Fiche de révision : Nombres premiers et factorisation

📋 Plan du Cours

1. Nombres premiers et test de primalité
2. Décomposition en facteurs premiers
3. Fractions irréductibles

📖 1. Nombres premiers et test de primalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Entier qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

★ À maîtriser

📌 Pour vérifier qu’un entier naturel n supérieur ou égal à 2 est premier, il suffit de vérifier qu’il n’est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à √n.

Compléments

• Les nombres 0 et 1 ne sont pas premiers : 0 a une infinité de diviseurs et 1 n’a qu’un seul diviseur.

• Il existe une infinité de nombres premiers, dont les premiers dans l’ordre sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 et 101.

• Pour tester si 263 est premier, on calcule √263 ≃ 16,21 et on teste sa divisibilité par les nombres premiers inférieurs à 16 : 2, 3, 5, 7, 11 et 13.

📖 2. Décomposition en facteurs premiers

★ À maîtriser

📌 Tout entier supérieur ou égal à 2 se décompose en un produit de facteurs premiers, et cette décomposition est unique à l’ordre des facteurs près.

Compléments

• La décomposition de 30 en facteurs premiers est $30 = 2 \times 3 \times 5$.

📌 L’écriture $84 = 4 \times 3 \times 7$ est un produit de facteurs, mais pas une décomposition en facteurs premiers puisque 4 n’est pas premier.

📖 3. Fractions irréductibles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction irréductible : Fraction qui ne peut plus être simplifiée.

★ À maîtriser

• Pour rendre la fraction 280/448 irréductible, le cours demande de décomposer 280 et 448 en facteurs premiers, puis de simplifier la fraction.

Compléments

• Dans une fraction irréductible, le numérateur et le dénominateur n’ont que 1 comme diviseur commun.

• Les décompositions en facteurs premiers données pour l’exemple sont $280 = 2^3 \times 5 \times 7$ et $448 = 2^6 \times 7$.