QCM : Mécanique des torseurs — 23 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quel ensemble caractérise un torseur utilisé pour décrire les actions mécaniques d’un solide indéformable ?

Un point de réduction et six coordonnées scalaires quelconques
Deux résultantes vectorielles fixes et un moment constant
Une force appliquée et une vitesse angulaire indépendante
Une résultante vectorielle libre et un champ de moments associé

Une résultante vectorielle libre et un champ de moments associé

Explication

Un torseur associe une résultante vectorielle libre à un champ de moments dépendant du point choisi. La résultante n’est pas une force appliquée en un point déterminé, car elle reste indépendante du point de réduction.

2. Deux points de réduction P et Q étant choisis pour un même torseur, quelle relation permet de calculer le moment en P ?

HP=HQ+R∧QP→H_P=H_Q+R\wedge\overrightarrow{QP}
HP=R+HQ∧QP→H_P=R+H_Q\wedge\overrightarrow{QP}
HP=HQ−R∧PQ→H_P=H_Q-R\wedge\overrightarrow{PQ}
HP=HQ+R⋅QP→H_P=H_Q+R\cdot\overrightarrow{QP}

$$H_P=H_Q+R\wedge\overrightarrow{QP}$$

Explication

La loi de transport relie les moments en P et en Q par HP=HQ+R∧QP→H_P=H_Q+R\wedge\overrightarrow{QP}. Le produit scalaire ne convient pas ici, car le transport du moment utilise un produit vectoriel.

3. Quels sont les éléments de réduction d’un torseur au point P ?

Les coordonnées X, Y, Z et le repère choisi
La résultante R et le moment H_P
Le moment H_P et le point Q
La résultante R et le vecteur QP

La résultante R et le moment H_P

Explication

La réduction d’un torseur au point P est constituée de la résultante R et du moment H_P en ce point. Le point Q et le vecteur QP interviennent dans un changement de point, mais ne constituent pas les éléments de réduction.

4. Dans quelles conditions peut-on additionner directement deux torseurs ?

Lorsqu’ils sont appliqués à des points distincts mais dans le même plan
Lorsqu’ils possèdent la même résultante dans deux repères quelconques
Lorsqu’ils sont exprimés au même point de réduction et dans le même repère
Lorsqu’ils ont des moments égaux, même avec des repères différents

Lorsqu’ils sont exprimés au même point de réduction et dans le même repère

Explication

Les opérations sur les torseurs exigent un même point de réduction et un même repère pour que les composantes soient comparables. Avoir une résultante ou un moment commun ne suffit pas à garantir cette compatibilité.

5. Deux torseurs réduits au même point P ont pour résultantes R1R_1 et R2R_2 et pour moments H1PH_{1P} et H2PH_{2P}. Quelle est leur somme ?

R=R1+R2R=R_1+R_2 et HP=H1P+H2PH_P=H_{1P}+H_{2P}
R=R1−R2R=R_1-R_2 et HP=H1P−H2PH_P=H_{1P}-H_{2P}
R=R1∧R2R=R_1\wedge R_2 et HP=H1P∧H2PH_P=H_{1P}\wedge H_{2P}
R=R1⋅R2R=R_1\cdot R_2 et HP=H1P⋅H2PH_P=H_{1P}\cdot H_{2P}

$$R=R_1+R_2$$ et $$H_P=H_{1P}+H_{2P}$$

Explication

La somme des torseurs s’obtient en additionnant séparément leurs résultantes et leurs moments au même point. Les produits scalaire et vectoriel correspondent à d’autres opérations et ne définissent pas cette somme.

6. Le comoment de deux torseurs réduits au point P s’écrit comment ?

τ1⊗τ2=R1∧H2P+R2∧H1P\tau_1\otimes\tau_2=R_1\wedge H_{2P}+R_2\wedge H_{1P}
τ1⊗τ2=R1⋅H2P+R2⋅H1P\tau_1\otimes\tau_2=R_1\cdot H_{2P}+R_2\cdot H_{1P}
τ1⊗τ2=R1⋅R2+H1P⋅H2P\tau_1\otimes\tau_2=R_1\cdot R_2+H_{1P}\cdot H_{2P}
τ1⊗τ2=R1+H2P+R2+H1P\tau_1\otimes\tau_2=R_1+H_{2P}+R_2+H_{1P}

$$\tau_1\otimes\tau_2=R_1\cdot H_{2P}+R_2\cdot H_{1P}$$

Explication

Le comoment est la somme des deux produits scalaires croisés entre une résultante et le moment de l’autre torseur. Il s’agit d’un scalaire invariant, contrairement aux moments pris séparément, qui varient avec le point.

7. Quelle expression définit l’invariant scalaire, ou automoment, d’un torseur ?

IS=R∧HPI_S=R\wedge H_P
IS=HP∥R∥2I_S=\frac{H_P}{\|R\|^2}
IS=R+HPI_S=R+H_P
IS=R⋅HPI_S=R\cdot H_P

$$I_S=R\cdot H_P$$

Explication

L’automoment est le produit scalaire IS=R⋅HPI_S=R\cdot H_P et sa valeur reste inchangée lorsque le point de réduction varie. Le moment H_P pris seul dépend en revanche du point choisi.

8. Pour une résultante non nulle, quelle formule donne l’invariant vectoriel d’un torseur ?

I⃗V=∥R∥2ISR\vec I_V=\frac{\|R\|^2}{I_S}R
I⃗V=IS∥R∥2R\vec I_V=I_S\|R\|^2R
I⃗V=IS∥R∥2R\vec I_V=\frac{I_S}{\|R\|^2}R
I⃗V=IS+∥R∥2R\vec I_V=I_S+\|R\|^2R

$$\vec I_V=\frac{I_S}{\|R\|^2}R$$

Explication

Lorsque R est non nulle, l’invariant vectoriel vaut I⃗V=IS∥R∥2R\vec I_V=\frac{I_S}{\|R\|^2}R, ce qui correspond à la projection du moment sur la résultante. La multiplication par ∥R∥2\|R\|^2 ou l’inversion du rapport ne représente pas cette projection.

9. Comment caractérise-t-on géométriquement l’axe central d’un torseur dont la résultante est non nulle ?

Il rassemble les points où le moment est perpendiculaire à la résultante
Il rassemble les points où le moment est colinéaire à la résultante
Il rassemble les points où le moment est nul quelle que soit la résultante
Il rassemble les points où le moment est égal à la résultante

Il rassemble les points où le moment est colinéaire à la résultante

Explication

L’axe central est l’ensemble des points où le moment et la résultante sont colinéaires. Un moment nul caractérise un cas particulier, celui d’un glisseur, mais ne définit pas l’axe central de tout torseur.

10. Dans l’équation vectorielle de l’axe central OP→=R∧HO∥R∥2+αR\overrightarrow{OP}=\frac{R\wedge H_O}{\|R\|^2}+\alpha R, quel est le rôle du terme αR\alpha R ?

Il détermine la norme minimale du moment central
Il fixe un point particulier indépendant de la résultante
Il impose un moment nul en chaque point de la droite
Il décrit les points d’une droite parallèle à la résultante

Il décrit les points d’une droite parallèle à la résultante

Explication

Le terme αR\alpha R fait varier le point le long d’une droite parallèle à la résultante, tandis que le premier terme fournit un point de cette droite. La norme minimale du moment relève d’une propriété du moment central, et non du rôle de αR\alpha R.

11. Quelle propriété le moment central possède-t-il le long de l’axe central ?

Il varie continuellement et sa norme atteint sa valeur maximale
Il reste constant et sa norme atteint sa valeur minimale
Il reste perpendiculaire à la résultante en chaque point de l’axe central
Il devient nul en chaque point de l’axe central

Il reste constant et sa norme atteint sa valeur minimale

Explication

Sur l’axe central, le moment central est constant et sa norme est minimale. Il n’est pas nécessairement nul, car cette annulation correspond au cas particulier d’un glisseur.

12. Quelle condition définit un torseur glisseur ?

Une résultante non nulle et un point où le moment s’annule
Une résultante nulle et un moment nul en tout point
Une résultante non nulle et un moment uniforme dans l’espace
Une résultante nulle et un moment uniforme non nul

Une résultante non nulle et un point où le moment s’annule

Explication

Un glisseur possède une résultante non nulle et son invariant scalaire nul équivaut à l’existence d’un point où le moment est nul. Une résultante nulle avec un moment uniforme non nul décrit plutôt un torseur couple.

13. Quelles sont les caractéristiques d’un torseur couple ?

Une résultante non nulle et un moment variable selon le point
Une résultante nulle et un moment nul en tout point
Une résultante nulle et un moment non nul uniforme dans l’espace
Une résultante non nulle et un moment nul en un point

Une résultante nulle et un moment non nul uniforme dans l’espace

Explication

Un couple se caractérise par une résultante nulle et un moment non nul qui reste uniforme dans l’espace. La présence d’un point où le moment s’annule correspond au glisseur, non au couple.

14. En quoi consiste la décomposition canonique d’un torseur en un point PP ?

À le réduire à un couple indépendant de tout point
À le représenter par deux glisseurs de résultantes opposées
À l’écrire comme la somme d’un glisseur et d’un couple
À l’écrire comme la différence d’un couple et d’un torseur nul

À l’écrire comme la somme d’un glisseur et d’un couple

Explication

La décomposition canonique consiste à séparer le torseur en un glisseur et un couple au point considéré. Elle ne correspond donc ni à une différence avec un torseur nul ni à une représentation par deux glisseurs.

15. Quelle expression représente la décomposition centrale d’un torseur au point PP ?

τP={R,HP−IV}P+{0,IV}P\tau_P=\left\{R,H_P-I_V\right\}_P+\left\{0,I_V\right\}_P
τP={0,HP−IV}P+{R,IV}P\tau_P=\left\{0,H_P-I_V\right\}_P+\left\{R,I_V\right\}_P
τP={R,HP+IV}P+{0,−IV}P\tau_P=\left\{R,H_P+I_V\right\}_P+\left\{0,-I_V\right\}_P
τP={R,HP}P+{IV,0}P\tau_P=\left\{R,H_P\right\}_P+\left\{I_V,0\right\}_P

$$\tau_P=\left\{R,H_P-I_V\right\}_P+\left\{0,I_V\right\}_P$$

Explication

La décomposition centrale sépare le torseur en une partie de résultante RR et de moment HP−IVH_P-I_V, puis en un couple de moment IVI_V. Elle se distingue ainsi de la décomposition canonique, qui dépend du point choisi.

16. Quelle combinaison de propriétés caractérise un glisseur ?

Une résultante nulle et un moment non nul
Une résultante nulle et un moment nul
Une résultante non nulle et un invariant scalaire nul
Une résultante non nulle et un invariant scalaire non nul

Une résultante non nulle et un invariant scalaire nul

Explication

Un glisseur possède une résultante non nulle et un invariant scalaire nul. La confusion avec le couple vient du fait que le couple a, lui, une résultante nulle et un moment non nul.

17. Quel type de torseur est défini par une résultante nulle et un moment non nul ?

Un couple
Un glisseur
Un torseur nul
Un torseur quelconque

Un couple

Explication

Un couple se reconnaît à une résultante nulle associée à un moment non nul. Un glisseur possède au contraire une résultante non nulle, tandis que le torseur nul a aussi un moment nul.

18. Pour un système de vecteurs liés (Ai,Fi)(A_i,F_i), quelle expression donne la résultante du torseur associé ?

R=∑i=1nFiR=\sum_{i=1}^{n}F_i
R=∑i=1nPAi→R=\sum_{i=1}^{n}\overrightarrow{PA_i}
R=∑i=1nPAi→∧FiR=\sum_{i=1}^{n}\overrightarrow{PA_i}\wedge F_i
R=∫Df(M) dmR=\int_D f(M)\,dm

$$R=\sum_{i=1}^{n}F_i$$

Explication

La résultante est obtenue en additionnant vectoriellement les forces FiF_i. Le produit vectoriel avec la position intervient dans le calcul du moment, et non dans celui de la résultante.

19. Comment obtient-on le torseur associé à un ensemble de vecteurs liés ?

En remplaçant les points d’application par un point de référence commun
En intégrant les vecteurs sur leur domaine géométrique
En additionnant les torseurs associés à chaque vecteur
En calculant le moment de chaque vecteur sans additionner les résultantes

En additionnant les torseurs associés à chaque vecteur

Explication

Le torseur du système s’obtient par addition des torseurs associés aux différents vecteurs liés. Une intégration concerne plutôt une densité de vecteurs, tandis que le choix d’un point commun ne remplace pas cette addition.

20. Pour une densité de vecteurs f(M)f(M) définie sur un domaine DD, quelle expression donne le moment au point PP ?

HP=∫DMP→ dmH_P=\int_D\overrightarrow{MP}\,dm
HP=∫DPM→∧f(M) dmH_P=\int_D\overrightarrow{PM}\wedge f(M)\,dm
HP=∫Df(M) dmH_P=\int_D f(M)\,dm
HP=∑M∈Df(M)H_P=\sum_{M\in D}f(M)

$$H_P=\int_D\overrightarrow{PM}\wedge f(M)\,dm$$

Explication

Le moment intègre le produit vectoriel entre le vecteur de position PM→\overrightarrow{PM} et la densité f(M)f(M). L’intégrale directe de la densité fournit la résultante, pas le moment.

21. Une densité linéique uniforme fM=−p0 y⃗f_M=-p_0\,\vec y agit sur une tige OAOA de longueur LL. Quelle dépendance en LL présentent la résultante et le moment en OO ?

La résultante et le moment sont tous deux proportionnels à LL
La résultante est proportionnelle à LL et le moment à L2L^2
La résultante est proportionnelle à L2L^2 et le moment à LL
La résultante et le moment sont tous deux proportionnels à L2L^2

La résultante est proportionnelle à $$L$$ et le moment à $$L^2$$

Explication

Pour cette densité uniforme, on obtient R=−p0L y⃗R=-p_0L\,\vec y et HO=−p0L22 z⃗H_O=-\frac{p_0L^2}{2}\,\vec z. Le moment comporte un facteur de distance supplémentaire, ce qui explique sa dépendance quadratique en LL.

22. Une force concentrée de norme FF est appliquée au point CC d’une poutre, situé à l’abscisse αL\alpha L. Quelle est la dépendance correcte de la résultante et du moment réduit en AA lorsque la position de CC varie ?

La résultante reste −F y⃗-F\,\vec y, tandis que le moment vaut −αFL z⃗-\alpha FL\,\vec z.
La résultante devient −αF y⃗-\alpha F\,\vec y, tandis que le moment reste −FL z⃗-FL\,\vec z.
La résultante devient −αF y⃗-\alpha F\,\vec y, tandis que le moment vaut −αFL z⃗-\alpha FL\,\vec z.
La résultante reste −F y⃗-F\,\vec y, tandis que le moment reste −FL z⃗-FL\,\vec z.

La résultante reste $$-F\,\vec y$$, tandis que le moment vaut $$-\alpha FL\,\vec z$$.

Explication

La résultante d’une force concentrée est indépendante du point d’application, alors que son moment en AA dépend du bras de levier αL\alpha L. Confondre ces deux dépendances conduit à faire varier la résultante avec la position de CC.

23. Une poutre de longueur LL est soumise à la charge linéique orientée selon y⃗\vec y, définie par q(x)=q0x/Lq(x)=q_0x/L. Quel couple de torseur représente la résultante et le moment en AA ?

Rq=23q0L y⃗R_q=\frac{2}{3}q_0L\,\vec y et HA=25q0L2 z⃗H_A=\frac{2}{5}q_0L^2\,\vec z
Rq=q0L y⃗R_q=q_0L\,\vec y et HA=12q0L2 z⃗H_A=\frac{1}{2}q_0L^2\,\vec z
Rq=25q0L y⃗R_q=\frac{2}{5}q_0L\,\vec y et HA=23q0L2 z⃗H_A=\frac{2}{3}q_0L^2\,\vec z
Rq=12q0L y⃗R_q=\frac{1}{2}q_0L\,\vec y et HA=13q0L2 z⃗H_A=\frac{1}{3}q_0L^2\,\vec z

$$R_q=\frac{2}{3}q_0L\,\vec y$$ et $$H_A=\frac{2}{5}q_0L^2\,\vec z$$

Explication

L’intégration de la charge croissante q(x)=q0x/Lq(x)=q_0x/L donne Rq=23q0L y⃗R_q=\frac{2}{3}q_0L\,\vec y et le calcul du moment donne HA=25q0L2 z⃗H_A=\frac{2}{5}q_0L^2\,\vec z. Les autres couples correspondent à des coefficients intégrés incorrectement ou intervertis.

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Qu'est-ce qu'un torseur en mécanique des solides indéformables ?

Un ensemble formé d'une résultante vectorielle libre R et d'un champ de moments H_P.

Quelle loi vérifient les moments d'un torseur ?

La loi de transport HP=HQ+R∧QP→H_P=H_Q+R\wedge\overrightarrow{QP}.

Quels sont les éléments de réduction d'un torseur au point P ?

La résultante R et le moment H_P.

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