QCM : Matrices et pivot de Gauss (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une matrice réelle comporte 3 lignes et 2 colonnes. Concernant sa taille et les types de matrices :

Une matrice nulle est définie par des coefficients diagonaux tous égaux à 1.
Une matrice carrée d’ordre 3 comporte 3 lignes et 3 colonnes.
Elle appartient à l’ensemble M2,3M_{2,3}, car les colonnes précèdent les lignes dans la notation.
Une matrice ligne possède une seule colonne, quel que soit son nombre de lignes.
Elle appartient à l’ensemble M3,2M_{3,2} des matrices réelles de cette taille.

Une matrice carrée d’ordre 3 comporte 3 lignes et 3 colonnes. · Elle appartient à l’ensemble $$M_{3,2}$$ des matrices réelles de cette taille.

Explication

La taille 3×23\times2 désigne 3 lignes et 2 colonnes, donc la matrice appartient à M3,2M_{3,2} ; l’ordre des dimensions n’est pas inversé. Une matrice carrée d’ordre 3 a bien 3 lignes et 3 colonnes, tandis qu’une matrice ligne a une seule ligne. Une matrice nulle a tous ses coefficients nuls ; des coefficients diagonaux égaux à 1 caractérisent l’identité.

2. Une matrice carrée d’ordre 4 a des coefficients nuls pour tout indice i>ji>j. Parmi les propositions suivantes concernant les types de matrices, laquelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Cette matrice est triangulaire supérieure, car ses coefficients sous la diagonale sont nuls.
La matrice identité d’ordre 4 a quatre coefficients diagonaux égaux à 1.
La condition aij=0a_{ij}=0 pour i>ji>j définit une matrice triangulaire inférieure.
Une matrice triangulaire inférieure annule les coefficients dont l’indice de ligne est inférieur à l’indice de colonne.
Une matrice diagonale d’ordre 4 annule tous ses coefficients hors diagonale.

Cette matrice est triangulaire supérieure, car ses coefficients sous la diagonale sont nuls. · La matrice identité d’ordre 4 a quatre coefficients diagonaux égaux à 1. · Une matrice triangulaire inférieure annule les coefficients dont l’indice de ligne est inférieur à l’indice de colonne. · Une matrice diagonale d’ordre 4 annule tous ses coefficients hors diagonale.

Explication

La condition i>ji>j annule les coefficients sous la diagonale et définit une matrice triangulaire supérieure. L’identité d’ordre 4 a quatre unités sur sa diagonale, et une matrice diagonale annule les coefficients hors diagonale. Une triangulaire inférieure annule les coefficients pour i<ji<j ; attribuer la condition i>ji>j à ce type inverse les deux définitions.

3. Soit AA une matrice carrée inversible d’ordre 3. À propos des puissances et des opérations matricielles, quelles sont les réponses exactes ?

La transposée de A+BA+B est la somme des transposées, lorsque les matrices ont même taille.
La puissance A−2A^{-2} est définie par A−2=(A−1)2A^{-2}=(A^{-1})^2.
La transposée d’un produit ACAC est (tA)(tC)({}^{t}A)({}^{t}C) lorsque ce produit est défini.
Deux matrices carrées sont dites commutatives lorsque leur produit est défini.
La puissance A0A^0 est la matrice nulle d’ordre 3.

La transposée de $$A+B$$ est la somme des transposées, lorsque les matrices ont même taille. · La puissance $$A^{-2}$$ est définie par $$A^{-2}=(A^{-1})^2$$.

Explication

Comme AA est inversible, A−2=(A−1)2A^{-2}=(A^{-1})^2 ; la puissance zéro est plutôt l’identité d’ordre 3. La transposée respecte l’addition, tandis que deux matrices sont dites commutatives si AB=BAAB=BA, et non simplement si leur produit existe. Enfin, l’ordre des facteurs est inversé : t(AC)=(tC)(tA)^{t}(AC)=({}^{t}C)({}^{t}A).

4. Que désigne le rang d’une matrice ?

Le nombre de lignes non nulles dans l’une de ses formes échelonnées.
Le nombre de pivots présents dans chacune de ses formes échelonnées.
Le nombre de colonnes qui contiennent au moins un coefficient non nul.
Le nombre total d’opérations élémentaires nécessaires à son échelonnement.

Le nombre de lignes non nulles dans l’une de ses formes échelonnées.

Explication

Le rang est défini comme le nombre de lignes non nulles d’une forme échelonnée de la matrice. Le nombre de colonnes non nulles ne définit pas le rang, car plusieurs colonnes peuvent être liées.

5. Dans la technique du pivot de Gauss, que fait-on après avoir normalisé à 1 le pivot non nul d’une colonne ?

On échange systématiquement la ligne du pivot avec la première ligne de la matrice.
On divise chaque coefficient des colonnes suivantes par la valeur du pivot.
On déplace les coefficients non nuls de la colonne vers la diagonale.
On annule les autres coefficients de cette colonne par des opérations élémentaires sur les lignes.

On annule les autres coefficients de cette colonne par des opérations élémentaires sur les lignes.

Explication

La méthode consiste à ramener le pivot non nul à 1, puis à éliminer les autres coefficients de sa colonne à l’aide d’opérations élémentaires sur les lignes. L’échange de lignes sert notamment à placer un pivot non nul lorsque la position diagonale visée contient zéro, et n’est pas une étape systématique après la normalisation.

6. Quel est le rôle de la matrice augmentée dans la résolution d’un système linéaire par pivot de Gauss ?

Remplacer les équations par un système ayant nécessairement une solution unique
Calculer directement le rang de la matrice des coefficients sans tenir compte des seconds membres
Permettre d’appliquer des opérations élémentaires pour obtenir un système équivalent plus facile à résoudre
Identifier les variables libres avant toute transformation des équations

Permettre d’appliquer des opérations élémentaires pour obtenir un système équivalent plus facile à résoudre

Explication

La matrice augmentée rassemble les coefficients et les seconds membres, ce qui permet de transformer le système par opérations élémentaires tout en conservant un système équivalent. Le rang ne se calcule pas en ignorant les seconds membres lorsqu’on étudie la compatibilité du système.

7. Comment une ligne réduite de la forme 0=00=0 diffère-t-elle d’une ligne de la forme 0=40=4 dans l’interprétation d’un système ?

La première impose une valeur aux inconnues, tandis que la seconde laisse une variable libre dans le système.
La première indique une solution unique, tandis que la seconde permet plusieurs solutions paramétrées.
La première n’ajoute aucune contrainte, tandis que la seconde révèle une contradiction qui rend le système incompatible.
La première rend le système incompatible, tandis que la seconde n’ajoute aucune contrainte aux inconnues.

La première n’ajoute aucune contrainte, tandis que la seconde révèle une contradiction qui rend le système incompatible.

Explication

L’égalité 0=00=0 est toujours vraie et n’apporte donc aucune contrainte, alors que 0=40=4 est impossible et exclut toute solution. Une ligne vraie ne détermine pas une variable libre à elle seule : c’est la contradiction qui rend le système incompatible.

8. Quel effet a la condition i>ji>j sur les coefficients d’une matrice triangulaire supérieure ?

Elle impose que tous les coefficients hors diagonale soient nuls.
Elle impose que les coefficients situés au-dessus de la diagonale soient nuls.
Elle impose que les coefficients diagonaux soient égaux à 1.
Elle impose que les coefficients situés sous la diagonale soient nuls.

Elle impose que les coefficients situés sous la diagonale soient nuls.

Explication

Dans une matrice triangulaire supérieure, les coefficients aija_{ij} tels que i>ji>j sont nuls, ce qui correspond aux positions sous la diagonale. L’annulation des coefficients au-dessus de la diagonale caractérise plutôt une matrice triangulaire inférieure.

9. Pour calculer concrètement le produit de deux matrices, comment obtient-on le coefficient situé à la ligne ii et à la colonne jj de ABAB ?

En additionnant les produits des coefficients de la ligne ii de AA par ceux de la colonne jj de BB, terme à terme
En multipliant les coefficients de la ligne ii de AA par ceux de la ligne jj de BB, puis en les additionnant
En additionnant les coefficients de la colonne ii de AA et de la ligne jj de BB, terme à terme
En multipliant le coefficient de position (i,j)(i,j) de AA par celui de même position dans BB

En additionnant les produits des coefficients de la ligne $$i$$ de $$A$$ par ceux de la colonne $$j$$ de $$B$$, terme à terme

Explication

Le coefficient de ABAB à la position (i,j)(i,j) est la somme des produits associant les coefficients de la ligne ii de AA à ceux de la colonne jj de BB. La multiplication terme à terme des coefficients de même position correspond à une autre opération, et non au produit matriciel général.

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Comment note-t-on l’ensemble des matrices réelles à nn lignes et pp colonnes ?

Mn,pM_{n,p}.

Quand deux matrices de même taille sont-elles égales ?

Lorsque leurs coefficients de mêmes indices sont égaux.

Comment calculer le coefficient d’indices i,ji,j de la somme A+BA+B ?

cij=aij+bijc_{ij}=a_{ij}+b_{ij}.

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