Fiche de révision : Nombres intervalles et valeurs absolues

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres
2. Comparer et représenter les nombres
3. Intervalles et bornes
4. Traduire intervalles et inégalités
5. Union et intersection
6. Résoudre une inégalité
7. Valeur absolue et distance
8. Résoudre avec une valeur absolue

📖 1. Ensembles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres naturels : Nombres entiers positifs ou nuls, notés $\mathbb N=\{0;1;2;3;\ldots\}$
• Nombres rationnels : Nombre pouvant s'écrire sous la forme $\frac ab$ avec $a\in\mathbb Z$ et $b\in\mathbb Z\setminus\{0\}$

📝 Points essentiels

📌 Les nombres irrationnels ne peuvent pas s'écrire comme une fraction de deux entiers et possèdent un développement décimal infini non périodique, comme $\sqrt2$ et $\pi$.

• Les ensembles de nombres suivent la chaîne d'inclusion $\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb D\subset\mathbb Q\subset\mathbb R$.

💡 Astuce mémo

N → Z → D → Q → R

📖 2. Comparer et représenter les nombres

📝 Points essentiels

📌 Sur une droite graduée, le nombre situé le plus à droite est le plus grand.

📌 Entre deux nombres négatifs, celui qui a la plus petite distance à zéro est le plus grand, ainsi $-2>-7$.

💡 Astuce mémo

Sur la droite, plus on va à droite, plus le nombre grandit

📖 3. Intervalles et bornes

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : Ensemble de nombres réels compris entre deux bornes

📝 Points essentiels

• L'intervalle fermé $[a;b]$ correspond à $a\leq x\leq b$, tandis que l'intervalle ouvert $]a;b[$ correspond à $a<x<b$.

• L'intervalle semi-ouvert $[a;b[$ correspond à $a\leq x<b$, tandis que $]a;b]$ correspond à $a<x\leq b$.

• L'infini n'est jamais une borne incluse, car il n'est pas un nombre.

💡 Astuce mémo

Point plein = borne incluse ; point vide = borne exclue

📖 4. Traduire intervalles et inégalités

📝 Points essentiels

• 🔄 Pour traduire une inégalité en intervalle, il faut: identifier les bornes, choisir un crochet fermé si la borne est incluse, choisir un crochet ouvert si la borne est exclue

📖 5. Union et intersection

🔑 Notions clés & Définitions

• Union : Opération, notée $\cup$, qui rassemble les nombres appartenant au premier intervalle ou au second
• Intersection : Opération, notée $\cap$, qui rassemble les nombres appartenant simultanément aux deux intervalles

💡 Astuce mémo

Union = ou ; intersection = et

📖 6. Résoudre une inégalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Inégalité : Comparaison de deux expressions dont la résolution consiste à trouver toutes les valeurs de $x$ qui la rendent vraie

📝 Points essentiels

📌 On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres d'une inégalité sans changer son sens.

📌 Lorsqu'on multiplie ou divise une inégalité par un nombre négatif, il faut inverser le sens du signe.

💡 Astuce mémo

Division par un négatif → inversion du signe

📖 7. Valeur absolue et distance

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : Distance à zéro sur la droite graduée

📝 Points essentiels

📌 Pour tout réel $x$, on a $|x|\geq0$.

📐 Formule — Pour tout réel $x$, $|x|=\begin{cases}x&\text{si }x\geq0\\-x&\text{si }x<0\end{cases}$.

💡 Astuce mémo

La valeur absolue mesure une distance sur la droite graduée

📖 8. Résoudre avec une valeur absolue

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour $a>0$, $|x|=a\iff x=-a\text{ ou }x=a$.

📐 Formule — Pour $a>0$, $|x|<a\iff-a<x<a$ et $|x|\leq a\iff-a\leq x\leq a$.

• L'expression $|x-a|$ représente la distance entre $x$ et $a$.

💡 Astuce mémo

Distance inférieure = intervalle central ; distance supérieure = deux intervalles extérieurs