Fiche de révision : Matrices et pivot de Gauss

📋 Plan du Cours

1. Définitions et formes particulières
2. Opérations sur les matrices
3. Échelonnement et pivot de Gauss
4. Matrices carrées inversibles
5. Calcul de l’inverse par pivot
6. Définition et équivalence des systèmes
7. Résolution des systèmes par Gauss

📖 1. Définitions et formes particulières

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice réelle : Une matrice réelle de taille $n \times p$ est un tableau rectangulaire de nombres réels à $n \geq 1$ lignes et $p \geq 1$ colonnes, noté $A=(a_{ij})$ avec $a_{ij}\in\mathbb{R}$.
• Matrice carrée : Une matrice carrée d’ordre $n$ a $n$ lignes et $n$ colonnes ; l’ensemble correspondant se note $M_n$, et ses coefficients $a_{ii}$ sont les coefficients diagonaux.
• Matrice nulle : Une matrice nulle est une matrice dont tous les coefficients sont nuls et se note $0$.
• Matrice diagonale : Une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients $a_{ij}$ sont nuls pour tout $i \ne j$.
• Matrice identité : La matrice identité $I_n$ est une matrice diagonale d’ordre $n$ dont tous les coefficients diagonaux valent $1$.

★ À maîtriser

📌 Une matrice triangulaire supérieure vérifie $a_{ij}=0$ pour $i>j$, tandis qu’une matrice triangulaire inférieure vérifie $a_{ij}=0$ pour $i<j$.

Compléments

📌 Dans la notation $(a_{ij})_{i,j}$, la matrice désigne le tableau entier, tandis que $a_{ij}$ désigne un seul de ses coefficients.

• L’ensemble des matrices réelles de taille $n \times p$ est noté $M_{n,p}$.

• Une matrice de taille $1 \times p$ est une matrice ligne, et une matrice de taille $n \times 1$ est une matrice colonne.

📖 2. Opérations sur les matrices

🔑 Notions clés & Définitions

• Addition matricielle : Pour $A=(a_{ij})$ et $B=(b_{ij})$ de même taille, leur somme $C=A+B$ est définie par $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$.
• Transposée : La transposée $^{t}A$ d’une matrice $A=(a_{ij})\in M_{n,p}$ s’obtient en échangeant ses lignes et ses colonnes, et appartient à $M_{p,n}$.

★ À maîtriser

📌 Deux matrices $A,B\in M_{n,p}$ sont égales si et seulement si leurs coefficients correspondants sont égaux, c’est-à-dire si $a_{ij}=b_{ij}$ pour tous $i,j$.

📐 Formule - Pour $A\in M_{n,m}$ et $B\in M_{m,p}$, le produit $C=AB\in M_{n,p}$ a pour coefficients $c_{ij}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}$.

📌 Le produit $AB$ n’est pas commutatif en général, et il n’est défini que si le nombre de colonnes de $A$ égale le nombre de lignes de $B$.

Compléments

• L’addition des matrices de même taille est commutative et associative, et la matrice nulle de même dimension en est l’élément neutre.

📐 Formule - Pour $A\in M_n$ et $B\in M_n$ qui commutent, $(A+B)^m=\sum_{k=0}^{m}\binom{m}{k}A^{m-k}B^k=\sum_{k=0}^{m}\binom{m}{k}A^kB^{m-k}$ pour tout $m\in\mathbb{N}$, avec $\binom{m}{k}=\frac{m!}{k!(m-k)!}$.

📐 Formule - Pour $A,B\in M_{n,p}$, $\lambda\in\mathbb{R}$ et $C\in M_{p,m}$, on a $^{t}(\lambda A)=\lambda\,^{t}A$, $^{t}(A+B)=\,^{t}A+\,^{t}B$ et $^{t}(AC)=\,^{t}C\,^{t}A$.

• Pour une matrice carrée $A$, les puissances positives sont définies par $A^k=\underbrace{A\cdots A}_{k\text{ fois}}$ pour $k\geq1$, on pose $A^0=I_n$, et si $A$ est inversible, $A^{-k}=(A^{-1})^k$.

📐 Formule - Pour $k,l\in\mathbb{N}$, les puissances d’une matrice carrée vérifient $A^kA^l=A^{k+l}$ et $(A^k)^l=A^{kl}$.

• Si $A\in M_n$ est diagonale, alors $A^k$ est diagonale et ses coefficients diagonaux sont $a_{ii}^k$ pour tout $k\in\mathbb{N}$.

💡 Astuce mémo

La transposée échange lignes et colonnes, mais le produit inverse l’ordre : {}^t(AC)={}^tC{}^tA.

📖 3. Échelonnement et pivot de Gauss

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice échelonnée : Une matrice est échelonnée si chaque ligne est nulle ou commence par un pivot égal à $1$, si les lignes nulles sont placées après les lignes non nulles et si le premier coefficient non nul de chaque ligne se trouve à droite de celui de la ligne précédente.
• Matrice bien échelonnée : Une matrice bien échelonnée est une matrice échelonnée dont chaque colonne contenant un pivot ne comporte aucun autre coefficient non nul.
• Opération élémentaire de ligne : Une opération élémentaire de ligne consiste à multiplier une ligne par un réel non nul, à ajouter à une ligne un multiple d’une autre ligne, ou à permuter deux lignes.
• Rang : Le rang d’une matrice est le nombre de lignes non nulles dans une forme échelonnée correspondante, ce qui égale le nombre de lignes non nulles dans sa forme bien échelonnée.

★ À maîtriser

• Le pivot de Gauss traite successivement les colonnes : on choisit un coefficient non nul comme pivot, on le transforme en $1$, on annule les autres coefficients de sa colonne avec des opérations élémentaires, puis on passe à la colonne suivante.

Compléments

• Toute matrice peut être transformée par opérations élémentaires en une matrice échelonnée et en sa matrice bien échelonnée équivalente, mais pas nécessairement égale.

• Pour une matrice donnée, le nombre de lignes non nulles est le même dans toutes ses formes échelonnées, tandis que sa forme bien échelonnée est unique.

📌 Si le coefficient choisi comme pivot est nul, on permute des lignes pour obtenir un coefficient non nul à cette position ; si toute la colonne est nulle, on passe à la colonne suivante.

• La matrice bien échelonnée $\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}$ possède trois lignes non nulles et est donc de rang $3$.

• Dans la méthode du pivot de Gauss présentée, les lignes ne sont permutées que lorsqu’un pivot choisi est nul.

💡 Astuce mémo

Choisir un pivot, le normaliser, annuler sa colonne, puis passer à la suivante.

📖 4. Matrices carrées inversibles

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice inversible : Matrice carrée A de taille n pour laquelle il existe une matrice B de même taille telle que AB = BA = I_n ; B est alors notée A^{-1}.

★ À maîtriser

• L’inverse d’une matrice inversible est unique.

📌 Si A et B sont inversibles, alors AB est inversible et (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}.

Compléments

• La matrice identité I_n est inversible et son inverse est I_n.

📌 Si A est inversible, alors A^{-1} est inversible et son inverse est A.

📌 Si A est inversible, alors sa transposée {}^tA est inversible et ({}^tA)^{-1} = {}^t(A^{-1}).

• La matrice \begin{pmatrix}1&0\0&0\end{pmatrix} n’est pas inversible.

• La matrice \begin{pmatrix}1&2\1&0\end{pmatrix} a pour inverse \begin{pmatrix}0&1\1/2&-1/2\end{pmatrix}.

📖 5. Calcul de l’inverse par pivot

★ À maîtriser

• Pour déterminer l’inverse de A, on réduit par pivot de Gauss la matrice augmentée A|I_n ; si elle devient I_n|C, alors A est inversible et A^{-1}=C, sinon A n’est pas inversible.

Compléments

• Dans la méthode d’inversion, les mêmes opérations élémentaires sont appliquées simultanément à A et à I_n.

• Pour A=\begin{pmatrix}0&1&1\1&2&1\1&0&1\end{pmatrix}, la réduction de A|I_3 à I_3|C donne A^{-1}=\begin{pmatrix}-1&1/2&1/2\0&1/2&-1/2\1&-1/2&1/2\end{pmatrix}.

💡 Astuce mémo

Augmenter par l’identité, réduire à l’identité, lire l’inverse à droite.

📖 6. Définition et équivalence des systèmes

🔑 Notions clés & Définitions

• Système linéaire : Système à n équations et p inconnues qui s’écrit sous forme matricielle AX=b, où A est la matrice des coefficients de taille n×p, X le vecteur colonne des inconnues et b le vecteur colonne des seconds membres.
• Solution d’un système : Vecteur colonne dont les composantes vérifient simultanément toutes les équations du système.
• Résolution d’un système : Opération qui consiste à trouver toutes les matrices colonnes X solutions du système AX=b.
• Systèmes équivalents : Deux systèmes qui ont les mêmes solutions.
• Rang d’un système : Rang de la matrice des coefficients A du système.

★ À maîtriser

📌 Si A est inversible, l’unique solution de AX=b est X=A^{-1}b.

Compléments

📌 Le rang d’un système à n équations et p inconnues est inférieur ou égal à n et à p.

📖 7. Résolution des systèmes par Gauss

★ À maîtriser

• La méthode du pivot de Gauss transforme un système en un système équivalent plus facile à résoudre au moyen d’échanges de lignes, de multiplications d’une ligne par un scalaire non nul et d’ajouts d’un multiple d’une ligne à une autre.

• Pour résoudre un système, on forme la matrice augmentée A|b, on applique les opérations élémentaires de Gauss et on lit les équations équivalentes dans la matrice échelonnée obtenue.

📌 Si le rang de A et celui de la matrice augmentée sont égaux au nombre p d’inconnues, le système à n équations admet une unique solution.

Compléments

📌 Si le rang du système est inférieur à n, le système n’a soit aucune solution, soit une infinité de solutions.

• Le système x+2y+z=1, -y-2z=-2, 3y+3z=-1 a pour solution unique (x,y,z)=(4,-8/3,7/3).

• Le système x+y-z=2, 2x+y+2z=1, 3x+2y+z=3 admet une infinité de solutions données par (x,y,z)=(-1-3z,3+4z,z), avec z∈ℝ.

• Le système x+y-3z=1, 2x+2y-4z=0, x+y+z=1 n’a aucune solution, car sa forme échelonnée contient une équation contradictoire 0=4.

💡 Astuce mémo

Une ligne contradictoire donne zéro solution ; une ligne toujours vraie peut laisser une infinité de solutions.