Fiche de révision : Matrices et pivot de Gauss

📋 Plan du Cours

1. Définition et types de matrices
2. Opérations et puissances matricielles
3. Échelonnement et rang matriciel
4. Technique du pivot de Gauss
5. Résolution des systèmes linéaires
6. Interprétation des systèmes réduits

📖 1. Définition et types de matrices

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice réelle : Une matrice réelle de taille $n\times p$, avec $n,p\geq 1$, est un tableau rectangulaire de nombres réels à $n$ lignes et $p$ colonnes, noté $A=(a_{ij})_{i,j}$, et l’ensemble de ces matrices est noté $M_{n,p}$.
• Matrice carrée : Une matrice carrée d’ordre $n$ a $n$ lignes et $n$ colonnes ; ses coefficients $a_{ii}$ sont ses coefficients diagonaux, et l’ensemble correspondant est noté $M_n$.
• Matrice identité : La matrice identité $I_n$ est une matrice diagonale carrée dont tous les coefficients diagonaux valent 1.

★ À maîtriser

📌 Dans une matrice diagonale, tous les coefficients hors diagonale sont nuls ; une matrice triangulaire supérieure annule les coefficients tels que $i>j$, tandis qu’une matrice triangulaire inférieure annule ceux tels que $i<j$.

Compléments

📌 Une matrice nulle a tous ses coefficients nuls ; une matrice ligne a une seule ligne ; une matrice colonne a une seule colonne.

💡 Astuce mémo

La diagonale garde les coefficients d’indices égaux ; les matrices triangulaires annulent un côté de cette diagonale.

📖 2. Opérations et puissances matricielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice transposée : La transposée $^{t}A$ d’une matrice $A=(a_{ij})\in M_{n,p}$ s’obtient en échangeant ses lignes et ses colonnes, de sorte que $^{t}A=(a_{ji})_{j,i}\in M_{p,n}$.

★ À maîtriser

📌 Deux matrices de même taille sont égales si et seulement si leurs coefficients de mêmes indices sont égaux.

📐 Formule - Pour deux matrices $A=(a_{ij})$ et $B=(b_{ij})$ de même taille, leur somme $C=A+B$ vérifie $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$ ; l’addition est commutative et associative, et la matrice nulle de même taille est son élément neutre.

📐 Formule - Si $A\in M_{n,m}$ et $B\in M_{m,p}$, leur produit $C=AB\in M_{n,p}$ est défini par $c_{ij}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}$.

• Pour une matrice carrée $A$, les puissances positives sont définies par $A^k=A\cdots A$ avec $k$ facteurs pour $k\geq1$, la convention est $A^0=I_n$, et les puissances négatives sont définies par $A^{-k}=(A^{-1})^k$ seulement si $A$ est inversible.

Compléments

📐 Formule - Pour $\lambda\in\mathbb{R}$ et $A=(a_{ij})\in M_{n,p}$, le produit par un scalaire $C=\lambda A$ vérifie $c_{ij}=\lambda a_{ij}$.

📌 Le produit matriciel n’est pas commutatif en général, et deux matrices carrées qui vérifient $AB=BA$ sont dites commutatives.

• La transposée vérifie $^{t}(\lambda A)=\lambda\,^{t}A$, $^{t}(A+B)=\,^{t}A+\,^{t}B$ et $^{t}(AC)=\,^{t}C\,^{t}A$ lorsque les produits sont définis.

📐 Formule - Pour $k,l\in\mathbb{N}$ et une matrice carrée $A$, on a $A^kA^l=A^{k+l}$ et $(A^k)^l=A^{kl}$.

• Les puissances d’une matrice diagonale s’obtiennent en élevant chacun de ses coefficients diagonaux à la puissance considérée, les coefficients hors diagonale restant nuls.

📐 Formule - Si deux matrices carrées commutent, leur somme vérifie la formule du binôme $(A+B)^m=\sum_{k=0}^{m}\binom{m}{k}A^{m-k}B^k=\sum_{k=0}^{m}\binom{m}{k}A^kB^{m-k}$ pour tout $m\in\mathbb{N}$, avec $\binom{m}{k}=\frac{m!}{k!(m-k)!}$.

📖 3. Échelonnement et rang matriciel

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice échelonnée : Une matrice est échelonnée si chaque ligne est nulle ou commence par un pivot égal à 1, si les lignes nulles sont placées après toutes les lignes non nulles, et si le premier coefficient non nul de chaque ligne non nulle se trouve à droite de celui de la ligne précédente.
• Matrice bien échelonnée : Une matrice bien échelonnée est une matrice échelonnée dont chaque colonne contenant un pivot ne comporte aucun autre élément non nul.
• Opération élémentaire de ligne : Les opérations élémentaires de ligne sont la multiplication d’une ligne par un scalaire non nul, l’ajout à une ligne d’un multiple d’une autre ligne, et la permutation de deux lignes.
• Rang d’une matrice : Le rang d’une matrice est le nombre de lignes non nulles de l’une de ses formes échelonnées, ou de sa forme bien échelonnée correspondante.

📝 Points essentiels

• Toute matrice peut être transformée par des opérations élémentaires en une matrice échelonnée et en une matrice bien échelonnée équivalentes à elle, mais pas nécessairement égales.

• Pour une matrice donnée, plusieurs formes échelonnées peuvent exister, mais elles ont toutes le même nombre de lignes non nulles ; sa forme bien échelonnée est unique.

💡 Astuce mémo

Les opérations élémentaires transforment la matrice, l’échelonnement fait apparaître les pivots, puis les lignes non nulles donnent le rang.

📖 4. Technique du pivot de Gauss

★ À maîtriser

• Pour traiter une colonne avec le pivot de Gauss, on normalise son pivot non nul à 1, puis on annule les autres coefficients de cette colonne par des opérations élémentaires sur les lignes.

Compléments

📌 Si le coefficient diagonal visé est nul, on permute des lignes pour placer un coefficient non nul à cette position, sans modifier les lignes des pivots déjà traités.

📌 Si tous les coefficients de la colonne traitée sont nuls, on passe à la colonne suivante, et l’algorithme s’arrête après le traitement de la colonne p.

• Dans la méthode du pivot de Gauss décrite, on ne permute des lignes que lorsqu’un pivot est nul.

💡 Astuce mémo

Colonne 1, puis 2, puis 3, jusqu’à p : pivoter, annuler, avancer.

📖 5. Résolution des systèmes linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice augmentée : La matrice augmentée d’un système s’obtient en juxtaposant la matrice des coefficients A et la colonne des seconds membres b, et se note A|b.

★ À maîtriser

• Pour résoudre un système par le pivot de Gauss, on applique les opérations élémentaires à sa matrice augmentée afin d’obtenir un système équivalent plus facile à résoudre.

• Si le système est compatible et si le rang de la matrice des coefficients égale le nombre d’inconnues, le système possède une unique solution.

Compléments

📌 Si le rang de la matrice des coefficients est inférieur au nombre d’équations, le système peut avoir une infinité de solutions ou aucune solution.

📖 6. Interprétation des systèmes réduits

★ À maîtriser

📌 Une ligne réduite de la forme 0=4 est une contradiction et implique que le système n’a aucune solution.

📌 Une ligne réduite de la forme 0=0 est toujours vraie et n’ajoute aucune contrainte au système.

Compléments

• Le système réduit x+3z=-1 et y-4z=3, avec la ligne 0=0, admet une infinité de solutions paramétrées par z∈ℝ : x=-1-3z et y=3+4z.

• Pour le système réduit x+3z=-1 et y-4z=3, le choix z=0 donne la solution (x,y,z)=(-1,3,0).

💡 Astuce mémo

Ligne absurde : aucune solution ; ligne toujours vraie : elle ne contraint pas les inconnues.

📊 Tableaux de synthèse

Interpréter une ligne réduite