Fiche de révision : Méthodes de base en analyse

📋 Plan du Cours

1. Notations et ordre réel
2. Manipulation des inégalités
3. Valeur absolue et distances
4. Intervalles et bornes
5. Factorisation et trinômes
6. Équations et inéquations
7. Fonctions et représentations
8. Asymptotes et variations
9. Transformations de courbes

📖 1. Notations et ordre réel

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation d’ordre total : La relation ≤ sur ℝ est réflexive, transitive et antisymétrique, et elle est totale car deux réels sont toujours comparables.

★ À maîtriser

• Le symbole ∃ signifie « il existe » et le symbole ∀ signifie « pour tout » ou « quel que soit ».

Compléments

📌 Si x ≤ y et y ≤ z, alors x ≤ z ; si x ≤ y et y ≤ x, alors x = y.

💡 Astuce mémo

RTA : réflexivité, transitivité, antisymétrie

📖 2. Manipulation des inégalités

★ À maîtriser

📌 Si x ≤ y et z ≥ 0, alors xz ≤ yz, tandis que si z ≤ 0, alors xz ≥ yz.

Compléments

• Pour 1 ≤ x ≤ 2, on obtient 3/16 ≤ (2x+1)/(3x²+4) ≤ 5/7 par encadrements successifs.

💡 Astuce mémo

Multiplier par positif conserve le sens, par négatif l’inverse

📖 3. Valeur absolue et distances

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : La valeur absolue de x vaut x si x ≥ 0 et vaut −x si x < 0.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour tout réel x, $\sqrt{x^2}=|x|$, tandis que pour tout x ≥ 0, $(\sqrt{x})^2=x$.

📌 Pour r ≥ 0, |x| ≤ r équivaut à −r ≤ x ≤ r, tandis que |x| ≥ r équivaut à x ≥ r ou x ≤ −r.

📐 Formule — Pour tous réels x et y, $|x|-|y|\leq |x+y|\leq |x|+|y|$.

💡 Astuce mémo

La valeur absolue mesure la distance entre un point et zéro

📖 4. Intervalles et bornes

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle réel : Un intervalle de ℝ est une partie de ℝ de la forme [a;b], [a;b[, ]a;b[, ]a;+∞[, ]−∞;b] ou ]−∞;+∞[, avec les bornes éventuellement infinies.
• Partie majorée : Une partie A de ℝ est majorée s’il existe M réel tel que tout x de A vérifie x ≤ M, et M est alors un majorant de A.
• Partie bornée : Une partie A de ℝ est bornée si elle est à la fois minorée et majorée.

📝 Points essentiels

• La partie B=[0;1[ est bornée et possède un minimum égal à 0, mais elle n’a pas de maximum ; 1 est seulement un majorant.

💡 Astuce mémo

Majorant n’appartient pas forcément à l’ensemble, maximum y appartient

📖 5. Factorisation et trinômes

📝 Points essentiels

📌 Un produit de deux réels est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul : ab=0 équivaut à a=0 ou b=0.

📐 Formule — Pour ax²+bx+c avec a≠0, le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$.

• Les trois cas du discriminant sont:

  • Δ>0 : deux racines réelles distinctes
  • Δ=0 : une racine double
  • Δ<0 : aucune racine réelle

• 🔄 La méthode générale consiste à:

  1. regrouper les termes
  2. factoriser l’expression
  3. étudier le signe de chaque facteur

💡 Astuce mémo

Factoriser → étudier les facteurs → dresser le signe

📖 6. Équations et inéquations

★ À maîtriser

📌 Une équation est un problème consistant à trouver toutes les valeurs qui vérifient une égalité, tandis qu’une égalité est seulement une relation entre expressions.

📌 Avant de résoudre une équation ou une inéquation, il faut déterminer son domaine de définition, c’est-à-dire les valeurs pour lesquelles ses membres ont un sens.

Compléments

📌 Pour conserver une équivalence en mettant une inégalité au carré, il faut contrôler les signes des deux membres avant l’opération.

• La quantité conjuguée de √a−√b est √a+√b, et elle permet de rationaliser une expression comme 1/(√3−√2)=√3+√2.

💡 Astuce mémo

Une égalité est une relation, une équation est un problème à résoudre

📖 7. Fonctions et représentations

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction réelle : Une fonction réelle est une application f:D→F qui associe à chaque x de son domaine D une valeur f(x) appartenant à l’ensemble d’arrivée F.
• Graphe d’une fonction : Le graphe de f est l’ensemble des points de coordonnées (x,f(x)) pour x appartenant au domaine D.

★ À maîtriser

📌 L’ensemble d’arrivée F contient les valeurs prises par f, mais il peut être strictement plus grand que l’image f(D).

Compléments

📌 L’équation f(x)=λ se lit comme la recherche des abscisses des intersections de la courbe avec la droite horizontale y=λ.

💡 Astuce mémo

Domaine de départ, ensemble d’arrivée, valeurs effectivement prises

📖 8. Asymptotes et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Asymptote verticale : La droite x=x₀ est une asymptote verticale lorsque f(x) tend vers une valeur infinie au voisinage de x₀.
• Asymptote horizontale : La droite y=b est une asymptote horizontale en +∞ ou en −∞ lorsque f(x) tend vers b dans la direction considérée.
• Asymptote oblique : La droite y=ax+b, avec a≠0, est une asymptote oblique lorsque f(x)−(ax+b) tend vers 0 à l’infini considéré.

📝 Points essentiels

📌 La position de la courbe par rapport à une asymptote se détermine en étudiant le signe de f(x)−b ou de f(x)−(ax+b).

💡 Astuce mémo

Signe de l’écart à la droite → position de la courbe

📖 9. Transformations de courbes

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction croissante : Une fonction f est croissante sur I si x₁≤x₂ entraîne f(x₁)≤f(x₂), et elle est strictement croissante si x₁<x₂ entraîne f(x₁)<f(x₂).

★ À maîtriser

📌 Pour g(x)=f(x)+a, la courbe de g est obtenue par translation verticale de celle de f, tandis que g(x)=f(x+a) correspond à une translation horizontale.

📌 Si f est strictement croissante sur un intervalle I, alors x≤y équivaut à f(x)≤f(y), et x<y équivaut à f(x)<f(y).

Compléments

📌 La transformation g(x)=f(a−x) s’obtient en composant les transformations horizontales et une symétrie par rapport à une verticale appropriée.

💡 Astuce mémo

Translation verticale, translation horizontale, symétrie

📊 Tableaux de synthèse

Types d’asymptotes