QCM : Nombres, intervalles et raisonnements (11 questions)

Question 1

1. Dans un triangle $ABC$ , les points $B′$ et $C′$ appartiennent respectivement aux segments $[AB]$ et $[AC]$ , et les droites $(B′C′)$ et $(BC)$ sont parallèles. Quelle égalité résulte du théorème de Thalès ?

\frac{AB′}{AB}=\frac{AC′}{AC}=\frac{B′C′}{BC}

\frac{AB′}{AC}=\frac{AC′}{AB}=\frac{B′C′}{BC}

\frac{AB}{AB′}=\frac{AC′}{AC}=\frac{BC}{B′C′}

\frac{AB′}{AB}=\frac{AC′}{AC}=\frac{BC}{B′C′}

Explication

Dans cette configuration emboîtée, le parallélisme permet d’égaliser les rapports des longueurs correspondantes issues de $A$ . L’inversion du seul rapport des segments parallèles, comme dans un distracteur, ne respecte pas l’égalité donnée par le théorème.

Answer

$$\frac{AB′}{AB}=\frac{AC′}{AC}=\frac{B′C′}{BC}$$

Question 2

2. Les points $A, B, B′$ sont alignés dans le même ordre que $A, C, C′$ , et $\frac{AB′}{AB}=\frac{AC′}{AC}$ . Quelle conclusion peut-on tirer ?

Les longueurs

AB′

et

AC′

sont égales.

Les droites

(B′C)

et

(BC′)

sont parallèles.

Les droites

(AB)

et

(AC)

sont perpendiculaires.

Les droites

(B′C′)

et

(BC)

sont parallèles.

Explication

L’alignement dans le même ordre et l’égalité des rapports permettent d’appliquer la réciproque du théorème de Thalès pour conclure au parallélisme de $(B′C′)$ et $(BC)$ . L’égalité des rapports ne signifie pas que $AB′$ et $AC′$ ont la même longueur.

Answer

Les droites $$(B′C′)$$ et $$(BC)$$ sont parallèles.

Question 3

3. Sur une droite munie d’un repère où $O$ a pour abscisse $0$ et $I$ pour abscisse $1$ , que désigne l’ensemble $\mathbb{R}$ ?

Les abscisses des seuls points situés entre

O

et

I

.

Les abscisses des points de la droite munie de ce repère.

Les abscisses entières des points de cette droite repérée.

Les abscisses positives des points de cette droite repérée.

Explication

Les réels sont les abscisses des points d’une droite repérée par les points $O$ et $I$ d’abscisses respectives $0$ et $1$ . Se limiter aux abscisses entières exclurait notamment les abscisses non entières, qui sont aussi réelles.

Answer

Les abscisses des points de la droite munie de ce repère.

Question 4

4. Parmi les nombres suivants, lequel est décimal au sens où il peut s’écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$ avec $a$ entier relatif et $n$ entier naturel ?

\sqrt{2}

\pi

\frac{7}{12}

-\frac{3}{8}

Explication

Le nombre $-\frac{3}{8}$ s’écrit $-0{,}375$ , une écriture décimale finie, et vaut $\frac{-375}{10^3}$ . La fraction $\frac{7}{12}$ possède une écriture décimale périodique et ne peut pas s’écrire avec un dénominateur puissance de dix.

Answer

$$-\frac{3}{8}$$

Question 5

5. Que signifie résoudre une inéquation ?

Trouver la valeur qui transforme l’inégalité en égalité.

Repérer les nombres qui annulent chacun des membres de l’inégalité.

Déterminer toutes les valeurs qui rendent l’inégalité vraie.

Comparer les solutions de deux équations associées à l’inégalité.

Explication

Résoudre une inéquation consiste à déterminer l’ensemble des valeurs pour lesquelles l’inégalité est vraie. Trouver une valeur qui rend les deux membres égaux correspond plutôt à la recherche d’une solution d’équation.

Answer

Déterminer toutes les valeurs qui rendent l’inégalité vraie.

Question 6

6. Sur une droite graduée, les points M et N ont pour abscisses $-3$ et $5$ . Quelle est la distance $MN$ ?

2

-8

15

8

Explication

La distance entre deux points d’abscisses $x$ et $y$ vaut $|x-y|$ , donc ici $|-3-5|=8$ . La différence signée des abscisses vaut $-8$ , mais une distance est positive.

Answer

Elle rassemble les réels qui appartiennent à la fois à $$I$$ et à $$J$$.

Answer

Pour 3, on examine la somme des chiffres ; pour 4, on examine le nombre formé par les deux derniers chiffres.

Answer

Elle est fausse, car une proposition et sa négation ont des valeurs de vérité opposées.

Answer

Un entier divisible par 4 qui n’est pas pair

Answer

Les points correspondants sont alignés sur les deux droites et les droites portant les côtés parallèles sont parallèles.

Question 7

7. Quel est le rôle de l’intersection de deux intervalles $I$ et $J$ ?

Elle rassemble les réels qui appartiennent à

I

ou à

J

, ou aux deux.

Elle rassemble les réels situés entre les bornes extrêmes de

I

et de

J

.

Elle rassemble les bornes communes de

I

et de

J

, qu’elles soient incluses ou non.

Elle rassemble les réels qui appartiennent à la fois à

I

et à

J

.

Explication

L’intersection sélectionne les réels qui appartiennent simultanément aux deux intervalles. La réunion, contrairement à l’intersection, comprend les réels appartenant à l’un ou l’autre intervalle.

Question 8

8. En quoi la règle de divisibilité par 3 diffère-t-elle de celle de divisibilité par 4 ?

Pour 3, on examine la somme des chiffres ; pour 4, on examine le nombre formé par les deux derniers chiffres.

Pour 3, on examine le nombre formé par les deux derniers chiffres ; pour 4, on examine le chiffre des unités.

Pour 3, on examine le chiffre des unités ; pour 4, on examine la somme des chiffres.

Pour 3, on examine les deux derniers chiffres ; pour 4, on examine le chiffre des unités.

Explication

La divisibilité par 3 dépend de la divisibilité de la somme des chiffres par 3, tandis que celle par 4 dépend des deux derniers chiffres. La règle du chiffre des unités concerne notamment la divisibilité par 2 ou par 5, et non celle par 3.

Question 9

9. Quelle conséquence logique découle de la négation d’une proposition vraie ?

Elle est vraie dès qu’au moins un élément vérifie la proposition initiale.

Elle est fausse, car une proposition et sa négation ont des valeurs de vérité opposées.

Elle devient indéterminée tant qu’aucun exemple contraire n’est fourni.

Elle reste vraie si la proposition initiale contient deux affirmations vraies.

Explication

La négation affirme le contraire de la proposition et possède donc la valeur de vérité opposée : elle est fausse lorsque la proposition initiale est vraie. Le fait qu’une proposition comporte deux affirmations vraies concerne la conjonction, et ne modifie pas cette règle.

Question 10

10. Pour établir que l’implication « si un entier est divisible par 4, alors il est pair » est fausse, quel type de cas faudrait-il trouver ?

Un entier divisible par 4 qui est pair

Un entier impair qui n’est pas divisible par 4

Un entier pair qui n’est pas divisible par 4

Un entier divisible par 4 qui n’est pas pair

Explication

Une implication est fausse lorsqu’on trouve une situation où l’hypothèse est vraie et la conclusion fausse : il faut donc un entier divisible par 4 qui ne soit pas pair. Un entier pair non divisible par 4 ne réfute pas cette implication, car son hypothèse n’est pas satisfaite.

Question 11

11. Dans la configuration papillon, quelles conditions permettent d’appliquer le théorème de Thalès pour obtenir l’égalité des trois rapports ?

Les points correspondants sont alignés sur les deux droites et les droites portant les côtés parallèles sont parallèles.

Les points sont alignés dans le même ordre sur les deux droites et les longueurs correspondantes sont égales.

Les deux triangles ont la même aire et leurs côtés correspondants sont proportionnels.

Les deux triangles ont un angle de même mesure et leurs côtés opposés sont de même longueur.

Explication

Dans la configuration papillon, les points sont placés sur les droites passant par A et le segment reliant les points primés est parallèle à celui reliant les autres sommets, ce qui permet d’égaliser les rapports correspondants. L’alignement dans le même ordre et l’égalité de deux rapports relèvent des conditions de la réciproque, et non de cette caractérisation de la configuration papillon.

QCM : Nombres, intervalles et raisonnements (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Dans un triangle $ABC$ , les points $B′$ et $C′$ appartiennent respectivement aux segments $[AB]$ et $[AC]$ , et les droites $(B′C′)$ et $(BC)$ sont parallèles. Quelle égalité résulte du théorème de Thalès ?

2. Les points $A, B, B′$ sont alignés dans le même ordre que $A, C, C′$ , et $\frac{AB′}{AB}=\frac{AC′}{AC}$ . Quelle conclusion peut-on tirer ?

3. Sur une droite munie d’un repère où $O$ a pour abscisse $0$ et $I$ pour abscisse $1$ , que désigne l’ensemble $\mathbb{R}$ ?

4. Parmi les nombres suivants, lequel est décimal au sens où il peut s’écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$ avec $a$ entier relatif et $n$ entier naturel ?

5. Que signifie résoudre une inéquation ?

6. Sur une droite graduée, les points M et N ont pour abscisses $-3$ et $5$ . Quelle est la distance $MN$ ?

7. Quel est le rôle de l’intersection de deux intervalles $I$ et $J$ ?

8. En quoi la règle de divisibilité par 3 diffère-t-elle de celle de divisibilité par 4 ?

9. Quelle conséquence logique découle de la négation d’une proposition vraie ?

10. Pour établir que l’implication « si un entier est divisible par 4, alors il est pair » est fausse, quel type de cas faudrait-il trouver ?

11. Dans la configuration papillon, quelles conditions permettent d’appliquer le théorème de Thalès pour obtenir l’égalité des trois rapports ?

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QCM : Nombres, intervalles et raisonnements (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Dans un triangle ABCABCABC, les points B′B′B′ et C′C′C′ appartiennent respectivement aux segments [AB][AB][AB] et [AC][AC][AC], et les droites (B′C′)(B′C′)(B′C′) et (BC)(BC)(BC) sont parallèles. Quelle égalité résulte du théorème de Thalès ?

2. Les points A,B,B′A, B, B′A,B,B′ sont alignés dans le même ordre que A,C,C′A, C, C′A,C,C′, et AB′AB=AC′AC\frac{AB′}{AB}=\frac{AC′}{AC}ABAB′​=ACAC′​. Quelle conclusion peut-on tirer ?

3. Sur une droite munie d’un repère où OOO a pour abscisse 000 et III pour abscisse 111, que désigne l’ensemble R\mathbb{R}R ?

4. Parmi les nombres suivants, lequel est décimal au sens où il peut s’écrire sous la forme a10n\frac{a}{10^n}10na​ avec aaa entier relatif et nnn entier naturel ?

5. Que signifie résoudre une inéquation ?

6. Sur une droite graduée, les points M et N ont pour abscisses −3-3−3 et 555. Quelle est la distance MNMNMN ?

7. Quel est le rôle de l’intersection de deux intervalles III et JJJ ?

8. En quoi la règle de divisibilité par 3 diffère-t-elle de celle de divisibilité par 4 ?

9. Quelle conséquence logique découle de la négation d’une proposition vraie ?

10. Pour établir que l’implication « si un entier est divisible par 4, alors il est pair » est fausse, quel type de cas faudrait-il trouver ?

11. Dans la configuration papillon, quelles conditions permettent d’appliquer le théorème de Thalès pour obtenir l’égalité des trois rapports ?

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2. Les points $A, B, B′$ sont alignés dans le même ordre que $A, C, C′$ , et $\frac{AB′}{AB}=\frac{AC′}{AC}$ . Quelle conclusion peut-on tirer ?

3. Sur une droite munie d’un repère où $O$ a pour abscisse $0$ et $I$ pour abscisse $1$ , que désigne l’ensemble $\mathbb{R}$ ?

4. Parmi les nombres suivants, lequel est décimal au sens où il peut s’écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$ avec $a$ entier relatif et $n$ entier naturel ?

6. Sur une droite graduée, les points M et N ont pour abscisses $-3$ et $5$ . Quelle est la distance $MN$ ?

7. Quel est le rôle de l’intersection de deux intervalles $I$ et $J$ ?