QCM : Nombres complexes et géométrie (9 questions)

Question 1

1. Pour écrire sous forme algébrique le quotient $\frac{4+3i}{2-i}$ , quelle opération permet d’obtenir un dénominateur réel ?

Multiplier le numérateur et le dénominateur par

4-3i

Multiplier le numérateur et le dénominateur par

2-i

Multiplier le numérateur et le dénominateur par

2+i

Soustraire

2-i

au numérateur et au dénominateur

Explication

Le conjugué du dénominateur $2-i$ est $2+i$ ; multiplier en haut et en bas par ce nombre rend le dénominateur réel. Utiliser $4-3i$ conjugue le numérateur, tandis que multiplier par $2-i$ ne rationalise pas le dénominateur.

Answer

Multiplier le numérateur et le dénominateur par $$2+i$$

Question 2

2. Dans une série d’exercices de réduction en forme cartésienne, quelles catégories d’opérations sont représentées ?

Des sommes, des différences, des conjugués et des racines

Des sommes, des produits, des quotients et des puissances

Des puissances, des racines, des arguments et des modules

Des produits, des quotients, des modules et des arguments

Explication

Les calculs à réduire en forme cartésienne comprennent des sommes, des produits, des quotients et des puissances. Les conjugués, les racines, les modules et les arguments ne constituent pas l’ensemble des catégories visées ici.

Answer

Des sommes, des produits, des quotients et des puissances

Question 3

3. Si $|z|=3$ et $|w|=4$ , quelle valeur obtient-on pour $|zw|$ ?

12

1

\frac{3}{4}

7

Explication

Le module d’un produit est le produit des modules : $|zw|=|z||w|=3\times4=12$ . La somme, la différence et le quotient des modules correspondent à des opérations différentes.

Answer

La médiatrice du segment

Answer

Le cercle de centre d’affixe $$3-2i$$ et de rayon $$4$$

Answer

Vérifier que sa distance à $$O$$ vaut $$R$$

Answer

Il est rectangle et isocèle

Answer

$$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$$, avec $$r$$ le module et $$\theta$$ un argument

Question 4

4. Des nombres complexes $z$ et $w$ vérifient $|z|=10$ et $|w|=2$ , avec $w\ne0$ . Quelle est la valeur de $\left|\frac{z}{w}\right|$ ?

20

5

\frac{1}{5}

8

Explication

Pour un quotient dont le dénominateur est non nul, le module vaut $\left|\frac{z}{w}\right|=\frac{|z|}{|w|}=\frac{10}{2}=5$ . Le produit, le rapport inversé et la différence traduisent des confusions avec d’autres calculs sur les modules.

Question 5

5. Dans le plan, quel lieu géométrique réunit les points qui sont à égale distance des extrémités d’un segment ?

La médiatrice du segment

Le cercle de diamètre ce segment

La droite parallèle au segment

La bissectrice d’un angle associé au segment

Explication

La médiatrice d’un segment est précisément le lieu des points équidistants de ses deux extrémités. La bissectrice concerne un angle, le cercle de diamètre le segment ne vérifie pas cette équidistance en tout point, et une parallèle au segment ne la caractérise pas.

Question 6

6. Dans le plan complexe, quel ensemble décrit l’équation $|z-(3-2i)|=4$ ?

Le cercle de centre d’affixe

3-2i

et de rayon

4

Le cercle de centre d’affixe

3-2i

et de rayon

8

Le cercle de centre l’origine et de rayon

4

Le cercle de centre d’affixe

4

et de rayon

3-2i

Explication

Une équation de la forme $|z-a|=r$ décrit le cercle de centre d’affixe $a$ et de rayon $r$ . L’affixe $4$ ne donne pas le centre, $8$ correspondrait au diamètre, et un centre à l’origine ignorerait le terme $3-2i$ .

Question 7

7. Pour vérifier qu’un point appartient au cercle circonscrit d’un triangle dont le centre est $O$ et le rayon $R$ , quelle vérification faut-il effectuer ?

Vérifier que sa distance à un sommet vaut

R

Vérifier que sa distance à

O

vaut

R

Vérifier que sa distance à

O

est inférieure à

R

Vérifier que sa distance à

O

vaut

2R

Explication

Un point appartient au cercle si sa distance à son centre est égale au rayon. Comparer avec le diamètre, mesurer depuis un sommet ou vérifier une distance inférieure au rayon ne caractérise pas l’appartenance au cercle.

Question 8

8. Dans l’exercice portant sur le triangle $ABC$ , quelle propriété est demandée pour caractériser ce triangle ?

Il est rectangle et équilatéral

Il est isocèle et obtusangle

Il est rectangle et isocèle

Il est quelconque et isocèle

Explication

La propriété visée associe un angle droit et deux côtés de même longueur : le triangle est rectangle et isocèle. Un triangle équilatéral n’est pas rectangle, tandis que « obtusangle » et « quelconque » ne correspondent pas à la caractérisation demandée.

Question 9

9. Pour exprimer un nombre complexe non nul à partir de son module et d’un de ses arguments, quelle forme trigonométrique faut-il utiliser ?

z=re^{i\theta}

, avec

r

un argument et

\theta

le module

z=r(\cos\theta+i\sin\theta)

, avec

r

le module et

\theta

un argument

z=\cos\theta+i\sin\theta

, avec

r

le module et

\theta

un argument

z=\cos(r)+i\sin(r)

, avec

r

le module et

\theta

un argument

Explication

La forme trigonométrique d’un complexe non nul est $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ , où $r$ désigne son module et $\theta$ un argument. La forme exponentielle confondue avec cette écriture utilise une autre notation; l’expression sans facteur omet le module, tandis que la dernière place celui-ci dans les fonctions trigonométriques.

QCM : Nombres complexes et géométrie (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour écrire sous forme algébrique le quotient $\frac{4+3i}{2-i}$ , quelle opération permet d’obtenir un dénominateur réel ?

2. Dans une série d’exercices de réduction en forme cartésienne, quelles catégories d’opérations sont représentées ?

3. Si $|z|=3$ et $|w|=4$ , quelle valeur obtient-on pour $|zw|$ ?

4. Des nombres complexes $z$ et $w$ vérifient $|z|=10$ et $|w|=2$ , avec $w\ne0$ . Quelle est la valeur de $\left|\frac{z}{w}\right|$ ?

5. Dans le plan, quel lieu géométrique réunit les points qui sont à égale distance des extrémités d’un segment ?

6. Dans le plan complexe, quel ensemble décrit l’équation $|z-(3-2i)|=4$ ?

7. Pour vérifier qu’un point appartient au cercle circonscrit d’un triangle dont le centre est $O$ et le rayon $R$ , quelle vérification faut-il effectuer ?

8. Dans l’exercice portant sur le triangle $ABC$ , quelle propriété est demandée pour caractériser ce triangle ?

9. Pour exprimer un nombre complexe non nul à partir de son module et d’un de ses arguments, quelle forme trigonométrique faut-il utiliser ?

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QCM : Nombres complexes et géométrie (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour écrire sous forme algébrique le quotient 4+3i2−i\frac{4+3i}{2-i}2−i4+3i​, quelle opération permet d’obtenir un dénominateur réel ?

2. Dans une série d’exercices de réduction en forme cartésienne, quelles catégories d’opérations sont représentées ?

3. Si ∣z∣=3|z|=3∣z∣=3 et ∣w∣=4|w|=4∣w∣=4, quelle valeur obtient-on pour ∣zw∣|zw|∣zw∣ ?

4. Des nombres complexes zzz et www vérifient ∣z∣=10|z|=10∣z∣=10 et ∣w∣=2|w|=2∣w∣=2, avec w≠0w\ne0w=0. Quelle est la valeur de ∣zw∣\left|\frac{z}{w}\right|​wz​​ ?

5. Dans le plan, quel lieu géométrique réunit les points qui sont à égale distance des extrémités d’un segment ?

6. Dans le plan complexe, quel ensemble décrit l’équation ∣z−(3−2i)∣=4|z-(3-2i)|=4∣z−(3−2i)∣=4 ?

7. Pour vérifier qu’un point appartient au cercle circonscrit d’un triangle dont le centre est OOO et le rayon RRR, quelle vérification faut-il effectuer ?

8. Dans l’exercice portant sur le triangle ABCABCABC, quelle propriété est demandée pour caractériser ce triangle ?

9. Pour exprimer un nombre complexe non nul à partir de son module et d’un de ses arguments, quelle forme trigonométrique faut-il utiliser ?

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1. Pour écrire sous forme algébrique le quotient $\frac{4+3i}{2-i}$ , quelle opération permet d’obtenir un dénominateur réel ?

3. Si $|z|=3$ et $|w|=4$ , quelle valeur obtient-on pour $|zw|$ ?

4. Des nombres complexes $z$ et $w$ vérifient $|z|=10$ et $|w|=2$ , avec $w\ne0$ . Quelle est la valeur de $\left|\frac{z}{w}\right|$ ?

6. Dans le plan complexe, quel ensemble décrit l’équation $|z-(3-2i)|=4$ ?

7. Pour vérifier qu’un point appartient au cercle circonscrit d’un triangle dont le centre est $O$ et le rayon $R$ , quelle vérification faut-il effectuer ?

8. Dans l’exercice portant sur le triangle $ABC$ , quelle propriété est demandée pour caractériser ce triangle ?