QCM : Nombres intervalles et valeurs absolues — 22 questions

Questions et réponses du QCM

1. Concernant les nombres naturels, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

L’ensemble des nombres naturels contient zéro et les entiers positifs.
Les nombres naturels sont des nombres décimaux non entiers.
Le nombre 00 appartient à l’ensemble N\mathbb N.
L’ensemble N\mathbb N contient les nombres négatifs et positifs.
Les nombres naturels commencent par 11 et excluent zéro.

L’ensemble des nombres naturels contient zéro et les entiers positifs. · Le nombre $$0$$ appartient à l’ensemble $$\mathbb N$$.

Explication

Les nombres naturels sont les entiers positifs ou nuls, donc zéro appartient à N\mathbb N. Ils ne comprennent ni les nombres négatifs ni les nombres décimaux non entiers, et leur ensemble commence par zéro.

2. Parmi les propositions suivantes concernant les nombres rationnels, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Un nombre rationnel ne peut pas s’écrire sous forme fractionnaire.
Un nombre rationnel possède nécessairement un développement décimal infini non périodique.
Le nombre 2\sqrt2 est rationnel car il possède une écriture décimale.
Un nombre rationnel s’écrit comme le quotient de deux entiers avec dénominateur non nul.
Le dénominateur d’une écriture rationnelle peut être égal à zéro.

Un nombre rationnel s’écrit comme le quotient de deux entiers avec dénominateur non nul.

Explication

Un nombre rationnel s’écrit ab\frac ab avec a∈Za\in\mathbb Z et b∈Z∖{0}b\in\mathbb Z\setminus\{0\}. Son dénominateur ne peut donc pas être nul, et un développement décimal infini non périodique caractérise plutôt un irrationnel comme 2\sqrt2.

3. Les caractéristiques des nombres irrationnels comprennent :

Leur développement décimal est infini et non périodique.
Le nombre π\pi appartient à l’ensemble des nombres irrationnels.
Ils se distinguent des rationnels par l’absence d’écriture fractionnaire entière.
Ils ne peuvent pas s’écrire comme une fraction de deux entiers.
Le nombre 2\sqrt2 est un exemple de nombre irrationnel.

Leur développement décimal est infini et non périodique. · Le nombre $$\pi$$ appartient à l’ensemble des nombres irrationnels. · Ils se distinguent des rationnels par l’absence d’écriture fractionnaire entière. · Ils ne peuvent pas s’écrire comme une fraction de deux entiers. · Le nombre $$\sqrt2$$ est un exemple de nombre irrationnel.

Explication

Les nombres irrationnels ne sont pas représentables par une fraction de deux entiers. Leur développement décimal est infini non périodique, et 2\sqrt2 ainsi que π\pi en sont des exemples.

4. Concernant l’inclusion des ensembles de nombres :

L’ensemble D\mathbb D est inclus dans l’ensemble Z\mathbb Z.
L’ensemble R\mathbb R est inclus dans l’ensemble Q\mathbb Q.
L’ensemble Z\mathbb Z contient l’ensemble N\mathbb N comme sous-ensemble.
On a N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb D\subset\mathbb Q\subset\mathbb R.
L’ensemble Q\mathbb Q est inclus dans l’ensemble D\mathbb D.

On a $$\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb D\subset\mathbb Q\subset\mathbb R$$.

Explication

La chaîne correcte est N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb D\subset\mathbb Q\subset\mathbb R. Ainsi, les inclusions vont des naturels vers les réels ; les affirmations inversant ces relations sont fausses.

5. Sur une droite graduée, quelles propositions permettent de comparer correctement deux nombres ?

La position verticale détermine la grandeur des nombres.
Deux nombres sont comparés selon leur distance à zéro.
Le nombre placé le plus à droite est le plus grand.
Le nombre situé près de l’origine est nécessairement le plus grand.
Le nombre placé le plus à gauche est le plus grand.

Le nombre placé le plus à droite est le plus grand.

Explication

Sur une droite graduée, l’ordre croissant est orienté vers la droite : le nombre le plus à droite est le plus grand. La distance à zéro et la position verticale ne déterminent pas directement cet ordre.

6. Concernant la comparaison de deux nombres négatifs, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Entre −5-5 et −3-3, on a −3>−5-3>-5.
Pour comparer deux nombres négatifs, la plus grande distance à zéro donne le plus grand nombre.
Entre −8-8 et −1-1, on a −8>−1-8>-1.
Entre −2-2 et −7-7, on a −2>−7-2>-7.
Parmi deux nombres négatifs, le plus proche de zéro est le plus grand.

Entre $$-5$$ et $$-3$$, on a $$-3>-5$$. · Entre $$-2$$ et $$-7$$, on a $$-2>-7$$. · Parmi deux nombres négatifs, le plus proche de zéro est le plus grand.

Explication

Entre deux nombres négatifs, celui qui possède la plus petite distance à zéro est le plus grand ; ainsi −2>−7-2>-7 et −3>−5-3>-5. Une distance à zéro plus grande correspond au contraire à un nombre négatif plus petit.

7. À propos des intervalles, la(les)quelle(s) est(sont) la(les) proposition(s) exacte(s) ?

Un intervalle est un ensemble de nombres réels compris entre deux bornes.
Un intervalle contient uniquement des nombres entiers situés entre ses bornes.
Les bornes d’un intervalle sont nécessairement des nombres naturels.
Les nombres complexes constituent les éléments habituels d’un intervalle.
Un intervalle est défini par une seule borne réelle.

Un intervalle est un ensemble de nombres réels compris entre deux bornes.

Explication

Un intervalle est un ensemble de nombres réels compris entre deux bornes. Ses éléments ne sont pas limités aux entiers, et ses bornes ne sont pas nécessairement naturelles.

8. Concernant les intervalles fermés et ouverts, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

L’intervalle ouvert ]a;b[]a;b[ contient les deux bornes.
Dans [a;b][a;b], une seule des deux bornes appartient à l’intervalle.
L’intervalle fermé [a;b][a;b] exclut la borne gauche.
L’intervalle [a;b][a;b] vérifie a≤x≤ba\leq x\leq b.
L’intervalle ]a;b[]a;b[ vérifie a<x<ba<x<b.

L’intervalle $$[a;b]$$ vérifie $$a\leq x\leq b$$. · L’intervalle $$]a;b[ $$ vérifie $$a<x<b$$.

Explication

L’intervalle fermé [a;b][a;b] inclut ses deux bornes, ce qui donne a≤x≤ba\leq x\leq b. L’intervalle ouvert ]a;b[]a;b[ les exclut et vérifie a<x<ba<x<b.

9. Les propriétés des intervalles semi-ouverts comprennent :

Dans [a;b[[a;b[ , la borne droite appartient à l’intervalle.
Dans ]a;b]]a;b], la borne gauche appartient à l’intervalle.
L’intervalle ]a;b]]a;b] correspond à a<x≤ba<x\leq b.
Les deux intervalles semi-ouverts incluent simultanément leurs deux bornes.
L’intervalle [a;b[[a;b[ correspond à a≤x<ba\leq x<b.

L’intervalle $$]a;b]$$ correspond à $$a<x\leq b$$. · L’intervalle $$[a;b[ $$ correspond à $$a\leq x<b$$.

Explication

Dans [a;b[[a;b[ , la borne gauche est incluse et la borne droite exclue, d’où a≤x<ba\leq x<b. Dans ]a;b]]a;b], c’est l’inverse : a<x≤ba<x\leq b.

10. Concernant l’utilisation de l’infini comme borne d’un intervalle, quelle(s) proposition(s) est(sont) exacte(s) ?

L’infini est une borne incluse lorsqu’un crochet lui est associé.
L’infini est un nombre réel pouvant appartenir à un intervalle fermé.
L’infini ne peut pas être une borne incluse d’un intervalle.
L’infini est traité comme un nombre lorsqu’il détermine une borne.
L’infini peut être inclus comme une borne entière dans un intervalle.

L’infini ne peut pas être une borne incluse d’un intervalle.

Explication

L’infini n’est pas un nombre ; il ne peut donc pas être une borne incluse. Les crochets ne peuvent pas servir à inclure l’infini comme un élément réel de l’intervalle.

11. Concernant la traduction des inégalités en intervalles :

Pour une borne exclue, on utilise un crochet fermé dans l’intervalle.
Pour une borne incluse, on utilise systématiquement un crochet ouvert dans l’intervalle.
Pour une borne exclue, on utilise toujours deux crochets fermés dans l’intervalle.
Pour traduire une inégalité, on ignore les bornes présentes dans l’expression.
Pour une borne incluse, on utilise un crochet fermé dans l’intervalle.

Pour une borne incluse, on utilise un crochet fermé dans l’intervalle.

Explication

Une borne incluse se traduit par un crochet fermé. Une borne exclue se traduit par un crochet ouvert, et les bornes de l’inégalité doivent être identifiées.

12. Parmi les propositions suivantes concernant les intervalles et les inégalités, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Le crochet ouvert indique que la borne appartient à l’intervalle.
Le crochet ouvert indique que la borne n’appartient pas à l’intervalle.
Le crochet fermé indique que la borne appartient à l’intervalle.
Le crochet fermé signale que la borne est exclue de l’intervalle.
La traduction d’une inégalité ne nécessite pas d’identifier ses bornes.

Le crochet ouvert indique que la borne n’appartient pas à l’intervalle. · Le crochet fermé indique que la borne appartient à l’intervalle.

Explication

Un crochet fermé correspond à une borne incluse, tandis qu’un crochet ouvert correspond à une borne exclue. Les affirmations inversant ces significations sont fausses, et l’identification des bornes est nécessaire.

13. Concernant l’union de deux intervalles, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

L’union rassemble les nombres appartenant au premier intervalle ou au second.
Le symbole de l’union est ∪\cup dans l’écriture mathématique.
L’union conserve les nombres communs aux deux intervalles avec le sens « et ».
Le symbole de l’union est ∩\cap dans l’écriture mathématique.
L’union peut contenir les nombres présents dans un seul des deux intervalles.

L’union rassemble les nombres appartenant au premier intervalle ou au second. · Le symbole de l’union est $$\cup$$ dans l’écriture mathématique. · L’union peut contenir les nombres présents dans un seul des deux intervalles.

Explication

L’union, notée ∪\cup, correspond au sens « ou » et rassemble les éléments des deux intervalles, y compris ceux présents dans un seul. Le symbole ∩\cap et le sens « et » caractérisent l’intersection.

14. Quelles sont les réponses exactes au sujet de l’intersection de deux intervalles ?

Le symbole de l’intersection est ∪\cup dans l’écriture mathématique.
Le symbole de l’intersection est ∩\cap dans l’écriture mathématique.
L’intersection rassemble les nombres appartenant à l’un des deux intervalles.
L’intersection conserve les nombres communs aux deux intervalles.
L’intersection rassemble les nombres appartenant simultanément aux deux intervalles.

Le symbole de l’intersection est $$\cap$$ dans l’écriture mathématique. · L’intersection conserve les nombres communs aux deux intervalles. · L’intersection rassemble les nombres appartenant simultanément aux deux intervalles.

Explication

L’intersection, notée ∩\cap, correspond aux nombres communs aux deux intervalles, donc au sens « et ». Le symbole ∪\cup et l’appartenance à un seul intervalle renvoient à l’union.

15. Les caractéristiques de la résolution d’une inégalité comprennent :

Une inégalité compare deux expressions mathématiques entre elles.
Résoudre une inégalité revient à déterminer toutes les valeurs rendant celle-ci vraie.
Résoudre une inégalité consiste à trouver une seule valeur particulière de xx.
Une inégalité compare nécessairement deux résultats numériques déjà calculés.
La résolution d’une inégalité recherche l’ensemble de ses solutions.

Une inégalité compare deux expressions mathématiques entre elles. · Résoudre une inégalité revient à déterminer toutes les valeurs rendant celle-ci vraie. · La résolution d’une inégalité recherche l’ensemble de ses solutions.

Explication

Une inégalité compare deux expressions et sa résolution cherche toutes les valeurs de xx qui la rendent vraie. Elle détermine donc un ensemble de solutions, et non nécessairement une seule valeur.

16. Concernant la multiplication ou la division d’une inégalité par un nombre négatif :

Le sens du signe reste inchangé après une division par un nombre négatif.
L’inversion du signe concerne seulement l’addition d’un nombre négatif.
Le sens du signe doit être inversé après une division par un nombre négatif.
Le sens du signe doit être inversé après une multiplication par un nombre négatif.
Le sens du signe reste inchangé après une multiplication par un nombre négatif.

Le sens du signe doit être inversé après une division par un nombre négatif. · Le sens du signe doit être inversé après une multiplication par un nombre négatif.

Explication

Multiplier ou diviser les deux membres par un nombre négatif impose d’inverser le signe de l’inégalité. Les opérations d’addition ou de soustraction ne provoquent pas cette inversion.

17. Concernant la valeur absolue et la distance :

La valeur absolue mesure la distance entre deux nombres quelconques.
Le nombre −5-5 possède une valeur absolue égale à −5-5.
La valeur absolue de −5-5 est égale à 55.
La distance à zéro d’un nombre négatif conserve son signe négatif.
La valeur absolue d’un nombre correspond à sa distance à zéro.

La valeur absolue de $$-5$$ est égale à $$5$$. · La valeur absolue d’un nombre correspond à sa distance à zéro.

Explication

La valeur absolue représente la distance à zéro, donc elle est positive ou nulle. Ainsi, la valeur absolue de −5-5 vaut 55, tandis que le nombre lui-même vaut −5-5 ; une distance ne conserve pas un signe négatif.

18. Parmi les propositions suivantes concernant la valeur absolue, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

La valeur absolue d’un réel positif est positive ou nulle.
La valeur absolue d’un réel négatif est positive.
Pour tout réel xx, la valeur absolue ∣x∣|x| est supérieure ou égale à zéro.
La valeur absolue de zéro est égale à zéro.
Pour tout réel xx, la valeur absolue ∣x∣|x| est strictement inférieure à zéro.

La valeur absolue d’un réel positif est positive ou nulle. · La valeur absolue d’un réel négatif est positive. · Pour tout réel $$x$$, la valeur absolue $$|x|$$ est supérieure ou égale à zéro. · La valeur absolue de zéro est égale à zéro.

Explication

La valeur absolue est une distance à zéro et vérifie donc ∣x∣≥0|x|\geq0. Elle vaut zéro pour x=0x=0 et reste positive ou nulle pour les réels positifs, ainsi que positive pour les réels négatifs ; elle ne peut pas être inférieure à zéro.

19. La définition par cas de la valeur absolue comprend :

Si x=0x=0, alors ∣x∣=x|x|=x.
Si x<0x<0, alors ∣x∣=−x|x|=-x.
Si x<0x<0, alors ∣x∣=x|x|=x.
Si x>0x>0, alors ∣x∣=−x|x|=-x.
Si x≥0x\geq0, alors ∣x∣=x|x|=x.

Si $$x=0$$, alors $$|x|=x$$. · Si $$x<0$$, alors $$|x|=-x$$. · Si $$x\geq0$$, alors $$|x|=x$$.

Explication

La définition donne ∣x∣=x|x|=x lorsque x≥0x\geq0 et ∣x∣=−x|x|=-x lorsque x<0x<0. Ainsi, pour un réel négatif, la valeur absolue n’est pas égale à xx ; pour x=0x=0, la première branche donne bien ∣x∣=x|x|=x.

20. Concernant la résolution de ∣x∣=a|x|=a avec a>0a>0, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Une égalité ∣x∣=a|x|=a avec a>0a>0 conduit à deux solutions réelles.
L’équation ∣x∣=a|x|=a admet les solutions x=−ax=-a et x=ax=a.
Pour a=3a=3, les solutions de ∣x∣=a|x|=a sont x=−3x=-3 et x=3x=3.
Les deux solutions de ∣x∣=a|x|=a sont opposées l’une de l’autre.
Pour a>0a>0, l’équation ∣x∣=a|x|=a conduit à l’intervalle −a≤x≤a-a\leq x\leq a.

Une égalité $$|x|=a$$ avec $$a>0$$ conduit à deux solutions réelles. · L’équation $$|x|=a$$ admet les solutions $$x=-a$$ et $$x=a$$. · Pour $$a=3$$, les solutions de $$|x|=a$$ sont $$x=-3$$ et $$x=3$$. · Les deux solutions de $$|x|=a$$ sont opposées l’une de l’autre.

Explication

Pour a>0a>0, l’équation ∣x∣=a|x|=a équivaut à x=−ax=-a ou x=ax=a : les solutions sont donc opposées et au nombre de deux. L’intervalle [−a,a][-a,a] correspond à une inégalité comme ∣x∣≤a|x|\leq a, non à cette égalité.

21. Parmi les propositions suivantes concernant les inégalités de valeur absolue, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Pour a>0a>0, l’inégalité ∣x∣<a|x|<a équivaut à −a<x<a-a<x<a.
L’inégalité ∣x∣≤a|x|\leq a équivaut à −a<x<a-a<x<a.
L’inégalité ∣x∣<a|x|<a conduit à l’intervalle fermé [−a,a][-a,a].
L’inégalité ∣x∣<a|x|<a équivaut à x≤−ax\leq-a ou x≥ax\geq a.
Pour a>0a>0, l’inégalité ∣x∣≤a|x|\leq a exclut les bornes −a-a et aa.

Pour $$a>0$$, l’inégalité $$|x|<a$$ équivaut à $$-a<x<a$$.

Explication

Pour a>0a>0, on a ∣x∣<a  ⟺  −a<x<a|x|<a\iff-a<x<a et ∣x∣≤a  ⟺  −a≤x≤a|x|\leq a\iff-a\leq x\leq a. Les formes avec une réunion extérieure, des bornes exclues pour ≤\leq ou un intervalle fermé pour << ne correspondent donc pas aux règles.

22. Les expressions de la forme ∣x−a∣|x-a| décrivent :

La distance entre le nombre xx et le nombre aa.
L’expression ∣x−a∣|x-a| représente la distance entre xx et −a-a.
Pour a=4a=4, l’expression ∣x−4∣|x-4| mesure la distance entre xx et 44.
Une distance entre xx et zéro, quelle que soit la valeur de aa.
Une distance dont le centre est situé en aa.

La distance entre le nombre $$x$$ et le nombre $$a$$. · Pour $$a=4$$, l’expression $$|x-4|$$ mesure la distance entre $$x$$ et $$4$$. · Une distance dont le centre est situé en $$a$$.

Explication

L’expression ∣x−a∣|x-a| représente la distance entre xx et aa, avec un centre situé en aa. Ainsi, ∣x−4∣|x-4| mesure la distance entre xx et 44 ; la distance à zéro est représentée par ∣x∣|x|, et non par une expression dont le centre est aa.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 33 flashcards sur Nombres intervalles et valeurs absolues.

Que sont les nombres naturels ?

Ce sont les entiers positifs ou nuls.

Comment s'écrit un nombre rationnel ?

Sous la forme ab\frac{a}{b} avec a∈Za\in\mathbb{Z} et b∈Z∖{0}b\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}.

Pourquoi un nombre irrationnel ne peut-il pas s'écrire comme une fraction ?

Parce qu'il ne peut pas s'exprimer comme le quotient de deux entiers.

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