Fiche de révision : Nombres complexes et géométrie

📋 Plan du Cours

1. Calculs sur les nombres complexes
2. Affixes et modules complexes
3. Lieux géométriques du plan complexe
4. Triangles et rectangles dans le plan
5. Forme trigonométrique et cercle centré

📖 1. Calculs sur les nombres complexes

★ À maîtriser

• Les expressions à réduire en forme cartésienne dans la série comprennent des sommes, des produits, des quotients et des puissances de nombres complexes.

Compléments

• Pour obtenir la forme algébrique d’un quotient de nombres complexes, on peut multiplier son numérateur et son dénominateur par le conjugué du dénominateur.

📖 2. Affixes et modules complexes

★ À maîtriser

📐 Formule - Le module d’un produit vérifie $|zw|=|z||w|$.

📐 Formule - Le module d’un quotient vérifie $\left|\frac{z}{w}\right|=\frac{|z|}{|w|}$ pour $w\ne0$.

Compléments

• Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé, les points A, B et C de l’exercice 2 ont pour affixes respectives $Z_A=\frac{8-i}{3-2i}$, $Z_B=\frac{-2-6i}{1+i}$ et $Z_C=\frac{5(3+i)}{1+2i}$.

📐 Formule - Le module d’une puissance entière vérifie $|z^n|=|z|^n$.

• Dans l’exercice 3, les points A, B, C et D ont pour affixes respectives $2$, $\frac12+\frac32i$, $1+i$ et $-2i$.

📖 3. Lieux géométriques du plan complexe

🔑 Notions clés & Définitions

• Médiatrice : Lieu des points équidistants des deux extrémités d’un segment.
• Cercle : Ensemble des points d’affixe $z$ tels que $|z-a|=r$, pour un centre d’affixe $a$ et un rayon $r$.

📝 Points essentiels

• L’ensemble $E=\{M(z)\in P\mid |z-2|=|z+2i|\}$ est le lieu des points équidistants des points d’affixes $2$ et $-2i$.

• L’ensemble défini par $|2z-1+7i|=2\sqrt2$ est un cercle de centre d’affixe $\frac12-\frac72i$ et de rayon $\sqrt2$.

💡 Astuce mémo

Égalité de distances à deux points : médiatrice ; distance constante à un point : cercle.

📖 4. Triangles et rectangles dans le plan

📝 Points essentiels

• Dans l’exercice 2, il est demandé de montrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle.

• Pour établir que deux points appartiennent au cercle circonscrit d’un triangle, on vérifie que leur distance au centre du cercle circonscrit est égale à son rayon.

• Dans l’exercice 3, le point E doit être déterminé pour que ABED soit un rectangle, puis l’aire de ce rectangle doit être calculée.

📖 5. Forme trigonométrique et cercle centré

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme trigonométrique : Écriture $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ d’un nombre complexe non nul, où $r$ est son module et $\theta$ un argument.

📝 Points essentiels

• Dans l’exercice 4, les affixes $2$, $1-\sqrt3$, $-2i$ et $-\sqrt2+i\sqrt2$ sont celles de points annoncés comme appartenant au cercle de centre O et de rayon $2$.

• Dans l’exercice 3, les formes trigonométriques demandées sont celles des affixes $2$, $1+i$ et $-2i$.