QCM : Mathématiques Terminale spécialité — 45 questions

Questions et réponses du QCM

1. Une activité propose trois choix incompatibles offrant respectivement 4, 6 et 5 possibilités. Quel principe permet de déterminer le nombre total de possibilités ?

Le principe des permutations, qui conduit à 15!15! possibilités
Le principe multiplicatif, qui conduit à 4×6×5=1204\times6\times5=120 possibilités
Le principe binomial, qui conduit à 2152^{15} possibilités
Le principe additif, qui conduit à 4+6+5=154+6+5=15 possibilités

Le principe additif, qui conduit à $$4+6+5=15$$ possibilités

Explication

Le principe additif s’applique lorsque les possibilités sont incompatibles, donc leurs effectifs s’additionnent. Le principe multiplicatif concernerait des choix effectués successivement, et non des cas alternatifs.

2. Un code est formé de trois caractères choisis successivement parmi 5, puis 4, puis 2 possibilités. Combien de codes peut-on former ?

1111
4040
120120
2020

$$40$$

Explication

Des choix successifs se combinent par multiplication, ce qui donne 5×4×2=405\times4\times2=40 codes. L’addition des effectifs correspondrait à des possibilités incompatibles plutôt qu’à des étapes successives.

3. Combien de permutations peut-on former avec 5 éléments distincts ?

2424
2525
6060
120120

$$120$$

Explication

Le nombre de permutations de nn éléments est n!n!, donc ici 5!=1205!=120. La valeur 2424 correspondrait à 4!4! et ne prendrait pas en compte les cinq éléments.

4. Un responsable choisit 3 personnes parmi 8 pour former une équipe, sans attribuer de rôle aux personnes choisies. Quelle expression donne le nombre d’équipes possibles ?

8!5!\frac{8!}{5!}
383^8
(83)\binom{8}{3}
838^3

$$\binom{8}{3}$$

Explication

Comme l’ordre des personnes dans l’équipe ne compte pas et qu’aucune répétition n’est possible, le nombre d’équipes est (83)\binom{8}{3}. L’expression 8!5!\frac{8!}{5!} compterait des sélections ordonnées de trois personnes.

5. Si A(2;−1;4)A(2;-1;4) et B(5;3;1)B(5;3;1), quelles sont les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB} ?

(7;2;5)(7;2;5)
(3;−4;3)(3;-4;3)
(3;4;−3)(3;4;-3)
(−3;−4;3)(-3;-4;3)

$$(3;4;-3)$$

Explication

On soustrait les coordonnées de AA à celles de BB : AB→=(5−2;3−(−1);1−4)=(3;4;−3)\overrightarrow{AB}=(5-2;3-(-1);1-4)=(3;4;-3). Le triplet opposé correspondrait au vecteur BA→\overrightarrow{BA}.

6. Quelle condition caractérise deux vecteurs colinéaires dans l’espace ?

Ils définissent un plan par combinaison linéaire
Ils possèdent des coordonnées toutes strictement positives
Leur produit scalaire est nécessairement nul
Il existe un réel λ\lambda tel que u⃗=λv⃗\vec u=\lambda\vec v

Il existe un réel $$\lambda$$ tel que $$\vec u=\lambda\vec v$$

Explication

Deux vecteurs sont colinéaires lorsqu’un réel λ\lambda permet d’écrire u⃗=λv⃗\vec u=\lambda\vec v. Leur produit scalaire nul caractérise l’orthogonalité, tandis que deux vecteurs non colinéaires peuvent définir un plan.

7. Quelle donnée suffit, avec la condition de non-nullité du vecteur, à définir une droite dans l’espace ?

Deux points confondus et un vecteur nul
Une origine et trois coordonnées indépendantes
Un point et un vecteur directeur non nul
Un plan et deux vecteurs colinéaires

Un point et un vecteur directeur non nul

Explication

Une droite est déterminée par un point qui lui appartient et un vecteur directeur non nul. Deux vecteurs colinéaires ne fournissent pas deux directions indépendantes pour définir un plan.

8. Un plan passe par le point AA et possède deux vecteurs directeurs non colinéaires u⃗\vec u et v⃗\vec v. Quelle relation caractérise un point MM de ce plan ?

AM→=u⃗⋅v⃗\overrightarrow{AM}=\vec u\cdot\vec v
AM→=λ(u⃗+v⃗)\overrightarrow{AM}=\lambda(\vec u+\vec v) avec λ∈R\lambda\in\mathbb R
AM→=su⃗+tv⃗\overrightarrow{AM}=s\vec u+t\vec v avec s,t∈Rs,t\in\mathbb R
AM→=su⃗\overrightarrow{AM}=s\vec u avec s∈Rs\in\mathbb R

$$\overrightarrow{AM}=s\vec u+t\vec v$$ avec $$s,t\in\mathbb R$$

Explication

Tout point du plan s’obtient à partir de AA par une combinaison linéaire des deux directions, soit AM→=su⃗+tv⃗\overrightarrow{AM}=s\vec u+t\vec v. Une seule direction engendre une droite, pas un plan général.

9. Quel est le produit scalaire de u⃗=(2;−1;3)\vec u=(2;-1;3) et v⃗=(4;0;−2)\vec v=(4;0;-2) ?

22
88
−2-2
−6-6

$$2$$

Explication

Le produit scalaire se calcule coordonnée par coordonnée : 2×4+(−1)×0+3×(−2)=8−6=22\times4+(-1)\times0+3\times(-2)=8-6=2. La valeur −2-2 provient d’une erreur de signe dans le dernier terme.

10. Par quelle condition peut-on vérifier que deux vecteurs sont orthogonaux ?

Leurs coordonnées sont toutes égales
Leur produit scalaire est nul
Leur norme est égale à zéro
Ils sont nécessairement colinéaires

Leur produit scalaire est nul

Explication

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire vaut zéro. La colinéarité décrit une direction commune et ne constitue pas le critère d’orthogonalité.

11. Quelle est la norme du vecteur u⃗=(3;−4;12)\vec u=(3;-4;12) ?

1313
169169
1111
1919

$$13$$

Explication

La norme vaut 32+(−4)2+122=169=13\sqrt{3^2+(-4)^2+12^2}=\sqrt{169}=13. La valeur 169169 est le carré de la norme, tandis que 1919 résulte d’une addition incorrecte des coordonnées.

12. Une droite est donnée par x=1+tx=1+t, y=2−ty=2-t et z=3z=3. Pour étudier son intersection avec le plan d’équation x+y+z−6=0x+y+z-6=0, que faut-il faire en premier ?

Calculer le produit scalaire des coordonnées de la droite
Imposer que le paramètre soit égal à zéro
Remplacer les coordonnées paramétriques dans l’équation du plan
Remplacer l’équation du plan dans les coordonnées de la droite

Remplacer les coordonnées paramétriques dans l’équation du plan

Explication

On substitue les expressions paramétriques de xx, yy et zz dans l’équation du plan, puis on résout l’équation obtenue en fonction du paramètre. Le nombre de solutions permet ensuite de distinguer une intersection, un parallélisme ou une droite contenue dans le plan.

13. Quelle relation caractérise une suite arithmétique de raison rr et donne son terme général à partir de u0u_0 ?

un+1=un+ru_{n+1}=u_n+r et un=u0+nru_n=u_0+nr
un+1=runu_{n+1}=ru_n et un=u0rnu_n=u_0r^n
un+1=unqu_{n+1}=u_nq et un=u0+nqu_n=u_0+nq
un+1=un−ru_{n+1}=u_n-r et un=u0−nru_n=u_0-nr

$$u_{n+1}=u_n+r$$ et $$u_n=u_0+nr$$

Explication

Une suite arithmétique ajoute une même raison à chaque passage d’un terme au suivant, d’où les deux expressions proposées. La relation multiplicative et la puissance caractérisent plutôt une suite géométrique.

14. Une suite vérifie un+1=3unu_{n+1}=3u_n avec u0=2u_0=2. Quelle expression donne son terme général ?

un=2×n3u_n=2\times n^3
un=3×2nu_n=3\times2^n
un=2×3nu_n=2\times3^n
un=2+3nu_n=2+3n

$$u_n=2\times3^n$$

Explication

La relation de récurrence multiplie chaque terme par 33, donc la suite est géométrique et son terme général est u0qn=2×3nu_0q^n=2\times3^n. L’expression 2+3n2+3n correspondrait à une suite arithmétique.

15. Quelle propriété suffit pour assurer la convergence d’une suite croissante ?

Elle est non constante
Elle est strictement positive
Elle est minorée
Elle est majorée

Elle est majorée

Explication

Une suite croissante et majorée converge, car elle ne peut pas dépasser une borne supérieure tout en continuant à augmenter. Une minoration ne contrôle pas son éventuelle croissance vers l’infini.

16. Pour q≠1q\ne1, quelle formule permet de calculer ∑k=0nqk\sum_{k=0}^{n}q^k ?

1−qn+11−q\frac{1-q^{n+1}}{1-q}
1−qn1−q\frac{1-q^n}{1-q}
1−q1−qn+1\frac{1-q}{1-q^{n+1}}
qn+1−1q+1\frac{q^{n+1}-1}{q+1}

$$\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$$

Explication

La somme géométrique de 11 à qnq^n comporte n+1n+1 termes et vaut 1−qn+11−q\frac{1-q^{n+1}}{1-q}. L’exposant doit donc être n+1n+1, et l’expression ne doit pas être inversée.

17. Que décrit la limite d’une fonction lorsque la variable se rapproche d’un nombre ou devient très grande ?

Le comportement de la fonction dans cette situation
Le domaine de définition de la fonction
La valeur moyenne de la fonction sur un intervalle
Le coefficient directeur d’une tangente en ce point

Le comportement de la fonction dans cette situation

Explication

La limite renseigne sur le comportement des valeurs de la fonction au voisinage d’une valeur ou lorsque la variable tend vers l’infini. Le coefficient directeur d’une tangente relève plutôt du nombre dérivé.

18. Lorsque x→+∞x\to+\infty, quelle affirmation décrit correctement les rapports entre croissance logarithmique, polynomiale et exponentielle ?

ln⁡xx→+∞\frac{\ln x}{x}\to+\infty et xex→+∞\frac{x}{e^x}\to+\infty
ln⁡xx→0\frac{\ln x}{x}\to0 et xex→+∞\frac{x}{e^x}\to+\infty
ln⁡xx→1\frac{\ln x}{x}\to1 et xex→1\frac{x}{e^x}\to1
ln⁡xx→0\frac{\ln x}{x}\to0 et xex→0\frac{x}{e^x}\to0

$$\frac{\ln x}{x}\to0$$ et $$\frac{x}{e^x}\to0$$

Explication

Le logarithme croît moins vite qu’une puissance et l’exponentielle croît plus vite, ce qui donne les deux limites nulles. La croissance de l’exponentielle ne conduit donc pas à une limite infinie pour x/exx/e^x.

19. Que représente le nombre dérivé f′(a)f'(a) pour la courbe d’une fonction ff ?

La pente de toutes les tangentes de la courbe
La valeur de la fonction au point d’abscisse aa
Le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse aa
La pente moyenne entre deux abscisses voisines

Le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse $$a$$

Explication

Le nombre dérivé f′(a)f'(a) mesure la pente locale de la tangente à la courbe au point d’abscisse aa. La dérivée est la fonction qui associe cette pente à chaque abscisse, tandis que f(a)f(a) est une valeur de fonction.

20. La courbe d’une fonction vérifie f(2)=5f(2)=5 et f′(2)=−3f'(2)=-3. Quelle est l’équation de sa tangente au point d’abscisse 22 ?

y=−3(x−2)+5y=-3(x-2)+5
y=−3x+2+5y=-3x+2+5
y=3(x−2)+5y=3(x-2)+5
y=5(x−2)−3y=5(x-2)-3

$$y=-3(x-2)+5$$

Explication

La tangente en aa a pour équation y=f′(a)(x−a)+f(a)y=f'(a)(x-a)+f(a), donc ici y=−3(x−2)+5y=-3(x-2)+5. Le signe de la pente doit rester négatif puisque f′(2)=−3f'(2)=-3.

21. Quelle égalité caractérise la continuité d’une fonction ff en aa ?

lim⁡x→+∞f(x)=f(a)\lim_{x\to+\infty}f(x)=f(a)
lim⁡x→af(x)=0\lim_{x\to a}f(x)=0
f′(a)=f(a)f'(a)=f(a)
lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x\to a}f(x)=f(a)

$$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$$

Explication

La continuité en aa signifie que la limite de f(x)f(x) lorsque xx tend vers aa coïncide avec la valeur f(a)f(a). Une limite nulle ou une égalité avec la dérivée n’est pas une condition générale de continuité.

22. Si une fonction est continue sur [a,b][a,b], que peut-on conclure pour une valeur yy comprise entre f(a)f(a) et f(b)f(b) ?

La fonction est strictement monotone entre aa et bb
La fonction prend la valeur yy en un seul point de l’intervalle
La dérivée s’annule en un point où la fonction vaut yy
Il existe un c∈[a,b]c\in[a,b] tel que f(c)=yf(c)=y

Il existe un $$c\in[a,b]$$ tel que $$f(c)=y$$

Explication

Le théorème des valeurs intermédiaires garantit qu’une fonction continue atteint toute valeur située entre ses valeurs aux extrémités. Il assure l’existence d’un antécédent, mais pas son unicité sans hypothèse supplémentaire de monotonie stricte.

23. Une fonction continue sur [a,b][a,b] vérifie f(a)=−4f(a)=-4 et f(b)=2f(b)=2. Quelle conclusion est garantie ?

La fonction est décroissante sur [a,b][a,b]
La dérivée existe en chaque point de [a,b][a,b]
Il existe exactement un c∈[a,b]c\in[a,b] tel que f(c)=0f(c)=0
Il existe au moins un c∈[a,b]c\in[a,b] tel que f(c)=0f(c)=0

Il existe au moins un $$c\in[a,b]$$ tel que $$f(c)=0$$

Explication

Comme f(a)f(b)=−8<0f(a)f(b)=-8<0 et que la fonction est continue, le théorème des valeurs intermédiaires garantit l’existence d’un zéro dans l’intervalle. La continuité ne suffit pas à garantir l’unicité ni l’existence de la dérivée.

24. Quelles hypothèses garantissent que l’équation f(x)=0f(x)=0 possède une unique solution dans [a,b][a,b] ?

La stricte monotonie et une dérivée définie aux extrémités
La continuité, la stricte monotonie et un changement de signe aux extrémités
La continuité et des valeurs positives aux deux extrémités
La continuité et une valeur nulle à l’une des extrémités

La continuité, la stricte monotonie et un changement de signe aux extrémités

Explication

La continuité avec un changement de signe assure l’existence d’un zéro, tandis que la stricte monotonie en assure l’unicité. La continuité seule ou la monotonie seule ne fournit pas simultanément ces deux garanties.

25. Sur quel ensemble le logarithme népérien ln⁡\ln est-il défini ?

Sur l’ensemble des réels non nuls
Sur l’intervalle ]0;+∞[]0;+\infty[
Sur l’ensemble des réels R\mathbb R
Sur l’intervalle [0;+∞[[0;+\infty[

Sur l’intervalle $$]0;+\infty[$$

Explication

Le logarithme népérien est la fonction réciproque de l’exponentielle et n’est défini que pour les nombres strictement positifs. La fonction exponentielle, en revanche, est définie sur l’ensemble des réels.

26. Pour x>0x>0, quelle expression est égale à ln⁡(ab)\ln(ab) lorsque a>0a>0 et b>0b>0 ?

ln⁡(a)×ln⁡(b)\ln(a)\times\ln(b)
ln⁡(a+b)\ln(a+b)
ln⁡(a)+ln⁡(b)\ln(a)+\ln(b)
ln⁡(a)ln⁡(b)\frac{\ln(a)}{\ln(b)}

$$\ln(a)+\ln(b)$$

Explication

La propriété du logarithme d’un produit donne ln⁡(ab)=ln⁡(a)+ln⁡(b)\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b) pour des facteurs positifs. La multiplication des logarithmes ne correspond pas à la règle applicable à un produit.

27. Quelle propriété caractérise la période des fonctions sinus et cosinus ?

Elles sont définies sur [0;2π][0;2\pi] et ont pour période 2π2\pi.
Elles sont définies sur R\mathbb R et ont pour période π\pi.
Elles sont définies sur R\mathbb R et n’ont pas de période.
Elles sont définies sur R\mathbb R et ont pour période 2π2\pi.

Elles sont définies sur $$\mathbb R$$ et ont pour période $$2\pi$$.

Explication

Le sinus et le cosinus sont définis pour tout réel et se répètent avec une période de 2π2\pi. Une période de π\pi ne décrit pas les deux fonctions dans leur ensemble.

28. Quelle égalité permet de calculer sin⁡2(x)\sin^2(x) à partir de cos⁡(x)\cos(x) ?

sin⁡2(x)=cos⁡2(x)−1\sin^2(x)=\cos^2(x)-1
sin⁡2(x)=1+cos⁡2(x)\sin^2(x)=1+\cos^2(x)
sin⁡2(x)=1cos⁡2(x)\sin^2(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}
sin⁡2(x)=1−cos⁡2(x)\sin^2(x)=1-\cos^2(x)

$$\sin^2(x)=1-\cos^2(x)$$

Explication

L’identité fondamentale sin⁡2(x)+cos⁡2(x)=1\sin^2(x)+\cos^2(x)=1 se réarrange en sin⁡2(x)=1−cos⁡2(x)\sin^2(x)=1-\cos^2(x). Les autres expressions ne respectent pas cette identité trigonométrique.

29. Quelle condition définit une primitive FF d’une fonction ff sur un intervalle ?

Elle vérifie F(x)=f′(x)F(x)=f'(x) sur cet intervalle.
Elle vérifie F(x)=∫f(x) dxF(x)=\int f(x)\,dx sans constante.
Elle vérifie F′(x)=f(x)F'(x)=f(x) sur cet intervalle.
Elle vérifie F′(x)=1/f(x)F'(x)=1/f(x) sur cet intervalle.

Elle vérifie $$F'(x)=f(x)$$ sur cet intervalle.

Explication

Une primitive de ff est une fonction dont la dérivée est ff, c’est-à-dire F′(x)=f(x)F'(x)=f(x). L’égalité entre une fonction et la dérivée d’une autre ne constitue pas la définition d’une primitive.

30. Quelle primitive convient à la fonction sin⁡x\sin x ?

−cos⁡x-\cos x
sin⁡x\sin x
cos⁡x\cos x
−sin⁡x-\sin x

$$-\cos x$$

Explication

La dérivée de −cos⁡x-\cos x est sin⁡x\sin x, donc cette fonction est une primitive de sin⁡x\sin x. La dérivée de cos⁡x\cos x vaut au contraire −sin⁡x-\sin x.

31. Si FF est une primitive de ff sur [a,b][a,b], comment calcule-t-on ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx ?

F(b)−F(a)F(b)-F(a)
F(b)×F(a)F(b)\times F(a)
F(a)+F(b)F(a)+F(b)
F(a)−F(b)F(a)-F(b)

$$F(b)-F(a)$$

Explication

Le théorème fondamental de l’analyse donne ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a). L’ordre des bornes impose donc de soustraire la valeur de la primitive en aa à celle en bb.

32. Qu’est-ce qu’une équation différentielle ?

Une équation qui fait intervenir une fonction inconnue et sa dérivée.
Une équation qui relie deux constantes sans fonction inconnue.
Une équation qui contient une fonction connue sans faire intervenir sa dérivée.
Une équation algébrique portant sur plusieurs nombres réels.

Une équation qui fait intervenir une fonction inconnue et sa dérivée.

Explication

Une équation différentielle met en relation une fonction inconnue et au moins une de ses dérivées. Une équation algébrique entre nombres ne décrit pas cette relation fonctionnelle.

33. Quelle est la solution générale de y′=ayy'=ay, où aa est une constante réelle ?

y(x)=aeCxy(x)=ae^{Cx}
y(x)=Ceaxy(x)=Ce^{ax}
y(x)=Ce−axy(x)=Ce^{-ax}
y(x)=C+axy(x)=C+ax

$$y(x)=Ce^{ax}$$

Explication

La famille des solutions de y′=ayy'=ay est y(x)=Ceaxy(x)=Ce^{ax}, avec CC constante réelle. Le signe de l’exposant doit reprendre celui du coefficient aa présent dans l’équation.

34. Pour a≠0a\ne0, quelle forme décrit la solution générale de y′=ay+by'=ay+b ?

y=Cebx−aby=Ce^{bx}-\frac{a}{b}
y=Ceax−bay=Ce^{ax}-\frac{b}{a}
y=Ceax+bay=Ce^{ax}+\frac{b}{a}
y=Ce−ax+bay=Ce^{-ax}+\frac{b}{a}

$$y=Ce^{ax}-\frac{b}{a}$$

Explication

La solution générale est y=Ceax−bay=Ce^{ax}-\frac{b}{a}, composée d’une solution exponentielle de l’équation homogène et d’une constante particulière. Le terme constant doit compenser le terme bb avec le signe négatif indiqué.

35. Deux événements AA et BB sont-ils indépendants lorsque quelle égalité est vérifiée ?

P(A∩B)=P(A)P(B)P(A\cap B)=P(A)P(B)
P(A∪B)=P(A)P(B)P(A\cup B)=P(A)P(B)
P(A∩B)=P(A)+P(B)P(A\cap B)=P(A)+P(B)
P(A∣B)=P(A)+P(B)P(A\mid B)=P(A)+P(B)

$$P(A\cap B)=P(A)P(B)$$

Explication

L’indépendance est caractérisée par le produit des probabilités, ce qui donne P(A∩B)=P(A)P(B)P(A\cap B)=P(A)P(B). La dépendance ne permet pas d’appliquer directement cette multiplication.

36. Si XX suit une loi binomiale B(n,p)\mathcal B(n,p), quelle expression donne la probabilité d’obtenir exactement kk succès ?

npk(1−p)n−kn p^k(1-p)^{n-k}
(kn)pk(1−p)n+k\binom kn p^k(1-p)^{n+k}
(nk)pk(1−p)n−k\binom nk p^k(1-p)^{n-k}
(nk)pn−k(1−p)k\binom nk p^{n-k}(1-p)^k

$$\binom nk p^k(1-p)^{n-k}$$

Explication

Une loi binomiale compte les façons de placer les kk succès, puis pondère chaque configuration par pk(1−p)n−kp^k(1-p)^{n-k}. L’expression avec les exposants inversés échange le rôle des succès et des échecs.

37. Pour X∼B(n,p)X\sim\mathcal B(n,p), quelle formule donne son écart type ?

np\sqrt{np}
np(1−p)\sqrt{np(1-p)}
np(1−p)np(1-p)
npnp

$$\sqrt{np(1-p)}$$

Explication

La variance binomiale vaut np(1−p)np(1-p), donc son écart type est la racine carrée de cette quantité. La formule np(1−p)np(1-p) correspond à la variance et non à l’écart type.

38. Pour des variables indépendantes de variance σ2\sigma^2, comment évolue la variance de leur moyenne empirique MnM_n ?

V(Mn)=nσ2V(M_n)=n\sigma^2
V(Mn)=σ2+nV(M_n)=\sigma^2+n
V(Mn)=σ2n2V(M_n)=\frac{\sigma^2}{n^2}
V(Mn)=σ2nV(M_n)=\frac{\sigma^2}{n}

$$V(M_n)=\frac{\sigma^2}{n}$$

Explication

La variance de la moyenne empirique diminue avec la taille de l’échantillon selon V(Mn)=σ2nV(M_n)=\frac{\sigma^2}{n}. La formule nσ2n\sigma^2 décrit plutôt la variance d’une somme de variables indépendantes de même variance.

39. En Python, quel opérateur fournit le quotient entier de la division de deux nombres ?

/
//
**
%

//

Explication

L’opérateur //// calcule le quotient entier, tandis que // réalise une division et que % donne le reste. L’opérateur ∗∗** est utilisé pour la puissance.

40. Quelle affirmation distingue correctement une boucle « for » d’une boucle « while » en Python ?

« for » calcule un reste, tandis que « while » calcule une puissance
« for » dépend d’une condition, tandis que « while » parcourt une séquence
« for » affecte une valeur, tandis que « while » compare deux variables
« for » parcourt une séquence, tandis que « while » dépend d’une condition

« for » parcourt une séquence, tandis que « while » dépend d’une condition

Explication

Une boucle « for » parcourt les éléments d’une séquence déterminée, alors qu’une boucle « while » se poursuit tant que sa condition reste vraie. Confondre leurs mécanismes revient à inverser leur mode de contrôle.

41. Pour trouver le premier indice où une valeur atteint un seuil, quelle démarche algorithmique convient ?

Trier les indices, puis choisir celui qui possède la plus grande valeur
Répéter les mises à jour après le seuil, puis afficher le dernier indice
Afficher l’indice initial, puis arrêter avant toute mise à jour
Initialiser, mettre à jour tant que le seuil manque, puis afficher l’indice

Initialiser, mettre à jour tant que le seuil manque, puis afficher l’indice

Explication

La recherche du premier indice exige une initialisation, des mises à jour tant que le seuil n’est pas atteint, puis l’affichage de l’indice obtenu. Continuer après l’atteinte du seuil risquerait de fournir un indice ultérieur plutôt que le premier.

42. Que signifie l’inclusion A⊆BA\subseteq B ?

Les éléments de AA et de BB sont disjoints
Tout élément de AA appartient à BB
Tout élément de BB appartient à AA
Les éléments de AA et de BB sont tous communs

Tout élément de $$A$$ appartient à $$B$$

Explication

L’inclusion signifie que chaque élément de AA se trouve aussi dans BB. Elle ne requiert ni que les ensembles soient égaux ni qu’ils n’aient aucun élément commun.

43. Quelle opération contient les éléments appartenant à AA ou à BB ?

L’intersection A∩BA\cap B
Le complémentaire de AA
L’union A∪BA\cup B
La différence A∖BA\setminus B

L’union $$A\cup B$$

Explication

L’union rassemble les éléments présents dans au moins l’un des deux ensembles, ce qui correspond au connecteur « ou ». L’intersection impose au contraire l’appartenance simultanée aux deux ensembles.

44. Dans l’implication A⇒BA\Rightarrow B, quel énoncé décrit correctement les rôles de AA et BB ?

AA est suffisante pour BB et BB est nécessaire pour AA
AA et BB sont deux conditions nécessaires l’une pour l’autre
AA et BB sont deux conditions suffisantes l’une pour l’autre
AA est nécessaire pour BB et BB est suffisante pour AA

$$A$$ est suffisante pour $$B$$ et $$B$$ est nécessaire pour $$A$$

Explication

Si AA entraîne BB, la réalisation de AA suffit à garantir BB, tandis que BB est requise lorsque AA est vraie. Les rôles de condition suffisante et de condition nécessaire sont donc orientés dans des sens différents.

45. Quelle méthode permet de démontrer l’implication A⇒BA\Rightarrow B par contraposée ?

Démontrer A⇒non BA\Rightarrow\text{non }B
Démontrer non B⇒non A\text{non }B\Rightarrow\text{non }A
Démontrer non A⇒non B\text{non }A\Rightarrow\text{non }B
Démontrer B⇒AB\Rightarrow A

Démontrer $$\text{non }B\Rightarrow\text{non }A$$

Explication

Une implication et sa contraposée sont équivalentes, donc établir non B⇒non A\text{non }B\Rightarrow\text{non }A suffit pour prouver A⇒BA\Rightarrow B. La réciproque B⇒AB\Rightarrow A peut être fausse et ne constitue pas la contraposée.

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À quoi s'applique le principe additif en dénombrement ?

À des possibilités incompatibles.

À quoi s'applique le principe multiplicatif en dénombrement ?

À des choix successifs.

Quelle formule donne le nombre de choix successifs ?

n1×n2×⋯×nkn_1 \times n_2 \times \cdots \times n_k.

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