Fiche de révision : Mathématiques Terminale spécialité

📋 Plan du Cours

1. Combinatoire et dénombrement
2. Vecteurs et géométrie de l’espace
3. Orthogonalité et équations de l’espace
4. Suites numériques
5. Limites et dérivation
6. Continuité et valeurs intermédiaires
7. Logarithme et trigonométrie
8. Primitives et intégrales
9. Équations différentielles
10. Probabilités et concentration
11. Algorithmique et Python
12. Ensembles et raisonnements

📖 1. Combinatoire et dénombrement

★ À maîtriser

📌 En dénombrement, le principe additif s’applique à des possibilités incompatibles et le principe multiplicatif à des choix successifs.

📐 Formule — Le nombre de choix successifs est $n_1\times n_2\times\cdots\times n_k$, tandis que le nombre de choix parmi des possibilités incompatibles est la somme de leurs effectifs.

📐 Formule — Le nombre de permutations de $n$ éléments est $n!$, avec $0!=1$.

📌 Avec répétition et ordre, le nombre de choix est $n^k$; sans répétition et avec ordre, il est $\frac{n!}{(n-k)!}$; sans ordre, il est $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Compléments

📐 Formule — Les coefficients binomiaux vérifient $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$, $\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$ et $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^n$.

💡 Astuce mémo

Ordre et répétition déterminent la formule

📖 2. Vecteurs et géométrie de l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Colinéarité : Deux vecteurs sont colinéaires lorsqu’il existe un réel $\lambda$ tel que $\vec u=\lambda\vec v$.
• Droite de l’espace : Définie par un point et un vecteur directeur non nul.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Si A(x_A;y_A;z_A) et B(x_B;y_B;z_B), alors $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)$.

📐 Formule — Un plan défini par un point A et deux vecteurs directeurs non colinéaires vérifie $\overrightarrow{AM}=s\vec u+t\vec v$ avec $s,t\in\mathbb R$.

💡 Astuce mémo

Un point ancre la droite, deux directions tendent le plan

📖 3. Orthogonalité et équations de l’espace

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour $\vec u=(x;y;z)$ et $\vec v=(x';y';z')$, le produit scalaire vaut $\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz'$.

📐 Formule — Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul, c’est-à-dire $\vec u\cdot\vec v=0$.

📐 Formule — La norme de $\vec u=(x;y;z)$ est $\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ et la distance entre A et B est $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$.

📐 Formule — Un plan a une équation cartésienne $ax+by+cz+d=0$, où $(a,b,c)$ est un vecteur normal au plan.

• Pour déterminer l’intersection d’une droite et d’un plan, on remplace les coordonnées paramétriques dans l’équation du plan; une solution donne un point d’intersection, aucune solution indique un parallélisme et une infinité de solutions signifie que la droite est contenue dans le plan.

💡 Astuce mémo

Produit scalaire nul → orthogonalité

📖 4. Suites numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite : Fonction définie sur les entiers naturels et notée $(u_n)$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Une suite arithmétique vérifie $u_{n+1}=u_n+r$ et sa forme explicite est $u_n=u_0+nr$.

📐 Formule — Une suite géométrique vérifie $u_{n+1}=qu_n$ et sa forme explicite est $u_n=u_0q^n$.

📌 Une suite croissante et majorée converge, et une suite décroissante et minorée converge.

Compléments

📐 Formule — Pour $q\ne1$, la somme géométrique vérifie $\sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

💡 Astuce mémo

Terme initial → récurrence → monotonie → limite

📖 5. Limites et dérivation

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite de fonction : Comportement d’une fonction lorsque la variable se rapproche d’une valeur ou devient très grande.
• Nombre dérivé : Coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$.

📝 Points essentiels

• Lorsque $x\to+\infty$, on a $\frac1x\to0$, $\frac{\ln x}{x}\to0$ et $\frac{x}{e^x}\to0$; l’exponentielle domine toute puissance, qui domine le logarithme.

📐 Formule — L’équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

📐 Formule — Les dérivées usuelles comprennent $(x^n)'=nx^{n-1}$, $(e^x)'=e^x$, $(\ln x)'=\frac1x$, $(\sin x)'=\cos x$ et $(\cos x)'=-\sin x$.

• Pour étudier les variations d’une fonction, on détermine son domaine, on calcule sa dérivée, on étudie le signe de cette dérivée et on construit le tableau de variations.

💡 Astuce mémo

Signe de la dérivée → variations de la fonction

📖 6. Continuité et valeurs intermédiaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité : Lorsque $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.

📝 Points essentiels

• Si une fonction est continue sur $[a,b]$, toute valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ est atteinte sur cet intervalle.

• Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et $f(a)f(b)<0$, alors il existe au moins un réel $c\in[a,b]$ tel que $f(c)=0$.

• Si une fonction est continue et strictement monotone sur $[a,b]$ et si $f(a)f(b)<0$, alors l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution.

💡 Astuce mémo

Existence par continuité, unicité par monotonie

📖 7. Logarithme et trigonométrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme népérien : Défini sur $$]0;+\infty[\$ et fonction réciproque de l’exponentielle.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $x>0$, $e^{\ln x}=x$ et $\ln(e^x)=x$; de plus, $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$.

• Les fonctions sinus et cosinus sont définies sur $\mathbb R$ et périodiques de période $2\pi$.

📐 Formule — Les fonctions trigonométriques vérifient $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$, $\sin(-x)=-\sin(x)$ et $\cos(-x)=\cos(x)$.

Compléments

• La fonction logarithme est strictement croissante, avec $\ln(1)=0$, $\ln(e)=1$, $\ln x\to-\infty$ lorsque $x\to0^+$ et $\ln x\to+\infty$ lorsque $x\to+\infty$.

💡 Astuce mémo

Cosinus pair, sinus impair

📖 8. Primitives et intégrales

🔑 Notions clés & Définitions

• Primitive : Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle lorsque $F'(x)=f(x)$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Les primitives usuelles sont $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ pour $n\ne-1$, $\int\frac1x\,dx=\ln x$, $\int e^x\,dx=e^x$, $\int\cos x\,dx=\sin x$ et $\int\sin x\,dx=-\cos x$.

📐 Formule — Si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a,b]$, alors $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$.

Compléments

📐 Formule — La valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$ est $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$.

💡 Astuce mémo

Primitive dérivée → intégrale par différence des valeurs

📖 9. Équations différentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation différentielle : Équation faisant intervenir une fonction inconnue et sa dérivée.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les solutions de $y'=ay$ sont $y(x)=Ce^{ax}$, où $C$ est une constante réelle.

📐 Formule — Pour $y'=ay+b$ avec $a\ne0$, la solution générale est $y=Ce^{ax}-\frac ba$.

💡 Astuce mémo

Solution générale → condition initiale → constante

📖 10. Probabilités et concentration

★ À maîtriser

📌 Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants lorsque $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.

📐 Formule — Si $X\sim\mathcal B(n,p)$ compte les succès de $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes, alors $P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}$ pour $k=0,\ldots,n$.

📐 Formule — Pour une loi binomiale $\mathcal B(n,p)$, $E(X)=np$, $V(X)=np(1-p)$ et $\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$.

📐 Formule — Pour une variable discrète, $E(X)=\sum_i x_iP(X=x_i)$ et $V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$.

📐 Formule — Pour la moyenne empirique $M_n=\frac{X_1+\cdots+X_n}{n}$ de variables indépendantes de variance $\sigma^2$, on a $E(M_n)=\mu$ et $V(M_n)=\frac{\sigma^2}{n}$.

📌 La loi des grands nombres affirme que, pour des variables indépendantes de même loi et d’espérance $\mu$, la moyenne $M_n$ converge vers $\mu$ lorsque $n\to+\infty$.

Compléments

📐 Formule — Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$, tandis que l’espérance vérifie toujours $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$.

📐 Formule — L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne $P(|X-\mu|\ge a)\le\frac{\sigma^2}{a^2}$ pour $a>0$.

💡 Astuce mémo

Répétitions indépendantes → moyenne concentrée autour de l’espérance

📖 11. Algorithmique et Python

★ À maîtriser

• En Python, l’affectation s’écrit avec le signe égal, les opérateurs comprennent la division /, la puissance **, le quotient entier // et le reste %.

• Une boucle for parcourt une séquence déterminée, tandis qu’une boucle while continue tant que sa condition est vraie.

• Pour rechercher le premier indice vérifiant un seuil, on initialise l’indice et la valeur, puis on répète la mise à jour tant que le seuil n’est pas atteint avant d’afficher l’indice.

Compléments

• Dans Python, range(10) produit les entiers de 0 à 9.

💡 Astuce mémo

Initialiser → boucler → tester → retourner

📖 12. Ensembles et raisonnements

🔑 Notions clés & Définitions

• Inclusion : Lorsque tous les éléments de $A$ appartiennent à $B$.

📝 Points essentiels

• L’union $A\cup B$ contient les éléments appartenant à $A$ ou à $B$, tandis que l’intersection $A\cap B$ contient les éléments appartenant aux deux ensembles.

📌 L’implication $A\Rightarrow B$ signifie que $A$ est une condition suffisante de $B$ et que $B$ est une condition nécessaire de $A$.

📌 Pour démontrer $A\Rightarrow B$ par contraposée, on démontre $\text{non }B\Rightarrow\text{non }A$; ces deux propositions sont équivalentes.

• Une démonstration par récurrence comporte une initialisation, une hérédité et une conclusion pour établir une propriété pour tout entier à partir d’un rang initial.

💡 Astuce mémo

Initialisation → hérédité → conclusion

📊 Tableaux de synthèse

Choix de dénombrement

Outils de démonstration