Fiche de révision : Mécanique des torseurs

📋 Plan du Cours

1. Définition et représentation du torseur
2. Opérations sur les torseurs
3. Invariants du torseur
4. Axe central et moment central
5. Torseurs particuliers
6. Décompositions du torseur
7. Classification des torseurs
8. Torseur d’un système de vecteurs
9. Torseur d’une densité de vecteurs
10. Applications mécaniques

📖 1. Définition et représentation du torseur

🔑 Notions clés & Définitions

• Torseur : Ensemble formé d’une résultante vectorielle libre R et d’un champ de moments H_P associé, utilisé notamment pour décrire les mouvements et les actions mécaniques des solides indéformables.

★ À maîtriser

📌 Les moments d’un torseur vérifient la loi de transport $H_P=H_Q+R\wedge\overrightarrow{QP}$.

• Les éléments de réduction d’un torseur au point P sont sa résultante R et son moment H_P.

Compléments

• Dans une base orthonormée directe, les six coordonnées scalaires d’un torseur sont X, Y, Z, L, M et N, appelées coordonnées plückériennes.

💡 Astuce mémo

Résultante libre, moment lié au point

📖 2. Opérations sur les torseurs

★ À maîtriser

📌 Les opérations sur les torseurs ne s’effectuent que lorsqu’ils sont exprimés au même point de réduction et dans le même repère.

📐 Formule — La somme de deux torseurs est définie par $R=R_1+R_2$ et $H_P=H_{1P}+H_{2P}$.

📐 Formule — Le comoment de deux torseurs est le scalaire $\tau_1\otimes\tau_2=R_1\cdot H_{2P}+R_2\cdot H_{1P}$, indépendant du point P.

Compléments

📐 Formule — La multiplication d’un torseur par un scalaire λ donne $R=\lambda R_1$ et $H_P=\lambda H_{1P}$.

💡 Astuce mémo

Réduire, additionner, comomenter, multiplier

📖 3. Invariants du torseur

★ À maîtriser

📐 Formule — L’invariant scalaire, ou automoment, d’un torseur est $I_S=R\cdot H_P$ et sa valeur est indépendante du point P.

📐 Formule — Si R est non nulle, l’invariant vectoriel est $\vec I_V=\frac{I_S}{\|R\|^2}R$, c’est-à-dire la projection du moment sur la résultante.

Compléments

• Si la résultante R est nulle, le moment est uniforme dans l’espace et l’invariant vectoriel est égal à ce moment constant.

💡 Astuce mémo

Résultante non nulle → projection du moment invariante

📖 4. Axe central et moment central

🔑 Notions clés & Définitions

• Axe central : Ensemble des points P où le moment H_P est colinéaire à R.

★ À maîtriser

📐 Formule — L’équation vectorielle de l’axe central est $\overrightarrow{OP}=\frac{R\wedge H_O}{\|R\|^2}+\alpha R$ avec α réel.

• Le moment central est constant sur l’axe central et sa norme y est minimale.

Compléments

📐 Formule — Le pas du torseur est l’invariant $\lambda=\frac{I_S}{\|R\|^2}$ et le moment sur l’axe central vérifie $H_P=\lambda R$.

💡 Astuce mémo

Une droite parallèle à la résultante, portant le moment minimal

📖 5. Torseurs particuliers

🔑 Notions clés & Définitions

• Torseur glisseur : Torseur de résultante non nulle dont l’invariant scalaire est nul, ce qui équivaut à l’existence d’un point où le moment est nul.
• Torseur couple : Torseur de résultante nulle et de moment non nul, dont le moment est uniforme dans l’espace.
• Torseur nul : Possède une résultante nulle et un moment nul en tout point de l’espace.

💡 Astuce mémo

Glisseur : moment nul ; couple : résultante nulle

📖 6. Décompositions du torseur

📝 Points essentiels

• La décomposition canonique d’un torseur quelconque en un point P consiste à l’écrire comme la somme d’un glisseur et d’un couple.

📐 Formule — La décomposition centrale s’écrit $\tau_P=\left\{R,H_P-I_V\right\}_P+\left\{0,I_V\right\}_P$.

💡 Astuce mémo

Décomposition canonique au point, décomposition centrale invariante

📖 7. Classification des torseurs

📝 Points essentiels

📌 Un torseur quelconque vérifie R≠0, H_P≠0 et I_S≠0, un glisseur vérifie R≠0 et I_S=0, un couple vérifie R=0 et H_P≠0, et le torseur nul vérifie R=0 et H_P=0.

📖 8. Torseur d’un système de vecteurs

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour un ensemble de vecteurs liés (A_i,F_i), la résultante du torseur associé est $R=\sum_{i=1}^{n}F_i$ et son moment au point P est $H_P=\sum_{i=1}^{n}\overrightarrow{PA_i}\wedge F_i$.

• Le torseur d’un ensemble de vecteurs liés s’obtient en additionnant les torseurs associés à chacun des vecteurs.

💡 Astuce mémo

Résultante des forces, puis somme des moments

📖 9. Torseur d’une densité de vecteurs

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une densité de vecteurs f(M) définie sur un domaine D, la résultante vaut $R=\int_D f(M)\,dm$ et le moment au point P vaut $H_P=\int_D\overrightarrow{PM}\wedge f(M)\,dm$.

Compléments

• Pour une densité linéique uniforme f_M=-p_0,\vec y sur une tige OA de longueur L, on obtient au point O $R=-p_0L\,\vec y$ et $H_O=-\frac{p_0L^2}{2}\,\vec z$.

💡 Astuce mémo

Intégrer la densité, puis intégrer ses moments

📖 10. Applications mécaniques

📝 Points essentiels

• Pour une force concentrée F⃗=-F,vec y appliquée au point C d’abscisse αL sur une poutre, le torseur réduit en A a pour résultante $R_F=-F\,\vec y$ et pour moment $H_A=-\alpha FL\,\vec z$.

• Pour une charge linéique q(x)=q_0x/L sur une poutre de longueur L, la résultante vaut $R_q=\frac{2}{3}q_0L\,\vec y$ et le moment en A vaut $H_A=\frac{2}{5}q_0L^2\,\vec z$.

📊 Tableaux de synthèse

Classification des torseurs