Fiche de révision : Nombres, intervalles et raisonnements

📋 Plan du Cours

1. Théorème et réciproque de Thalès
2. Ensembles de nombres réels
3. Inéquations et intervalles
4. Distance et valeur absolue
5. Réunion, intersection et encadrement
6. Divisibilité et nombres premiers
7. Propositions et quantificateurs
8. Implications et méthodes de preuve

📖 1. Théorème et réciproque de Thalès

★ À maîtriser

📌 Dans un triangle ABC, si B′ appartient à [AB], C′ appartient à [AC] et (B′C′) est parallèle à (BC), alors $\frac{AB′}{AB}=\frac{AC′}{AC}=\frac{B′C′}{BC}$.

📌 Si A, B et B′ sont alignés dans le même ordre que A, C et C′ et si $\frac{AB′}{AB}=\frac{AC′}{AC}$, alors (B′C′) est parallèle à (BC).

Compléments

📌 Dans la configuration papillon, si B′ appartient à (AB), C′ appartient à (AC) et (B′C′) est parallèle à (BC), alors $\frac{AB′}{AB}=\frac{AC′}{AC}=\frac{B′C′}{BC}$.

💡 Astuce mémo

Thalès : parallélisme ⇒ rapports égaux ; réciproque : rapports égaux ⇒ parallélisme.

📖 2. Ensembles de nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres réels : Ensemble des abscisses des points d’une droite munie d’un repère dont les points O et I ont respectivement pour abscisses 0 et 1.
• Entiers naturels : L’ensemble ℕ des entiers naturels contient 0 et les entiers positifs.
• Nombres décimaux : Nombre qui peut s’écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$, où a est un entier relatif et n un entier naturel, et possède une écriture décimale finie.
• Nombres rationnels : Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire comme le quotient de deux entiers relatifs, avec un dénominateur non nul ; l’ensemble de ces nombres est noté ℚ.

★ À maîtriser

• L’ensemble ℤ des entiers relatifs contient les entiers positifs, les entiers négatifs et 0.

• Les ensembles de nombres vérifient l’inclusion ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

Compléments

📌 Les nombres irrationnels sont des nombres réels qui ne peuvent s’écrire ni sous forme décimale ni sous forme de fraction ; √2 et π en sont des exemples.

📌 Pour déterminer la nature d’un nombre, il faut identifier le plus petit ensemble de nombres auquel il appartient.

💡 Astuce mémo

ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

📖 3. Inéquations et intervalles

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : Partie de ℝ notée à l’aide de crochets, dont les bornes peuvent être finies ou infinies.

★ À maîtriser

• Résoudre une inéquation consiste à déterminer toutes les valeurs qui rendent l’inégalité vraie ; lors d’une multiplication ou d’une division par un nombre négatif, il faut inverser le sens de l’inégalité.

Compléments

• Les intervalles correspondant aux conditions sont respectivement :

  • a ≤ x ≤ b : [a ; b]
  • a < x < b : ]a ; b[
  • a < x ≤ b : ]a ; b]
  • a ≤ x < b : [a ; b[

• Les conditions a ≤ x, a < x, x ≤ b et x < b correspondent respectivement aux intervalles [a ; +∞[, ]a ; +∞[, ]−∞ ; b] et ]−∞ ; b[.

📌 L’infini n’étant pas un nombre, le crochet placé à son voisinage est toujours tourné vers l’extérieur.

📌 L’intervalle [a ; b] contient tous les réels compris entre a et b, tandis que l’ensemble {a ; b} ne contient que les deux nombres a et b.

💡 Astuce mémo

Borne incluse : crochet fermé ; borne exclue : crochet ouvert.

📖 4. Distance et valeur absolue

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : Distance entre les réels x et a ; elle est égale à x − a si x ≥ a et à a − x si x ≤ a.

★ À maîtriser

• Pour a réel et r > 0, l’intervalle centré en a de rayon r s’écrit $[a-r\,;\,a+r]$ et son amplitude vaut $2r$.

Compléments

• La valeur absolue vérifie |x − a| = |a − x|.

• La valeur absolue d’un réel x vérifie |x| = x lorsque x ≥ 0 et |x| = −x lorsque x ≤ 0.

• Sur une droite graduée, si M et N ont pour abscisses x et y, alors MN = |x − y| = |y − x| et OM = |x|.

💡 Astuce mémo

Sur une droite graduée, |x − a| est la longueur entre x et a.

📖 5. Réunion, intersection et encadrement

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection d’intervalles : L’intersection I ∩ J contient les réels qui appartiennent à la fois à I et à J.
• Réunion d’intervalles : Ensemble des réels qui appartiennent à I, à J, ou aux deux à la fois.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour a réel et r > 0, $|x-a|\le r$ équivaut à $x\in[a-r\,;\,a+r]$.

Compléments

• Un encadrement à 10⁻ⁿ près de a s’écrit $|x-a|\le10^{-n}$, soit $x\in[a-10^{-n}\,;\,a+10^{-n}]$.

• Un encadrement de √5 d’amplitude 10⁻⁵ est 2.23606 < √5 < 2.23607.

💡 Astuce mémo

Intersection : dans les deux ; réunion : dans l’un ou l’autre.

📖 6. Divisibilité et nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Entier naturel qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
• Nombres premiers entre eux : Nombres dont le seul diviseur commun est 1.

★ À maîtriser

• Un entier relatif est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8, et divisible par 5 si ce chiffre est 0 ou 5.

• Un entier est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4, et divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.

• Un entier est divisible par 3 ou par 9 lorsque la somme de ses chiffres est divisible respectivement par 3 ou par 9.

Compléments

• Pour rendre une fraction irréductible, on décompose son numérateur et son dénominateur en facteurs premiers, puis on simplifie les facteurs communs ; ainsi 60/126 = 10/21.

📖 7. Propositions et quantificateurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Proposition : Énoncé qui est vrai ou faux, mais pas les deux à la fois.
• Quantificateur existentiel : « Il existe » signifie qu’au moins un élément vérifie la propriété énoncée.
• Quantificateur universel : « Pour tout » ou « quel que soit » signifie que la propriété est vérifiée par chacun des éléments concernés.

★ À maîtriser

📌 La négation d’une proposition affirme son contraire et a une valeur de vérité opposée à celle de la proposition initiale.

📌 A et B est vraie si et seulement si A et B sont toutes deux vraies ; A ou B est vraie si au moins l’une des deux est vraie, éventuellement les deux.

Compléments

📌 La négation de « A ou B » est « non A et non B », tandis que la négation de « A et B » est « non A ou non B ».

💡 Astuce mémo

« Il existe » demande un témoin ; « pour tout » exige tous les cas.

📖 8. Implications et méthodes de preuve

🔑 Notions clés & Définitions

• Implication : Proposition « Si A, alors B », notée A ⇒ B, qui affirme que l’hypothèse A entraîne la conclusion B.
• Réciproque : La réciproque de « Si A, alors B » est « Si B, alors A » ; elle peut être vraie ou fausse indépendamment de l’implication initiale.
• Contraposée : La contraposée de « Si A, alors B » est « Si non B, alors non A » ; une implication et sa contraposée ont toujours la même valeur de vérité.
• Équivalence : A et B sont équivalentes, noté A ⇔ B, lorsque A ⇒ B et B ⇒ A sont toutes deux vraies.

★ À maîtriser

📌 Pour démontrer que A ⇒ B est vraie, on suppose A vraie et on démontre B ; pour montrer qu’elle est fausse, on cherche un cas où A est vraie et B fausse.

Compléments

• Un exemple suffit à établir une proposition existentielle, tandis qu’un contre-exemple suffit à réfuter une proposition universelle.

• Un raisonnement par l’absurde suppose la proposition à démontrer fausse et établit que cette hypothèse conduit à une contradiction.

• Un raisonnement par disjonction des cas démontre une proposition dans un nombre fini de cas qui couvrent toutes les possibilités.

💡 Astuce mémo

Implication : A ⇒ B ; réciproque : B ⇒ A ; contraposée : non B ⇒ non A.