QCM : Matrices et pivot de Gauss (14 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Concernant les matrices réelles de taille n×pn \times p :

Le coefficient aija_{ij} représente le tableau entier de la matrice.
Elles sont des tableaux rectangulaires comportant au moins une ligne et une colonne.
L’ensemble des matrices réelles de taille n×pn \times p se note Mp,nM_{p,n}.
Leurs coefficients appartiennent à l’ensemble des nombres complexes.
La notation (aij)i,j(a_{ij})_{i,j} désigne un coefficient isolé du tableau.

Elles sont des tableaux rectangulaires comportant au moins une ligne et une colonne.

Explication

Une matrice réelle de taille n×pn \times p est un tableau rectangulaire avec n,p≥1n,p \geq 1. La notation (aij)i,j(a_{ij})_{i,j} représente le tableau entier, aija_{ij} un coefficient, et l’ensemble correspondant est Mn,pM_{n,p} ; les coefficients considérés sont réels.

2. Une matrice carrée d’ordre 33, une matrice nulle et des matrices de dimensions 1×41 \times 4 et 4×14 \times 1 sont considérées. Quelles propositions sont exactes ?

L’ensemble des matrices carrées d’ordre trois se note M3,3M_{3,3}.
La matrice nulle a tous ses coefficients égaux à zéro et se note 00.
Une matrice de dimensions 1×41 \times 4 est une matrice ligne.
La matrice carrée possède trois lignes et trois colonnes, avec ses coefficients diagonaux notés aiia_{ii}.
Une matrice de dimensions 4×14 \times 1 est une matrice ligne.

La matrice nulle a tous ses coefficients égaux à zéro et se note $$0$$. · Une matrice de dimensions $$1 \times 4$$ est une matrice ligne. · La matrice carrée possède trois lignes et trois colonnes, avec ses coefficients diagonaux notés $$a_{ii}$$.

Explication

Une matrice carrée d’ordre trois a trois lignes et trois colonnes ; ses coefficients diagonaux sont les aiia_{ii}. La matrice nulle a tous ses coefficients nuls et se note 00, tandis qu’une matrice 1×41 \times 4 est une matrice ligne. L’ensemble des matrices carrées d’ordre trois se note M3M_3, et une matrice 4×14 \times 1 est une matrice colonne.

3. On examine des matrices carrées dont les coefficients hors diagonale sont nuls, ainsi que des matrices triangulaires. Quelles propositions sont exactes ?

La matrice identité d’ordre nn a ses coefficients diagonaux égaux à zéro.
Une matrice diagonale peut être rectangulaire sans être carrée.
Une matrice diagonale possède des coefficients nuls pour toute paire d’indices distincts.
Une matrice triangulaire supérieure a des coefficients nuls lorsque l’indice de ligne dépasse l’indice de colonne.
Une matrice triangulaire inférieure a des coefficients nuls lorsque l’indice de ligne dépasse l’indice de colonne.

Une matrice diagonale possède des coefficients nuls pour toute paire d’indices distincts. · Une matrice triangulaire supérieure a des coefficients nuls lorsque l’indice de ligne dépasse l’indice de colonne.

Explication

Pour une matrice triangulaire supérieure, aij=0a_{ij}=0 lorsque i>ji>j ; une matrice diagonale est carrée et ses coefficients hors diagonale sont nuls. L’identité a des coefficients diagonaux égaux à 11, et la condition de la triangulaire inférieure porte sur i<ji<j.

4. On additionne deux matrices de même taille, puis on compare des matrices de même dimension. Quelles propriétés s’appliquent ?

Le coefficient situé en position i,ji,j dans la somme est la somme des coefficients de cette position.
La matrice nulle de même dimension est l’élément neutre de l’addition.
L’addition de matrices de même taille est commutative et associative.
Deux matrices égales ont des coefficients correspondants égaux à chaque position.
L’addition de matrices est définie entre matrices de dimensions différentes.

Le coefficient situé en position $$i,j$$ dans la somme est la somme des coefficients de cette position. · La matrice nulle de même dimension est l’élément neutre de l’addition. · L’addition de matrices de même taille est commutative et associative. · Deux matrices égales ont des coefficients correspondants égaux à chaque position.

Explication

La somme se calcule coefficient par coefficient, et deux matrices sont égales si leurs coefficients correspondants sont égaux. L’addition de matrices de même taille est commutative et associative, avec la matrice nulle de même dimension comme élément neutre ; des matrices de dimensions différentes ne s’additionnent pas selon cette définition.

5. Soient A∈M2,3A\in M_{2,3}, B∈M3,4B\in M_{3,4} et D∈M2,2D\in M_{2,2}. Parmi les propositions concernant leurs produits et le binôme matriciel, lesquelles sont exactes ?

Le coefficient cijc_{ij} de ABAB se calcule par ∑k=13aikbkj\sum_{k=1}^{3}a_{ik}b_{kj}.
Le produit ABAB est défini et appartient à M2,4M_{2,4}.
Le développement de (A+D)2(A+D)^2 par le binôme vaut A2+2AD+D2A^2+2AD+D^2 sans condition.
Le produit BABA est défini et appartient à M3,3M_{3,3}.
Les produits de matrices sont commutatifs pour toutes les matrices carrées.

Le coefficient $$c_{ij}$$ de $$AB$$ se calcule par $$\sum_{k=1}^{3}a_{ik}b_{kj}$$. · Le produit $$AB$$ est défini et appartient à $$M_{2,4}$$.

Explication

Les trois colonnes de AA correspondent aux trois lignes de BB, donc AB∈M2,4AB\in M_{2,4} et ses coefficients sont les sommes indiquées. BABA n’est pas défini, car ses dimensions intérieures ne concordent pas. Le produit matriciel n’est pas commutatif en général, et le binôme proposé exige que les matrices commutent.

6. Une matrice A∈M2,3A\in M_{2,3} est transposée, et l’on considère aussi les puissances d’une matrice carrée non inversible. Quelles propositions sont exactes ?

Pour un scalaire λ\lambda, la transposée de λA\lambda A vaut λ tA\lambda\,{}^{t}A.
La puissance zéro d’une matrice carrée d’ordre nn est InI_n.
Une matrice carrée non inversible admet des puissances positives définies par multiplications répétées.
La transposée d’un produit ACAC s’écrit (tA)(tC)({}^{t}A)({}^{t}C).
La transposée de AA échange lignes et colonnes et appartient à M3,2M_{3,2}.

Pour un scalaire $$\lambda$$, la transposée de $$\lambda A$$ vaut $$\lambda\,{}^{t}A$$. · La puissance zéro d’une matrice carrée d’ordre $$n$$ est $$I_n$$. · Une matrice carrée non inversible admet des puissances positives définies par multiplications répétées. · La transposée de $$A$$ échange lignes et colonnes et appartient à $$M_{3,2}$$.

Explication

La transposition échange les lignes et les colonnes, ce qui transforme une matrice de taille 2×32 \times 3 en une matrice de taille 3×23 \times 2, et elle commute avec la multiplication par un scalaire. Les puissances positives existent même si la matrice n’est pas inversible, et la puissance zéro vaut InI_n. Pour un produit, l’ordre s’inverse : (t(AC))=(tC)(tA)({}^{t}(AC))=({}^{t}C)({}^{t}A).

7. Soit une matrice carrée AA. Parmi les propositions suivantes concernant ses puissances, lesquelles sont exactes ?

Pour des exposants naturels, A2A3=A6A^2A^3=A^6, quelle que soit la matrice carrée AA.
Pour une matrice diagonale, A3A^3 possède des coefficients non nuls hors diagonale.
Pour des exposants naturels, A3A2=A5A^3A^2=A^5, quelle que soit la matrice carrée AA.
Si AA est diagonale, A2A^2 conserve ses coefficients diagonaux sans les mettre au carré.
Pour des exposants naturels, (A2)3=A5(A^2)^3=A^5, quelle que soit la matrice carrée AA.

Pour des exposants naturels, $$A^3A^2=A^5$$, quelle que soit la matrice carrée $$A$$.

Explication

Les règles de calcul donnent A3A2=A3+2=A5A^3A^2=A^{3+2}=A^5 et (A2)3=A6(A^2)^3=A^6, non A5A^5. Pour une matrice diagonale, les puissances restent diagonales et chaque coefficient diagonal est élevé à la puissance considérée.

8. Une forme bien échelonnée comporte quatre lignes, dont trois sont non nulles. Dans la méthode du pivot de Gauss présentée, quelle(s) proposition(s) est(sont) exacte(s) ?

La méthode impose une permutation après chaque normalisation d’un pivot.
La forme échelonnée associée à cette matrice est unique.
Cette matrice est de rang 44, puisque le rang compte toutes ses lignes.
La méthode permute les lignes à chaque fois qu’un pivot est non nul.
Cette matrice est de rang 33, puisque son rang compte les lignes non nulles.

Cette matrice est de rang $$3$$, puisque son rang compte les lignes non nulles.

Explication

Le rang est le nombre de lignes non nulles d’une forme échelonnée ; ici, il vaut donc 33. Une matrice donnée peut avoir différentes formes échelonnées, même si elles ont le même nombre de lignes non nulles ; sa forme bien échelonnée, elle, est unique. Dans la méthode décrite, une permutation est effectuée lorsque le pivot choisi est nul, et non à chaque pivot non nul ou après sa normalisation.

9. Pour une matrice carrée AA, une matrice carrée BB vérifie AB=BA=InAB=BA=I_n. Concernant l’inversibilité, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La matrice BB est de même taille que AA, soit nn lignes et nn colonnes.
Une matrice carrée ne peut avoir qu’un seul inverse satisfaisant les deux égalités.
Les deux produits ABAB et BABA doivent être égaux à InI_n pour certifier cet inverse.
La matrice identité InI_n est inversible et son inverse est InI_n.
La matrice AA est inversible, et la matrice BB est son inverse noté A−1A^{-1}.

La matrice $$B$$ est de même taille que $$A$$, soit $$n$$ lignes et $$n$$ colonnes. · Une matrice carrée ne peut avoir qu’un seul inverse satisfaisant les deux égalités. · Les deux produits $$AB$$ et $$BA$$ doivent être égaux à $$I_n$$ pour certifier cet inverse. · La matrice identité $$I_n$$ est inversible et son inverse est $$I_n$$. · La matrice $$A$$ est inversible, et la matrice $$B$$ est son inverse noté $$A^{-1}$$.

Explication

La définition exige une matrice BB de même taille que AA telle que AB=BA=InAB=BA=I_n ; elle est alors notée A−1A^{-1}. L’inverse est unique, et l’identité est inversible avec elle-même pour inverse. Ainsi, les deux produits doivent bien donner InI_n.

10. Soient A et B deux matrices carrées inversibles. Parmi les propositions suivantes concernant leurs inverses, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

La transposée de A⁻¹ a pour inverse la transposée de A⁻¹.
L’inverse de A⁻¹ est A⁻¹ lui-même.
L’inverse de A⁻¹ est B.
La transposée de A est inversible et son inverse est la transposée de A⁻¹.
Le produit AB est inversible et son inverse est B⁻¹A⁻¹.

La transposée de A est inversible et son inverse est la transposée de A⁻¹. · Le produit AB est inversible et son inverse est B⁻¹A⁻¹.

Explication

Le produit de deux matrices inversibles est inversible, avec (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹. L’inverse de A⁻¹ est A, et la transposée de A a pour inverse la transposée de A⁻¹. L’inverse de A⁻¹ n’est donc pas B en général, et l’ordre des facteurs du produit ne peut pas être conservé.

11. Concernant les deux matrices carrées suivantes, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La matrice à lignes (1, 2) et (1, 0) a pour inverse la matrice à lignes (0, 1) et (1/2, −1/2).
La matrice à lignes (1, 2) et (1, 0) a pour inverse la matrice à lignes (0, 1) et (−1/2, 1/2).
La matrice à lignes (1, 0) et (0, 0) possède une inverse égale à elle-même.
La matrice à lignes (1, 2) et (1, 0) a pour inverse la matrice à lignes (1, 0) et (0, 1).
La matrice à lignes (1, 0) et (0, 0) a pour inverse la matrice identité d’ordre 2.

La matrice à lignes (1, 2) et (1, 0) a pour inverse la matrice à lignes (0, 1) et (1/2, −1/2).

Explication

La matrice à lignes (1, 2) et (1, 0) a bien l’inverse indiqué, tandis que celle à lignes (1, 0) et (0, 0) n’est pas inversible. Les matrices proposées comme inverses ne corrigent pas ces faits : les autres matrices associées à la première ne sont pas son inverse, et la seconde ne possède aucun inverse.

12. On applique le pivot de Gauss à la matrice augmentée A|Iₙ d’une matrice carrée A. Quelles propositions sont exactes ?

Chaque opération élémentaire de ligne transforme simultanément les parties A et Iₙ.
Si la réduction n’aboutit pas à Iₙ|C, alors A est inversible et son inverse est la partie droite obtenue.
Si la partie gauche devient une matrice triangulaire, la partie droite est nécessairement A⁻¹.
Les opérations de ligne s’appliquent à A, tandis qu'Iₙ reste inchangée pendant la réduction.
Si la réduction aboutit à Iₙ|C, alors A est inversible et son inverse est C.

Chaque opération élémentaire de ligne transforme simultanément les parties A et Iₙ. · Si la réduction aboutit à Iₙ|C, alors A est inversible et son inverse est C.

Explication

Quand la réduction de A|Iₙ donne Iₙ|C, on obtient A⁻¹ = C. Les mêmes opérations élémentaires sont appliquées aux deux blocs ; une partie gauche simplement triangulaire ne suffit pas à identifier la partie droite comme l’inverse, et l’échec à obtenir Iₙ ne prouve pas l’inversibilité.

13. Une réduction par pivot de Gauss de A|I₃, pour A à lignes (0, 1, 1), (1, 2, 1) et (1, 0, 1), aboutit à I₃|C. Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont exactes ?

La matrice A est inversible puisque la partie gauche réduite est I₃.
La deuxième ligne de C est (1/2, 0, −1/2).
La troisième ligne de C est (1, −1/2, 1/2).
La première ligne de C est (1, −1/2, 1/2).
La première ligne de C est (−1, 1/2, 1/2).

La matrice A est inversible puisque la partie gauche réduite est I₃. · La troisième ligne de C est (1, −1/2, 1/2). · La première ligne de C est (−1, 1/2, 1/2).

Explication

La réduction donne I₃ à gauche, donc A est inversible et C est son inverse. Les lignes de C sont respectivement (−1, 1/2, 1/2), (0, 1/2, −1/2) et (1, −1/2, 1/2), ce qui invalide les deux lignes proposées différemment.

14. Parmi les propositions suivantes concernant le rang et la résolution des systèmes, laquelle ou lesquelles sont exactes ?

Un rang du système égal au nombre d’équations entraîne nécessairement l’absence de solution.
Le triplet (4,−83,73)\left(4,-\frac{8}{3},\frac{7}{3}\right) satisfait le système x+2y+z=1, −y−2z=−2, 3y+3z=−1x+2y+z=1,\ -y-2z=-2,\ 3y+3z=-1.
Un rang du système inférieur au nombre d’équations garantit une infinité de solutions.
Le système x+2y+z=1, −y−2z=−2, 3y+3z=−1x+2y+z=1,\ -y-2z=-2,\ 3y+3z=-1 a pour solution unique (4,−3,73)\left(4,-3,\frac{7}{3}\right).
Pour trois équations, un rang du système égal à deux implique une absence ou une infinité de solutions.

Le triplet $$\left(4,-\frac{8}{3},\frac{7}{3}\right)$$ satisfait le système $$x+2y+z=1,\ -y-2z=-2,\ 3y+3z=-1$$. · Pour trois équations, un rang du système égal à deux implique une absence ou une infinité de solutions.

Explication

Un rang inférieur au nombre d’équations conduit soit à aucune solution, soit à une infinité de solutions. Le triplet indiqué est la solution unique de ce système; le rang inférieur ne garantit donc pas une infinité, et la valeur de yy dans l’autre triplet est incorrecte. Un rang égal au nombre d’équations ne signifie pas nécessairement que le système est incompatible.

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Qu’est-ce qu’une matrice réelle de taille n×pn \times p ?

Un tableau rectangulaire de réels à n≥1n \geq 1 lignes et p≥1p \geq 1 colonnes.

Que désignent les coefficients aiia_{ii} d’une matrice carrée ?

Ses coefficients diagonaux.

Quelle condition vérifie une matrice triangulaire supérieure pour ses coefficients ?

aij=0a_{ij}=0 pour i>ji>j.

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