Fiche de révision : Fonctions : images et variations

📋 Plan du Cours

1. Définition et représentation d’une fonction
2. Calculer l’image d’un nombre
3. Rechercher les antécédents
4. Lire la courbe représentative
5. Étudier les variations
6. Choisir le registre adapté

📖 1. Définition et représentation d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Procédé qui associe à chaque nombre choisi dans un ensemble de départ un seul nombre résultat, appelé son image.

★ À maîtriser

📌 Une relation décrit une fonction si chaque nombre de départ a exactement un résultat ; un même départ associé à deux résultats différents ne définit pas une fonction.

Compléments

• L’ensemble des nombres que l’on a le droit de choisir s’appelle l’ensemble de définition de la fonction.

📌 Une fonction peut être décrite par une phrase, un tableau, une courbe ou un algorithme, tandis qu’une formule n’est qu’une manière fréquente de la décrire.

💡 Astuce mémo

Un départ, une seule image ; plusieurs départs peuvent partager un résultat.

📖 2. Calculer l’image d’un nombre

🔑 Notions clés & Définitions

• Image : Résultat obtenu lorsque l’on applique la fonction à un nombre.

★ À maîtriser

📌 Si un nombre appartient à l’ensemble de définition d’une fonction, il possède une image unique.

• Pour calculer une image à partir d’une formule, on remplace partout la variable par le nombre choisi, puis on effectue les calculs en respectant les priorités.

Compléments

• Lorsqu’on remplace la variable par un nombre négatif dans une formule, les parenthèses permettent de préserver le signe et le calcul du carré.

💡 Astuce mémo

Remplacer la variable, calculer dans l’ordre, formuler le résultat.

📖 3. Rechercher les antécédents

🔑 Notions clés & Définitions

• Antécédent : Nombre de départ qui a pour image le nombre considéré.

★ À maîtriser

• Un nombre peut avoir aucun antécédent, un seul antécédent ou plusieurs antécédents selon la fonction et le résultat considéré.

📌 Avec une formule, chercher les antécédents d’un résultat revient à résoudre une équation dont la variable représente le nombre de départ.

Compléments

• Dans l’exemple du cours, les antécédents de 1 sont 0 et 4, et 2 est un antécédent de -3.

💡 Astuce mémo

Image : départ vers résultat ; antécédent : résultat vers départ.

📖 4. Lire la courbe représentative

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe représentative : Ensemble des points dont l’abscisse est un nombre de départ et dont l’ordonnée est son image par la fonction.

★ À maîtriser

• Pour lire une image sur une courbe, on part du nombre sur l’axe horizontal, on rejoint la courbe verticalement, puis on lit l’ordonnée obtenue.

• Pour lire les antécédents d’un résultat sur une courbe, on repère ce résultat sur l’axe vertical, on trace une horizontale jusqu’à la courbe, puis on lit toutes les abscisses des intersections.

Compléments

📌 Un point appartient à la courbe d’une fonction exactement lorsque son ordonnée est l’image de son abscisse.

• Une lecture graphique donne souvent une valeur approximative ; une formule ou un raisonnement algébrique peut permettre d’obtenir une valeur exacte.

💡 Astuce mémo

Pour une image, monter depuis l’axe horizontal ; pour un antécédent, tracer une horizontale.

📖 5. Étudier les variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau de variations : Résumé organisé des intervalles où les images d’une fonction augmentent ou diminuent.

★ À maîtriser

• Étudier les variations d’une fonction consiste à déterminer sur quels intervalles ses images augmentent ou diminuent lorsque le nombre de départ augmente.

📌 Sur un intervalle où une fonction est croissante, l’ordre des nombres de départ est conservé par les images ; sur un intervalle où elle est décroissante, cet ordre est inversé.

Compléments

• Pour construire un tableau de variations à partir d’une courbe, on la parcourt de gauche à droite, on repère les portions montantes ou descendantes et les abscisses où le sens change, puis on note les valeurs correspondantes.

• Dans l’exemple étudié sur l’intervalle de -1 à 5, la fonction décroît de -1 à 2, croît de 2 à 5 et atteint un minimum égal à -3 pour le nombre de départ 2.

• Un tableau de variations ne donne pas nécessairement toutes les images exactes ; il indique surtout les sens de variation et quelques valeurs importantes.

💡 Astuce mémo

Croissante : l’ordre est conservé ; décroissante : l’ordre est inversé.

📖 6. Choisir le registre adapté

★ À maîtriser

• Pour traiter un exercice sur les fonctions, on identifie d’abord le registre utilisé, puis on traduit la question en recherche d’image, d’antécédent ou de variation.

Compléments

• Dans l’exemple bilan, les nombres de départ 3 et 5 ont tous deux pour image 8, donc 8 possède au moins deux antécédents sans que cela contredise la définition d’une fonction.

📊 Tableaux de synthèse

Registres et lectures d’une fonction