Fiche de révision : Nombres entiers et divisibilité

📋 Plan du Cours

1. Lire et écrire les grands entiers
2. Décomposer les nombres entiers
3. Comparer et encadrer les entiers
4. Résoudre des problèmes numériques
5. Effectuer une division euclidienne
6. Comprendre multiples et diviseurs
7. Appliquer les critères de divisibilité

📖 1. Lire et écrire les grands entiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres entiers : Nombres que l’on peut compter dans la nature, comme 200 moutons ou 137 cailloux.

★ À maîtriser

• Les dix chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 permettent d’écrire une infinité de nombres.

📌 Pour lire un grand nombre entier, on regroupe ses chiffres par classes de trois en partant de la droite et on sépare les classes par des espaces, jamais par des points.

Compléments

• Dans 1 049 658 723, les chiffres des rangs successifs sont 1 unité de milliard, 0 centaine de millions, 4 dizaines de millions, 9 unités de millions, 6 centaines de mille, 5 dizaines de mille, 8 unités de mille, 7 centaines, 2 dizaines et 3 unités.

📌 Les déterminants numéraux cardinaux sont invariables, et la nouvelle orthographe recommande d’ajouter des traits d’union entre tous les éléments du nombre, comme dans « deux-cent-trente-et-un ».

📌 « Cent » prend un s lorsqu’il est précédé d’un multiplicateur et n’est suivi d’aucun autre nombre, comme dans « quatre cents », mais pas dans « quatre cent trois ».

📖 2. Décomposer les nombres entiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Décomposition par classe : Expression d’un entier comme la somme des valeurs de ses classes, éventuellement écrites comme le produit d’un nombre par 1 000, 1 000 000 ou une autre unité de classe.
• Décomposition par rang : Expression d’un entier comme la somme des valeurs de chacun de ses chiffres selon leur position.

★ À maîtriser

📌 Dans 3 524, le chiffre des centaines est 5, tandis que le nombre de centaines est 35.

Compléments

• Par classes, 7 519 134 000 = 7 000 000 000 + 519 000 000 + 134 000 = (7 × 1 000 000 000) + (519 × 1 000 000) + (134 × 1 000).

• Par rang, 697 450 = 600 000 + 90 000 + 7 000 + 400 + 50 = (6 × 100 000) + (9 × 10 000) + (7 × 1 000) + (4 × 100) + (5 × 10).

📌 Dans 25 803, le chiffre des dizaines est 0 et le nombre de dizaines est 2 580 ; le chiffre des centaines est 8 et le nombre de centaines est 258.

📖 3. Comparer et encadrer les entiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Comparer des nombres : Déterminer si deux nombres sont égaux ou indiquer lequel est supérieur à l’autre.
• Ordre croissant : Placer des nombres du plus petit au plus grand.
• Encadrement : Écrire un nombre entre deux nombres, l’un inférieur et l’autre supérieur à lui ; l’amplitude est la différence entre ces deux nombres.
• Ordre décroissant : Placer des nombres du plus grand au plus petit.

★ À maîtriser

📌 Pour comparer deux entiers ayant un nombre différent de chiffres, celui qui possède le plus de chiffres est le plus grand.

• Pour comparer deux entiers ayant autant de chiffres, on compare leurs chiffres de gauche à droite jusqu’à trouver une position où ils diffèrent ; le nombre qui y porte le chiffre le plus grand est le plus grand.

Compléments

• Les symboles >, ≥, < et ≤ se lisent respectivement « strictement supérieur à », « supérieur ou égal à », « strictement inférieur à » et « inférieur ou égal à ».

💡 Astuce mémo

Croissant : du plus petit au plus grand ; décroissant : du plus grand au plus petit.

📖 4. Résoudre des problèmes numériques

★ À maîtriser

• Pour résoudre un problème, on lit les données et la question, choisit l’opération, effectue le calcul, rédige une réponse avec les unités et vérifie la cohérence du résultat.

• Le sens de l’opération correspond à la situation :

  • Addition : réunir ou ajouter.
  • Soustraction : chercher ce qui reste ou un écart.
  • Multiplication : calculer des groupes identiques.
  • Division : partager ou former des groupes.

📌 Des mots comme « en tout », « il reste », « de plus » ou « donnent » peuvent aider à choisir une opération, mais ne suffisent pas sans comprendre la situation.

Compléments

• Une médiathèque ayant 2 450 livres, qui reçoit 375 livres puis en retire 128, en possède finalement 2 697, car 2 450 + 375 − 128 = 2 697.

• Une salle de 8 rangées de 24 sièges, dont 17 sont condamnés, dispose de 175 sièges utilisables, car 24 × 8 − 17 = 175.

💡 Astuce mémo

Lire → choisir → calculer → répondre → vérifier.

📖 5. Effectuer une division euclidienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : Opération qui consiste à trouver un quotient entier et un reste tels que le dividende égale le diviseur multiplié par le quotient, plus le reste, avec un reste supérieur ou égal à zéro et strictement inférieur au diviseur.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans une division euclidienne, $\text{Dividende} = \text{Diviseur} \times \text{Quotient} + \text{Reste}$ et $0 \leq \text{Reste} < \text{Diviseur}$.

Compléments

• Pour effectuer une division euclidienne posée, on prend à gauche du dividende le plus petit nombre de chiffres permettant de contenir le diviseur, on écrit le chiffre du quotient correspondant, on soustrait le produit obtenu, puis on abaisse le chiffre suivant et on recommence jusqu’à épuisement des chiffres.

• La division euclidienne de 273 par 17 donne un quotient de 16 et un reste de 1, puisque 273 = 17 × 16 + 1.

📖 6. Comprendre multiples et diviseurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple : Nombre qui peut s’écrire comme le produit d’un autre nombre par un entier naturel.
• Diviseur : Un nombre est un diviseur d’un entier si la division de cet entier par ce nombre est exacte, c’est-à-dire si le reste est nul.

★ À maîtriser

📌 Lorsque a = b × k pour un entier naturel k, a est un multiple de b et b est un diviseur de a.

📌 Si le reste de la division euclidienne de a par b est nul, alors a est divisible par b, a est un multiple de b et b est un diviseur de a.

Compléments

• 42 est un multiple de 6 et de 7, tandis que 6 et 7 sont des diviseurs de 42, car 42 = 6 × 7.

💡 Astuce mémo

Reste nul : le premier est divisible par le second ; sinon, la division n’est pas exacte.

📖 7. Appliquer les critères de divisibilité

★ À maîtriser

📌 Un entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 ; par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4 ; par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5 ; par 3 ou par 9 si la somme de ses chiffres est divisible respectivement par 3 ou par 9 ; et par 10 si son chiffre des unités est 0.

Compléments

• 252 est divisible par 2, 3 et 9, mais pas par 5 ni par 10 : son chiffre des unités est 2 et la somme de ses chiffres vaut 9.

• 4 590 est divisible par 2, 3, 5, 9 et 10, car il se termine par 0 et la somme de ses chiffres vaut 18.