrique est $z=r(\cos\theta+i\sin\theta).$

Compléments

• Pour une suite géométrique, le comportement et la limite dépendent notamment de la valeur de |q|.

💡 Astuce mémo

Une suite évolue selon un indice n ; un complexe se décrit par ses parties réelle et imaginaire.

📖 6. Probabilités et statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Corrélation linéaire : Mesure du sens et de l’intensité d’une liaison linéaire entre deux variables.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans un univers fini équiprobable, $P(A)=\frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}.$

📐 Formule — La probabilité conditionnelle vérifie $P(A\cap B)=P(A)P(B|A)$, et si A et B sont indépendants, $P(A\cap B)=P(A)P(B).$

Compléments

📐 Formule — Le coefficient binomial est $C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$

• Pour les valeurs 2,4,4,6, la moyenne vaut 4 et la variance définie comme la moyenne des carrés des écarts à la moyenne vaut 2.

💡 Astuce mémo

Les probabilités modélisent l’incertitude ; les statistiques décrivent des données observées.

📖 7. Trigonométrie et géométrie de l’espace

★ À maîtriser

📐 Formule — Le produit scalaire de deux vecteurs du plan u=(x_u,y_u) et v=(x_v,y_v) est $u\cdot v=x_ux_v+y_uy_v,$ et deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul.

📐 Formule — Une droite du plan peut être donnée par une équation ax+by+c=0, tandis qu’un cercle de centre Ω(a,b) et de rayon R vérifie $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2.$

📐 Formule — Les identités trigonométriques fondamentales sont $\cos^2x+\sin^2x=1$ et $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ lorsque cos x≠0.

📐 Formule — Dans l’espace, le produit scalaire de u=(x,y,z) et v=(x′,y′,z′) est $u\cdot v=xx′+yy′+zz′.$

Compléments

📐 Formule — Les formules d’addition sont $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ et $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b.$

• La conversion angulaire repose sur l’égalité 180°=π radians.

📖 8. Transformations et arithmétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Isométrie : Transformation qui conserve les distances ; les translations, rotations et symétries sont des isométries.
• Similitude : Transformation qui conserve les angles et multiplie les longueurs par un même rapport.
• Divisibilité : La relation a|b signifie qu’il existe un entier k tel que b=ak.
• Congruence : La congruence a≡b [n] signifie que n divise a−b.

★ À maîtriser

• L’algorithme d’Euclide permet d’obtenir le PGCD de deux entiers par divisions euclidiennes successives.

📐 Formule — Si d=PGCD(a,b), alors il existe des entiers u et v tels que $au+bv=d.$

Compléments

• Dans le plan complexe, la multiplication par un complexe non nul combine une homothétie et une rotation autour de l’origine.

📌 Pour résoudre un problème d’arithmétique, il faut identifier les contraintes, les traduire en langage mathématique, choisir le théorème adapté, calculer puis vérifier.

💡 Astuce mémo

Divisibilité et congruences imposent des contraintes ; les transformations conservent ou modifient des propriétés géométriques selon leur nature.

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des suites

Transformations géométriques